高校時代のわたしがいちばん好きだった科目は数学です。
だから数学の教科書を読むこともすごく好きだったわけで
しかしながら残念なことに、教科書レベルの記述でどーーーしても理解できないことがひとつ、
わたしは『積分』がわかりませんでした。
当時使ってた数IIの教科書では積分の最初のページに
『原始関数を求めることを積分という』
的に定義っぽいことが書いてあって、
それなら積分は微分の逆操作ってことだし、
微分は、F(x)＝“時間と距離の関係”からf(x)＝“瞬間の速さ”を求める操作なんだから(とりあえず高２当時のわたしはこう理解してた)
・不定積分＝『“瞬間の速さ”から“時間と距離の関係”を求める』
・定積分＝『“瞬間の速さ”から“距離”を求める』
ってのが本質なはずなのに、
なんで定積分で面積が出せるの？
でも『“積”分』っていうくらいだし、あれ、もしかして本質は求積のほう？？
？？？？？
っていう疑問を
高２のとき石黒先生に答えてもらったけどよくわからず、
大２のとき物理の台坂先生に答えてもらったけどよくわからず、
大３のとき理系学部の友だちに答えてもらったけどよくわからず(ついでに「何がわからないかがわからない」って言われ)、
この６年間ずっとよくわからなかったことが、
おすすめの論文でちょっとわかるようになった気がするわけです！
とりあえずわたしが『意味わからん！』って思った通り、
微分と積分はもともとセットの概念ってわけじゃなかった。
やっぱり積分の定義は求積によるものってことであってるっぽい。
積分の歴史は微分よりもずーーっと古い。
それがなにやら微分が発見されたら微分の逆操作に一致したもんだから、わーぉ！みたいな(゜0゜)
意味づけのないf(x)だけを考えても求積と微分の関係って見えにくいけど、
f(x)に『速さ関数』っていう性格を与えて『速さ×時間＝距離』を考慮すれば、
距離＝F(b)-F(a)は、
f(x)のある平面上では『f(x)とx軸とx=aとx=bで囲まれる面積』としてあらわれる
（∵区分求積
…時刻aから時刻bまで『瞬間の速さ×時間の増分』を超超ちょーー細かく作って足し合わせる
…a≦x≦bについてlim(Δx→0)Σf(x)・Δx＝∫b-a f(x)・dx ）
（←定積分の本来の定義づけ）
わけだから、
求積(＝積分)と距離を求めること(＝微分の逆操作)は当然に一致する。
∴∫b-a f(x)・dx＝F(b)-F(a)
この段階になって『うわ微分と積分は実は表裏一体なんじゃん！！』って判明したわけで、
微分の発見によって積分計算は進歩したってことですね(゜.゜)
F(x)は位置関数でf(x)は速さ関数なんだなーって認識してたにもかかわらず自力で論を通せなかった自分はまあどんまいだけど、
あたかも
『まず微分ありき』
ってスタンスで積分を定義してる、いまの学習指導要領はびみょーだなって思いました。
(偏差値高い高校ではちゃんと教えてるのかも…？)
だから数学の教科書を読むこともすごく好きだったわけで
しかしながら残念なことに、教科書レベルの記述でどーーーしても理解できないことがひとつ、
わたしは『積分』がわかりませんでした。
当時使ってた数IIの教科書では積分の最初のページに
『原始関数を求めることを積分という』
的に定義っぽいことが書いてあって、
それなら積分は微分の逆操作ってことだし、
微分は、F(x)＝“時間と距離の関係”からf(x)＝“瞬間の速さ”を求める操作なんだから(とりあえず高２当時のわたしはこう理解してた)
・不定積分＝『“瞬間の速さ”から“時間と距離の関係”を求める』
・定積分＝『“瞬間の速さ”から“距離”を求める』
ってのが本質なはずなのに、
なんで定積分で面積が出せるの？
でも『“積”分』っていうくらいだし、あれ、もしかして本質は求積のほう？？
？？？？？
っていう疑問を
高２のとき石黒先生に答えてもらったけどよくわからず、
大２のとき物理の台坂先生に答えてもらったけどよくわからず、
大３のとき理系学部の友だちに答えてもらったけどよくわからず(ついでに「何がわからないかがわからない」って言われ)、
この６年間ずっとよくわからなかったことが、
おすすめの論文でちょっとわかるようになった気がするわけです！
とりあえずわたしが『意味わからん！』って思った通り、
微分と積分はもともとセットの概念ってわけじゃなかった。
やっぱり積分の定義は求積によるものってことであってるっぽい。
積分の歴史は微分よりもずーーっと古い。
それがなにやら微分が発見されたら微分の逆操作に一致したもんだから、わーぉ！みたいな(゜0゜)
意味づけのないf(x)だけを考えても求積と微分の関係って見えにくいけど、
f(x)に『速さ関数』っていう性格を与えて『速さ×時間＝距離』を考慮すれば、
距離＝F(b)-F(a)は、
f(x)のある平面上では『f(x)とx軸とx=aとx=bで囲まれる面積』としてあらわれる
（∵区分求積
…時刻aから時刻bまで『瞬間の速さ×時間の増分』を超超ちょーー細かく作って足し合わせる
…a≦x≦bについてlim(Δx→0)Σf(x)・Δx＝∫b-a f(x)・dx ）
（←定積分の本来の定義づけ）
わけだから、
求積(＝積分)と距離を求めること(＝微分の逆操作)は当然に一致する。
∴∫b-a f(x)・dx＝F(b)-F(a)
この段階になって『うわ微分と積分は実は表裏一体なんじゃん！！』って判明したわけで、
微分の発見によって積分計算は進歩したってことですね(゜.゜)
F(x)は位置関数でf(x)は速さ関数なんだなーって認識してたにもかかわらず自力で論を通せなかった自分はまあどんまいだけど、
あたかも
『まず微分ありき』
ってスタンスで積分を定義してる、いまの学習指導要領はびみょーだなって思いました。
(偏差値高い高校ではちゃんと教えてるのかも…？)