ε-δ論法は理工系の大学生ならば大学一回生での初等数学で一度は教えられているだろう。
しかしε-δ論法は高校までの具体的な論法ではなく、抽象度の高い論法であると思ったことはないだろうか。
高校数学での数列の収束、すなわち数列a1,a2,a3,...anが存在し、下記の式
lim an = b
n→∞
が成立するときの記述は、"nを限りなく大きくするとbとなる”というような書き方をしていたように思う。
これは一見するとたしかに何となく分かる、といった感じを覚えるが、”限りなく”というキーワードに違和感を感じるであろう。
ではε-δ論法ではどうであろうか。記号論理で表すとする。
∀ε，∃δ，s.t ∀n, δ < n → | an < b| < ε
s.t.とはsuch thatの略称である。
ここで、上式の意味は
「任意の数εに対し、ある数δが存在し、全てのnより小さいδに対して|an － b| < ε
が成り立つ」という意味である。
これではとても意味がわかりにくい。
これを噛み砕いてゆこう。
誤差の許容限界として、正の数εを用意する。
数列an - b|はnを大きくしてゆくと0に近づくので、十分先のnに対しては、|an - b}は許容限界の誤差εの中に入る。
これは
|an - b| < ε
と書くことが出来る。ここで、十分先のnに対してこの誤差からはみ出るanは有限個しか存在しない。
限界の誤差εを超えないnの最大の数をδとしよう。
もしδ < n ならばan は全て限界の内に入るのがわかる。
許容限界の誤差εは何でも良いので、それに応じてδを大きくとればδより先のすべてのnに対して
|an - b| < ε が成立することがわかるであろう。
これをより、「nに対してδが存在する」という記述をわかりやすく書こうとすると、
δはnの関数を捉えればよいのではないか。
つまり、δ(n)と書くとわかりやすいかと思う。
参考文献：
[1]数学セミナー：2010年3月号
[2]Wikipedia：ε-δ論法
しかしε-δ論法は高校までの具体的な論法ではなく、抽象度の高い論法であると思ったことはないだろうか。
高校数学での数列の収束、すなわち数列a1,a2,a3,...anが存在し、下記の式
lim an = b
n→∞
が成立するときの記述は、"nを限りなく大きくするとbとなる”というような書き方をしていたように思う。
これは一見するとたしかに何となく分かる、といった感じを覚えるが、”限りなく”というキーワードに違和感を感じるであろう。
ではε-δ論法ではどうであろうか。記号論理で表すとする。
∀ε，∃δ，s.t ∀n, δ < n → | an < b| < ε
s.t.とはsuch thatの略称である。
ここで、上式の意味は
「任意の数εに対し、ある数δが存在し、全てのnより小さいδに対して|an － b| < ε
が成り立つ」という意味である。
これではとても意味がわかりにくい。
これを噛み砕いてゆこう。
誤差の許容限界として、正の数εを用意する。
数列an - b|はnを大きくしてゆくと0に近づくので、十分先のnに対しては、|an - b}は許容限界の誤差εの中に入る。
これは
|an - b| < ε
と書くことが出来る。ここで、十分先のnに対してこの誤差からはみ出るanは有限個しか存在しない。
限界の誤差εを超えないnの最大の数をδとしよう。
もしδ < n ならばan は全て限界の内に入るのがわかる。
許容限界の誤差εは何でも良いので、それに応じてδを大きくとればδより先のすべてのnに対して
|an - b| < ε が成立することがわかるであろう。
これをより、「nに対してδが存在する」という記述をわかりやすく書こうとすると、
δはnの関数を捉えればよいのではないか。
つまり、δ(n)と書くとわかりやすいかと思う。
参考文献：
[1]数学セミナー：2010年3月号
[2]Wikipedia：ε-δ論法