こんにちは！れいです！
私は数学を専門とはしていますが，科学全般(物化生地)にも興味があります！
henka.のライターの皆さんの科学愛溢れる記事を読んで，「私も物化生地に関連した記事を書きたい！」と触発されました！
ということで，今回は化学で数学してみたいと思います！
1. 正多面体と準正多面体，半正多面体
正多面体(regular polyhedron)とは，以下の3つの条件をすべて満たす多面体のことをいいます．
(1) すべての面が合同な正多角形
(2) どの頂点に集まる面の数も同じ
(3) へこんでいない多面体(凸多面体)である
正多面体は，正四面体，正六面体(立方体)，正八面体，正十二面体，正二十面体の5種類のみです．
さて，正多面体は5種類しか存在しないので，「条件(1)~(3)をすべて満たす」というのは「厳しい条件」ですよね．条件(1)~(3)を緩めたら，該当する多面体は増えそうです．
条件(1)を緩めて，「どの面も正多角形である(すべての面が合同でなくてよい)」としてみましょう．
以下の条件(1’), (2-1), (2-2), (3)を満たす多面体を準正多面体(quasi-regular polyhedron)といいます．(※1)
(1’) どの面も正多角形である(すべての面が合同でなくてよい)
(2-1)すべての頂点まわりが合同である
(2-2)すべての辺まわりが合同である
(3) へこんでいない多面体(凸多面体)である
準正多面体は，立方八面体と二十・十二面体の2種類のみです．
さらに条件を緩めてみましょう．
条件(2-2)「すべての辺まわりが合同である」を捨てます．
以下の条件(1’), (2-1), (3)を満たす多面体を半正多面体(semi-regular polyhedron, アルキメデスの立体)といいます．
(1’) どの面も正多角形である(すべての面が合同でなくてよい)
(2-1)すべての頂点まわりが合同である
(3) へこんでいない多面体(凸多面体)である
半正多面体は，13種類あります．(※2)
(※1) この定義での「準正多面体」と「半正多面体」を，まとめて「準正多面体」ということがある．
この記事では，「準正多面体」と「半正多面体」を区別する．
(※2) ミラーの多面体，ねじれ立方体(鏡像)，ねじれ十二面体(鏡像)を加えて16種類とすることもある．
さて，半正多面体の一つに，切頂二十面体というものがあります．
正五角形と正六角形の面をもつ，サッカーボール型の多面体なのですが，この立体，化学で見たことはありませんか…？
そう，フラーレン(C60)です！
▲奥がフラーレン(C60)の模型．
ちなみに，手前はドデカへドラン(dodecahedrane, C20H20)の模型です．
名前の由来は十二面体(dodecahedron)．
20個の炭素原子が正十二面体をなしており，各炭素原子には水素原子が一つずつ結合しています．
2. フラーレンとは？
フラーレン(fullerene)は炭素の同素体であり，球状の構造をしています．
1970年，大澤映二(当時，北海道大学助教)はフラーレンの存在を予想していました．
その後，1985年にクロトー，スモーリー，カールらにより発見されました．
この功績により，クロトー，スモーリー，カールの3人は1996年にノーベル化学賞を受賞しています．
さて，フラーレンと聞いて，「C60のやつ」と思った方もいるかもしれません．
実は，フラーレンはC60以外もあります！
フラーレン界で有名なC60フラーレンは，バックミンスターフラーレン(Buckminsterfullerene)とも呼ばれます．
前述したように切頂二十面体(サッカーボール型)をしており，六員環20個，五員環12個から成ります．
炭素原子の数が60個を超えるフラーレンは高次フラーレン(Higher fullerenes)といいます．
例えば，C70, C76,C84 などがあり，C540という巨大なフラーレンも存在します．
C60はサッカーボール型でしたが，C70はラグビーボール型です．
そんな高次フラーレンですが，「フラーレンを構成する五員環の個数は，炭素数に依らず12個」というと驚きませんか？
C540でさえも，五員環の個数はC60と変わらず12個なのです！
その理由を，数学を使って解き明かしてみましょう．
3. フラーレンとオイラーの多面体定理
オイラーの多面体定理を使うと，その理由がわかります．
(※3) 「穴のない」立体とは，「膨らませると球になる」立体のことをいう．
穴のある(例えば，膨らませるとドーナツ型になる)立体では成り立たない．
ところがどっこい，穴のある立体でも成り立つ「拡張版オイラーの多面体定理」も存在する．
気になった方は，ぜひ調べてみてください．
あるフラーレンの六員環の個数をp，五員環の個数をqとします．
このとき，q = 12となることを示します．
フラーレンを多面体と見たときの，頂点の数，辺の数，面の数をそれぞれV, E, Fとします．
①面の数に着目します．
面の数は六員環と五員環の個数の和なので，
が成り立ちます．
②辺の数に着目します．
六員環の個数はp，五員環の個数はqなので，単純に数えると辺の総数は6p + 5qです．
しかし，1本の辺は2つの面に属しているので，実際の辺の総数より2倍多く数えている(=2E)ことになります．よって
が成り立ちます．
③頂点の数に着目します．
六員環の個数はp，五員環の個数はqなので，単純に数えると頂点の総数は6p + 5qです．
しかし，1個の頂点は3つの面に属している(※4)ので，実際の頂点の総数より3倍多く数えている(=3V)ことになります．よって
が成り立ちます．
(※4) 多面体の頂点に属する面は3つ以上ある．(2つ以下だと立体にならない)
今回は正五角形(五員環)と正六角形(六員環)で立体を作るので，頂点に属する面が4つ以上あるとすると，頂点のまわりの角は108°×4 = 432°以上となる．
頂点まわりの角が360°を超えているので，凸多面体にならない．
(1), (2), (3)に対してオイラーの多面体定理を適用することで，
となり，フラーレンの五員環の個数は常に12個であることがわかりました！
今回，化学で数学をしてみましたが，いかがだったでしょうか？
フラーレンの例に限らず，数学は現代の科学を支える「縁の下の力持ち」的存在です．
また，日常生活や自然現象など身近な場面にも，数学は潜んでいますよ！
ではまた！
(余談) 高校時代，フラーレンの模型を，リレーのバトンとして使ったことがあります．
中が空洞で持ちやすいので，おすすめです．
参考文献
・一松信．正多面体を解く．東海大学出版会，2002．
・”半正多面体と準正多面体”．高校数学の美しい物語．
https://manabitimes.jp/math/2871
・”オイラーの多面体定理の意味と証明”． 高校数学の美しい物語．
https://manabitimes.jp/math/613
・”フラーレン”．東京化成工業株式会社．
https://www.tcichemicals.com/JP/ja/c/12961
・”File:Fullerene c540.png”．Wikimedia Commons．
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fullerene_c540.png
