せっかくユークリッド原論という本を買ってきたし、実用性の低さに加えてその値段も考慮に入れたら買ってきて読む方はそれほど多くいないと思うのでここで、ユークリッド原論という本ってどんな感じのものなのでしょうかについて少し皆と一緒に読みたいと思います。（誰も興味を持っていないかもしれませんけど）
正直に言うと、ユークリッド原論の本編に直面する勇気は、今でもあんまりないのでとにかく、同書の「ユークリッドと『原論』の歴史」という部分から読み始めます。ご覧のように伊東俊太郎先生のおかげさまでユークリッドとその著作をめぐった側面もいろいろ窺い知れるようになるし、一つ重要な数学の論法を教えてくれるんです。それは、
ポイントは、数学論証ってそれが書かれる順序のように前提から結論を導出するにもかかわらず論証の作成がその逆だと示唆してくれる大事な叙述です。
ところでカナやんの公式ブックである「LOVE STORY」にも掲載されているのですが、カナやんは数学と理科が嫌いという。でも、カナやんの思考パターンは意外と、数学的です。つまり、カナやんも“問題が解けたと仮定して、そこから逆に必要な前提をさかのぼる”という風に解決案を練り上げるようです。前のブログでもそれについて書いてみたんですが、いい出会いを見つける方法という質問へのカナやんの答えとして外に出るというフレーズ。「LOVE STORYのQ & A」コーナーには外に出るという答えについてもっと詳しい説明が掲載されているのです。カナやんは、“まずは自分の好きなタイプを明確にしてみるとか？それでもわからなかったら、「あなたの理想の相手はこういう人です！」みたいな占いを一回だけ信じてみて”と、アドバイスしているが、もちろんカナやんの説明は懇切丁寧でわかりやすいにもかかわらず、ここでそれをあえてユークリッドの論法で書き換えしてみたらこんな感じ
もし「カナやんの恋愛の原論」が編集されたら次のような命題も収録されているはず（笑）
命題1：
外に出ていい出会いが見つかること
好きな人が◯◯タイプだとする。すると、いい出会いは、〇〇タイプの人が居合わせる場所で起こるはず。その居場所は明らかに自分の家ではない。好きな人の居場所は自分の家と違うから外に出るという結論だけが得られる。故に、外に出て好きな人との出会いが見つかる。
だからカナやんにとって外に出るのは漠然として街並みでうろうろして歩き回るわけではなく、直ちに好きな人の居場所を限定して行く！！！そして、そこにいる人とバッチリ出会うことでいい出会いを見つけていく！
ちょっと待って！今ではカナやんの恋愛の原論の模様を妄想する場合じゃないとはっとして気づきましたm(_ _ )m
本題は何だっけ？そうそう、ユークリッドの原論を皆と一緒に（なんとなくもう人の気配があんまり感じられないけど 汗）読もうとする今回の記事、最初に見てみるユークリッド論証は、実は、原論からのものじゃなくて、ユークリッドの他の著作、「図形分割論」からのものです。はい、まずは、命題とその論証の様子を見てみてください。
命題28のところから読んでもいいんですが、いかがでしょうか？私の場合では感想がただ1つ。それは、
うるさい！！！
論証の説得力はともかく、中身にぎっしりと詰まっている言葉として線ABCDEFとか、三角形ABCDEFなどなどしつこい！そして、右の図は本当にその出来栄えが悪すぎるんじゃない？線と線との距離が近すぎるしお互いに重なり合うので読みにくいもの！！！
冷静崩壊寸前の時にカナやんの表情写真は役に立つ(o^-')b
いい発想が思いついたというカナやんの表情を見るとなんか力が湧いてくる気がして（笑）
まずは、わかるかわからないかあのやっかいな命題をもっと普通の言葉で書き換えてみたら次のようになるはず。
（転写した後の）命題28：
もし円弧の一部と交差する2直線で描く図形が与えられたら、何とかしてそれをぴったりと2等分できるはず。ならば、それはいったい、どうやって証明されているのかというと…
理屈を進める前に、ユークリッドの使用されるしつこい言葉遣いの意図も説明しておこう。汎用性をできるだけ強調するためです。数学は、特に、数学の論証では、一つだけの例に通用する論証を構築するのではなく、この類に属しているす・べ・ての例にも通用できるよう、論証を書かなければならないからです。
引かれた線を一括して見ることは難しいから一つ一つ検討するほうがもっと易そうなのでやります。まずは、ADEという折線だけ見てみます
