仕事のあと、今年のセンター数学をトライしてみましたよ。
なんとか全部、時間以内に正解することが出来ました。
全体的に計算量が多く大変でした。
とくに問3はとても難しいですね。
本番でなら、時間をとられて、めちゃくちゃ焦りますよ。
この年の受験生は特に大変だったようですね。
お疲れ様でした。
ここで問3
について簡単に説明をしたいと思います。
図形問題なのに、問題文は文章でしか与えられていませんね。
センター試験は意地悪です。
ですから、文章が言っていることを、
私たちが忠実に図に表現しなければなりません。
問題文の一文字一文字をかみ締めるように理解しながら、
図に現していきます。
そして一通り図を描き終えたら、
今度はその図が、問題文と矛盾しないか、
線をなぞりながら確認します。
この時間は、問3を解くために大切な準備時間です。
しっかり作図できるかが重要です。
がんばりましょう。
まずODを求めるところまではスムーズに出来ます。
出来なかった場合も回答を見て復習しましょう。
そして、⊿OADで余弦定理を使います。
余弦定理をちゃんと覚えておかないといけませんね。
覚えていない人は、これから先がスムーズに進めません。
べつに余弦定理を使わなくても突破できます。
それは、次のように解きます。
⊿AOPは√10対3対1の直角三角形です。
点Dから辺ABに垂線を下ろして、交点をHとします。
⊿ODHも√10対3対1の直角三角形なので、
辺OHの長さが出ます。
OHは3/5です。
AHは5－3/5で12/5です。
ADはAOと同じなので長さは3です。（⊿APOと⊿APDは合同です。）
ADは3、AHは12/5なので
cos∠OADは4/5です。
このように相似形を利用しても、
cos∠OADは解くこともできるのです。
すこし遠回りです。
でも計算力や相似図形の理解力をつけるにはいいと思います。
一度やってみましょう。
どちらででも解けるといいですが、本番はやはり余弦定理でしょう。
では、先に進みます。
ACの長さは
AB×cos∠OADと考えてもいいですが、
⊿ABCは辺の長さが5対4対3の直角三角形
ということからでも、導けます。
BCの長さもこの比から出すことも出来ます。
つづいて⊿ABCの内接円の半径です。
直角⊿ABCを別のところに新たに書き出しましょう。
そしてその中に内接円をうまく作図しましょう。
同じ図で考え続けると、混乱してきますよ。
気持ちを新たに、新しい図を書いてみましょう。
内接円の中心をQとし、半径をｒとします。
このｒの求め方には、主に2通りがあります。
①⊿ABCが直角三角形ということを利用します。
下の図を見てください。
見にくい手書きで、ごめんなさい。
△や○は長さが等しいことを表しています。
辺ＡＢの長さが、24/5-ｒ と 18/5-ｒ の和となります。
これが6に等しい（ＡＢは直径だからです。）という方程式を立てて、ｒを求めます。
この解法は、∠Ｃが直角だから使える方法です。
∠Ｃが直角だと、∠Ｃの所に一辺がｒの正方形が
できていることを注目してください。
②⊿ＡＢＣの面積を分割する方法
三角形の内接円の求め方は
3つの三角形、⊿ＡＢＱ ⊿ＢＣＱ ⊿ＣＡＱの和が
⊿ＡＢＣの面積と等しい方程式を作ります。
高さはどれもｒです。それぞれの底辺の長さも出ています。
こうやっても内接円の半径は出ます。
②はどんな三角形にも使える重要な解法です。
ここまで問3の前半まで簡単に解説しました。
文字ばかりで、分かりづらいと思います。
少しでも参考になればと思います。
次は後半の説明をしたいと思います。
お疲れ様でした。