2013年センター数学の問3の後半の解説をします。
□ACBEについて考えましょう。
ABとCEは円Oの直径です。
直径に対する円周角は90°でしたね。
すると□ACBEはすべての角が90°です。
つまり長方形となります。
作図する場合はこのことを意識しましょう。
作図の手順は
①まず長方形をかく
②対角線ABと対角線CEをかく
③問題文にあるように、2つの内接円を描く
ここが難しいと感じるはずです。
なぜなら、この2つの内接円の関係がよく分からないからです。
接するのでしょうか？接しないのでしょうか？2点で交わるのでしょうか？
これが分からなければ、作図しにくいですね。
とりあえず2つの円が離れているように描いてみましょうか。
離れていると『仮定して』かいてみることが大切です。
なぜ、離れていると仮定するか、
理由は単純です。
2円が２点で交わるとすると、作図しにくいですし、図がややこしくなるからです。
離れて描いたほうが、作図がすっきりしますね。
仮定して図をかいてもいいのですか？
と、疑問に思うかもしれません。
いいんです。下の図のように2つの円を離して、かいてみましょう。
求めるのはQR、つまり内接円の中心距離です。
点Qは辺CBから、半径6/5の距離だけ離れています。
点Rは点Qとそっくり左右対称ですよね。
なぜなら、⊿AECは⊿CBAと左右対称だからです。
すると⊿AECの内接円の半径も同じく6/5ですね。
点RはAEから内接円の半径6/5だけ離れていることになります。
ここで辺AEと辺CBはどのくらい離れているでしょう？
辺ACの分だけ離れていますね。つまり24/5です。
そうするとQRの距離は分かりませんか？
24/5離れたところから、それぞれ左右から内側に6/5ずつ近づいたのが、QRなのです。
ですから、QRの距離は
24/5－6/5－6/5と計算でき、12/5となります。
そすると離れていると仮定した2つの円の中心距離が、
ちょうど半径の2倍になっているので、実は接していたことがわかります。
この問題には難しい計算は必要ありません。
位置が分からない2つの円をどう描くかが、第1のポイントです。
分からないなら、思い切って仮定して作図してみようというわけです。
QRの距離は直接分かりませんが、距離が分かっている外側の情報から解くという問題です。
東京－大阪の距離は500キロです。
R町は東京から100キロ離れています。Q町は大阪から100キロ離れています。
R町とQ町の距離はいくらでしょうか？という問題に似ています。
このように考えるのが第2のポイントです。