論証によれば折線ADEは明・ら・かに図形を2つの等しい部分に分割するという。確かに、肉眼で図形を観察したらその感じでしょう？「明らか」と言われてたらかなりの感情的な気持ちを引き起こしやすいのではないでしょうか？数学の根拠もあります。まず、点Dは直線BCの半分のところにあるので、三角形の面積はあくまでも、底辺x 高さ x 1/2 = 三角形の面積ですから、長さBD = CDですし、高さも一緒ですから計算された左側と右側の三角形も必ず同じ面積になる。それはただ、図の中で描かれる直線BC・AB・ACの長さによって限定されるわけではなく、直線の中間、交差する2つの直線という性質によってできた高さもきっと同じという法則によって2つの三角形の面積が必ず等しいという事実がわかることになっている。
折線の一部であるADは明らかに上の三角形を2等分するなら、下の円弧の部分は？
面積の計算はわからないから別の方法でやってみます。まず、円形の面積を考えます。
もし直径の上にある円の中心から垂直の線を引いたら、図の示したように明らかに円を4等分しているはず。というのも、円はどこでも対称という性質を持っているからです。ということで左側と右側の部分の面積も対称によって等しくなるはず。今度は円の直径を、そのままに下の方へ移しても、左側の部分＝右側の部分という事実は変わらないでしょう？円弧はどこでも対称という円の性質を覚えたら下部の円弧の一部によってできた図形も、直線DEによって2等分されていることがわかる。
でも、ADEという折線で与えられた図形を等しく分割するのはこの命題の狙いじゃない！実は、この命題が狙っているのは、一直線で完璧に与えられた図形を2つの等しい部分に分割するのです。とはいえ、折線ADEで図形を2等分することも念頭に入れておかなきゃ。
続いて、「DFとAEは平行だから、三角形AFEと三角形ADEの面積は相等しい」という部分を検討してみます。ちなみにオリジナルの図は読みにくいからそれをやや誇張して描いてみます（汗）
こうだったらより読みやすいですよね（笑）私は頭が悪いので最初、なんでDFとAEが平行だけでΔAFEとΔADEの面積が等しいと帰結するのかについて超疑問！！その懸念をガマンしてとりあえず、やってみます。平行の直線で面積が同じ、もしかして合同の三角形の論証という中学ときの数学を使えなきゃわけか？仕方なくネットでちょっと調べてみたら合同の三角形を論証するには、次のような3つの条件のどちらを満たさなければならない。
１） 対応する３辺が等しい。
２） 対応する２辺と間の角が等しい。
３） 対応する１辺と両端の角が等しい。
張り切って条件を満たすところを見つけようとしても、ΔAFEとΔADEはただ、AEという共通する底辺で対応する1辺が等しいという点しか、証明できなかった。ということで、上のどちらの条件も満ちていないことで失敗しました。
合同の三角形の証明はできないなら面積がDFとAEが平行で2つの三角形の面積が等しいと判断する手段は？行き詰まったところで突然、三角形の面積の数式がもう一度、思い浮かぶ。
底辺x高さ＝三角形面積
合同の三角形の面積はもちろん、等しいけど、たとえ合同の三角形同士でなくても、2つの三角形は上の式を満たしたら十分でしょう？完全に同等な三角形かどうかは関係ない！他の可能性ができるからやり直します。
底辺が同じだとわかるね。AEは2つの三角形の共通する底辺ですから。次は高さもお互いに等しいなら面積も必ず同じなはず。この時DFとAEが平行という事実が重要！それでΔAFEとΔADEの高さもきっと等しいと確定している。というのは、並行した直線の間の距離はいつまでも変わらないという皆も百も承知の事実なのです。
ここで、覚えられるべき2つの「中間結果」があります。
一つ目は、折線ADEは与えられた図形を2等分すること
2つ目は、ΔAFEとΔADEの面積は相等しいこと
最後の結論への理解は、私にとって一番難しいからその理解の過程を長く書かせてもらいます。最後の結論の導出の部分を取り上げます。
「それぞれに面積AECを加えよ。面積AFECと面積ADECとは相等しい。それゆえ、EFは与えられた図形ABECを2等分している。」
いつものように注目したい線だけ残して他を消すという手段で論証の意味を検討してみます
すると、図形AECの面積と図形ABECの半分の面積の差はちょうど、ΔADEの面積だとわかっているはず。上図の示すように。
図形ABECの半分の面積と図形AECの面積との差はΔADE面積だからこそ、言い換えると、図形AECにΔADEの面積と同じ任意的な図形を付け加えてもか・な・ら・ず図形ABECの半分の面積と相等しいわけ。そして、ΔAFEはΔADEと同じ面積の三角形ですからこっちもやはり、図形ABECの半分の面積を表示しているわけ。そして、よく気づいたらすぐにわかるよう、ΔAFEの1辺、つまり、直線FEは境界線でもあるから、図形ABECは折線ADEによって2等分される他に、一直線のFEもちょうど、同図形を2等分することは、それによって証明されているとのこと。それに、例示された図形ABECのみならず円弧と角をなす2直線でできた「すべて」の図形を、論証のように直線FEを引くことで等しく分割するのも、保証しているわけです。
