こんにちは！れいです！
先日，人生初のライブに行ってきました！
「礼衣(れい)」という方のライブだったのですが，これがもうすごくて．
ただでさえ素敵な楽曲と歌声なのに，会場での生歌は圧巻すぎて，終始感動しっぱなしでした．
それから礼衣さんのトークも面白いんですよ．礼衣さん多彩すぎ！
実は，私はもともと礼衣さんのファンではなく，大ファンである友人からの誘いで参戦したのです．
しかし，礼衣さんの楽曲を聴いた段階ですでにハマっており，ライブ参戦で一層とりこになりました．
そんなこんなで，礼衣さん沼にズブズブな今日この頃です．
さて，ライブ参戦で欠かせないのが「グッズ購入」ですよね！
販売されていたグッズの中で「ジャケットデザインアクキー」(全6種類)というものがありました．
ところがどっこいランダム販売なんですよ！
私と友人は当然こう思うわけです．
「アクキーをコンプしたい！」
さて，アクキーをコンプするためには何個買う必要があるのでしょうか．
数学を使って考えてみましょう．
(1) 私たちの戦略
私たちは，「互いに6個ずつ，計12個買う」という戦略を取りました．
12個の中に6種類すべて含まれていれば勝ちです！
結果は…
コンプできました！！わーい！！
(ちなみに，友人はアクキーのみならずすべてのグッズを揃えていました．ファンの鑑ですね．)
(2) 何個買えばコンプできる？
当然ですが，「〇個買えば必ずコンプできる」という絶対的な指標はありません．
6個(最小個数)でコンプできる場合もあれば，100個買ってもコンプできない場合もあります．
そこで，コンプするのに必要な個数の期待値を考えてみましょう．
期待値を，コンプするのに必要な個数の目安とするのです．
より一般に，n種類のアクキーをコンプすることを考えてみます．
どのアクキーも等確率 (1/n) で出るものとします．
このとき，n種類のアクキーをコンプするのに必要な個数の期待値Eは，以下の式で表されます．
6種類のアクキーをコンプするのに必要な個数の期待値は，n = 6として
と求められます．
つまり，15個がコンプするのに必要な個数の目安ということがわかりました．
(3) コンプ運を考えてみる
前述したように，6個でコンプできる場合もあれば，100個買ってもコンプできない場合もあります．
6個でコンプできたら「運がよい」，100個買ってもコンプできなかったら「運が悪い」と思う人が多いのではないでしょうか？
ここではコンプ運を確率を用いて考えてみます．
今回は「運がよい」「運が悪い」を以下のように定義してみます．
「運がよい」：その事象が起こる確率が 2.5%以下のとき(上位2.5%)
「運が悪い」：その事象が起こる確率が97.5%以上のとき(下位2.5%)
n個以下の購入でコンプできる確率をp(n)とします．
p(n)を計算してみたところ，
が得られました．
グラフをDesmosで描画してみると，以下のようになります．
p(6)≦0.025≦p(7), p(30)≦0.975≦p(31) なので，
今回の定義では6個でコンプできたら「運がよい」，コンプするのに31個以上かかったら「運が悪い」ことがわかりました．
私たちは「12個買う」という戦略を取りましたが，12個以下の購入でコンプできる確率はp(12)≒0.438なので，結構よい戦略だったのではないでしょうか．
以上，アクキーのコンプを数学的に考えてみました．
ではまた！