フーリエ解析の楽しさとその弱点を述べる前に、フーリエ解析とは何かを簡単に述べておこう。
「フーリエ解析とは、ある関数（波）をフーリエ変換による周波数成分によって関数（波）に含まれている情報を解析すること」
であると私は定義する。
フランスの数学者 フーリエ（Fourier、1764-1830）"任意の周期関数は三角関数（三角波）の和で表される”という仮定の下で、
周期関数を三角関数を使って級数展開する方法(フーリエ級数展開)を考案した。
フーリエ変換とは、非周期関数にも対応したものである。
非周期関数は無限空間を考えることによって周期関数だと仮定することが出来る。
これによって殆どの非周期関数を周波数によって分解出来るようになりました。
フーリエ解析を行うことにより、様々な関数の隠れた情報を見つけることができます。
一見して全く別物だと思われる関数を周波数成分でみた際には全く同じものであった、
ということが起こり得ること、これは非常に興味深いことですね。
しかしフーリエ解析には弱点が存在します。
１．基底関数として三角関数を用いていること
２．位置情報が失われてしまうこと
この二点は重大な欠陥といえるでしょう。
１．の弱点というのは、基底関数として三角関数を用いていることにより、「その関数がどの程度三角関数に似ているか」を表しているので、
三角波に似ていない関数が現れた場合には精度が正確でないことが挙げられます。
２．の弱点では、三角波が局在化していないために（無限に続いているために）関数のどの位置にどの周波数が潜んでいるか、
という情報が失われてしまいます。
２．を解消するために窓フーリエ変換を用いる手法が存在しますが、窓の幅を適切にしなければ周波数での情報が正確に読み取れないという
問題が存在します。
これは大問題。ということでこれが問題だと思うならウェーブレット解析を使いましょう。
何が言いたかったんだ俺は。
参考文献：
１．音と色と数の散歩道："フーリエ解析とは”，（2013/1/27参照）．
２．Wikipedia："フーリエ解析”，（2013/1/27参照）．
「フーリエ解析とは、ある関数（波）をフーリエ変換による周波数成分によって関数（波）に含まれている情報を解析すること」
であると私は定義する。
フランスの数学者 フーリエ（Fourier、1764-1830）"任意の周期関数は三角関数（三角波）の和で表される”という仮定の下で、
周期関数を三角関数を使って級数展開する方法(フーリエ級数展開)を考案した。
フーリエ変換とは、非周期関数にも対応したものである。
非周期関数は無限空間を考えることによって周期関数だと仮定することが出来る。
これによって殆どの非周期関数を周波数によって分解出来るようになりました。
フーリエ解析を行うことにより、様々な関数の隠れた情報を見つけることができます。
一見して全く別物だと思われる関数を周波数成分でみた際には全く同じものであった、
ということが起こり得ること、これは非常に興味深いことですね。
しかしフーリエ解析には弱点が存在します。
１．基底関数として三角関数を用いていること
２．位置情報が失われてしまうこと
この二点は重大な欠陥といえるでしょう。
１．の弱点というのは、基底関数として三角関数を用いていることにより、「その関数がどの程度三角関数に似ているか」を表しているので、
三角波に似ていない関数が現れた場合には精度が正確でないことが挙げられます。
２．の弱点では、三角波が局在化していないために（無限に続いているために）関数のどの位置にどの周波数が潜んでいるか、
という情報が失われてしまいます。
２．を解消するために窓フーリエ変換を用いる手法が存在しますが、窓の幅を適切にしなければ周波数での情報が正確に読み取れないという
問題が存在します。
これは大問題。ということでこれが問題だと思うならウェーブレット解析を使いましょう。
何が言いたかったんだ俺は。
参考文献：
１．音と色と数の散歩道："フーリエ解析とは”，（2013/1/27参照）．
２．Wikipedia："フーリエ解析”，（2013/1/27参照）．