はい、しつこい理解は以上です
正直に言うと、ユークリッド原論の本編に直面する勇気は、今でもあんまりないのでとにかく、同書の「ユークリッドと『原論』の歴史」という部分から読み始めます。ご覧のように伊東俊太郎先生のおかげさまでユークリッドとその著作をめぐった側面もいろいろ窺い知れるようになるし、一つ重要な数学の論法を教えてくれるんです。それは、
ポイントは、数学論証ってそれが書かれる順序のように前提から結論を導出するにもかかわらず論証の作成がその逆だと示唆してくれる大事な叙述です。
ところでカナやんの公式ブックである「LOVE STORY」にも掲載されているのですが、カナやんは数学と理科が嫌いという。でも、カナやんの思考パターンは意外と、数学的です。つまり、カナやんも“問題が解けたと仮定して、そこから逆に必要な前提をさかのぼる”という風に解決案を練り上げるようです。前のブログでもそれについて書いてみたんですが、いい出会いを見つける方法という質問へのカナやんの答えとして外に出るというフレーズ。「LOVE STORYのQ & A」コーナーには外に出るという答えについてもっと詳しい説明が掲載されているのです。カナやんは、“まずは自分の好きなタイプを明確にしてみるとか？それでもわからなかったら、「あなたの理想の相手はこういう人です！」みたいな占いを一回だけ信じてみて”と、アドバイスしているが、もちろんカナやんの説明は懇切丁寧でわかりやすいにもかかわらず、ここでそれをあえてユークリッドの論法で書き換えしてみたらこんな感じ
もし「カナやんの恋愛の原論」が編集されたら次のような命題も収録されているはず（笑）
命題1：
外に出ていい出会いが見つかること
好きな人が◯◯タイプだとする。すると、いい出会いは、〇〇タイプの人が居合わせる場所で起こるはず。その居場所は明らかに自分の家ではない。好きな人の居場所は自分の家と違うから外に出るという結論だけが得られる。故に、外に出て好きな人との出会いが見つかる。
だからカナやんにとって外に出るのは漠然として街並みでうろうろして歩き回るわけではなく、直ちに好きな人の居場所を限定して行く！！！そして、そこにいる人とバッチリ出会うことでいい出会いを見つけていく！
ちょっと待って！今ではカナやんの恋愛の原論の模様を妄想する場合じゃないとはっとして気づきましたm(_ _ )m
本題は何だっけ？そうそう、ユークリッドの原論を皆と一緒に（なんとなくもう人の気配があんまり感じられないけど 汗）読もうとする今回の記事、最初に見てみるユークリッド論証は、実は、原論からのものじゃなくて、ユークリッドの他の著作、「図形分割論」からのものです。はい、まずは、命題とその論証の様子を見てみてください。
命題28のところから読んでもいいんですが、いかがでしょうか？私の場合では感想がただ1つ。それは、
うるさい！！！
論証の説得力はともかく、中身にぎっしりと詰まっている言葉として線ABCDEFとか、三角形ABCDEFなどなどしつこい！そして、右の図は本当にその出来栄えが悪すぎるんじゃない？線と線との距離が近すぎるしお互いに重なり合うので読みにくいもの！！！
冷静崩壊寸前の時にカナやんの表情写真は役に立つ(o^-')b
いい発想が思いついたというカナやんの表情を見るとなんか力が湧いてくる気がして（笑）
まずは、わかるかわからないかあのやっかいな命題をもっと普通の言葉で書き換えてみたら次のようになるはず。
（転写した後の）命題28：
もし円弧の一部と交差する2直線で描く図形が与えられたら、何とかしてそれをぴったりと2等分できるはず。ならば、それはいったい、どうやって証明されているのかというと…
理屈を進める前に、ユークリッドの使用されるしつこい言葉遣いの意図も説明しておこう。汎用性をできるだけ強調するためです。数学は、特に、数学の論証では、一つだけの例に通用する論証を構築するのではなく、この類に属しているす・べ・ての例にも通用できるよう、論証を書かなければならないからです。
引かれた線を一括して見ることは難しいから一つ一つ検討するほうがもっと易そうなのでやります。まずは、ADEという折線だけ見てみます
論証によれば折線ADEは明・ら・かに図形を2つの等しい部分に分割するという。確かに、肉眼で図形を観察したらその感じでしょう？「明らか」と言われてたらかなりの感情的な気持ちを引き起こしやすいのではないでしょうか？数学の根拠もあります。まず、点Dは直線BCの半分のところにあるので、三角形の面積はあくまでも、底辺x 高さ x 1/2 = 三角形の面積ですから、長さBD = CDですし、高さも一緒ですから計算された左側と右側の三角形も必ず同じ面積になる。それはただ、図の中で描かれる直線BC・AB・ACの長さによって限定されるわけではなく、直線の中間、交差する2つの直線という性質によってできた高さもきっと同じという法則によって2つの三角形の面積が必ず等しいという事実がわかることになっている。
