以下のサイトにシェルスクリプトがあったので、やってみました。
Place a Twilio Call from the Shell
https://www.twilio.com/labs/bash
環境はAWS上のAmazon Linuxを利用したところ、電話をかけることができませんでした。
スクリプト内の以下の行の中の"2008-08-01"と書かれているところを"2010-04-01"へ
変更することで電話をかけることができました。
RESPONSE=`curl -fSs -u "$ACCOUNTSID:$AUTHTOKEN" -d "Caller=$CALLERID" -d "Called=$PHONE" -d "Url=http://twimlets.com/message?Message=$MSG" "https://api.twilio.com/2008-08-01/Accounts/$ACCOUNTSID/Calls" 2>&1`
2008-08-01は旧バージョンで、2010-04-01が新しいバージョンなのですが、
もしかしたらAWSで旧バージョンのAPI通信をブロックしているのかもしれないですね。
今度は、AWS以外の環境で試してみます。