折線の一部であるADは明らかに上の三角形を2等分するなら、下の円弧の部分は？
面積の計算はわからないから別の方法でやってみます。まず、円形の面積を考えます。
もし直径の上にある円の中心から垂直の線を引いたら、図の示したように明らかに円を4等分しているはず。というのも、円はどこでも対称という性質を持っているからです。ということで左側と右側の部分の面積も対称によって等しくなるはず。今度は円の直径を、そのままに下の方へ移しても、左側の部分＝右側の部分という事実は変わらないでしょう？円弧はどこでも対称という円の性質を覚えたら下部の円弧の一部によってできた図形も、直線DEによって2等分されていることがわかる。
でも、ADEという折線で与えられた図形を等しく分割するのはこの命題の狙いじゃない！実は、この命題が狙っているのは、一直線で完璧に与えられた図形を2つの等しい部分に分割するのです。とはいえ、折線ADEで図形を2等分することも念頭に入れておかなきゃ。
続いて、「DFとAEは平行だから、三角形AFEと三角形ADEの面積は相等しい」という部分を検討してみます。ちなみにオリジナルの図は読みにくいからそれをやや誇張して描いてみます（汗）
こうだったらより読みやすいですよね（笑）私は頭が悪いので最初、なんでDFとAEが平行だけでΔAFEとΔADEの面積が等しいと帰結するのかについて超疑問！！その懸念をガマンしてとりあえず、やってみます。平行の直線で面積が同じ、もしかして合同の三角形の論証という中学ときの数学を使えなきゃわけか？仕方なくネットでちょっと調べてみたら合同の三角形を論証するには、次のような3つの条件のどちらを満たさなければならない。
１） 対応する３辺が等しい。
２） 対応する２辺と間の角が等しい。
３） 対応する１辺と両端の角が等しい。
張り切って条件を満たすところを見つけようとしても、ΔAFEとΔADEはただ、AEという共通する底辺で対応する1辺が等しいという点しか、証明できなかった。ということで、上のどちらの条件も満ちていないことで失敗しました。
合同の三角形の証明はできないなら面積がDFとAEが平行で2つの三角形の面積が等しいと判断する手段は？行き詰まったところで突然、三角形の面積の数式がもう一度、思い浮かぶ。
底辺x高さ＝三角形面積
合同の三角形の面積はもちろん、等しいけど、たとえ合同の三角形同士でなくても、2つの三角形は上の式を満たしたら十分でしょう？完全に同等な三角形かどうかは関係ない！他の可能性ができるからやり直します。
底辺が同じだとわかるね。AEは2つの三角形の共通する底辺ですから。次は高さもお互いに等しいなら面積も必ず同じなはず。この時DFとAEが平行という事実が重要！それでΔAFEとΔADEの高さもきっと等しいと確定している。というのは、並行した直線の間の距離はいつまでも変わらないという皆も百も承知の事実なのです。
ここで、覚えられるべき2つの「中間結果」があります。
一つ目は、折線ADEは与えられた図形を2等分すること
2つ目は、ΔAFEとΔADEの面積は相等しいこと
最後の結論への理解は、私にとって一番難しいからその理解の過程を長く書かせてもらいます。最後の結論の導出の部分を取り上げます。
「それぞれに面積AECを加えよ。面積AFECと面積ADECとは相等しい。それゆえ、EFは与えられた図形ABECを2等分している。」
いつものように注目したい線だけ残して他を消すという手段で論証の意味を検討してみます
すると、図形AECの面積と図形ABECの半分の面積の差はちょうど、ΔADEの面積だとわかっているはず。上図の示すように。
図形ABECの半分の面積と図形AECの面積との差はΔADE面積だからこそ、言い換えると、図形AECにΔADEの面積と同じ任意的な図形を付け加えてもか・な・ら・ず図形ABECの半分の面積と相等しいわけ。そして、ΔAFEはΔADEと同じ面積の三角形ですからこっちもやはり、図形ABECの半分の面積を表示しているわけ。そして、よく気づいたらすぐにわかるよう、ΔAFEの1辺、つまり、直線FEは境界線でもあるから、図形ABECは折線ADEによって2等分される他に、一直線のFEもちょうど、同図形を2等分することは、それによって証明されているとのこと。それに、例示された図形ABECのみならず円弧と角をなす2直線でできた「すべて」の図形を、論証のように直線FEを引くことで等しく分割するのも、保証しているわけです。
はい、しつこい理解は以上です