多項式の合同式
多項式f(x)に対してf(f(x))-xを f(x)-xで割った余りを求める問題です。
特に知識がなくとも
g(x) = f (x) − x とおくと
f (f (x)) − x = f (g(x) + x) − x = (g(x)が含まれる項) + f (x) − x
となり、割り切れることがわかります。
多項式の合同式
多項式の合同式を使いましょう。
整数の合同式と大きく変わる点はありません。
(詳しく知りたい場合、多項式の合同式と調べてください。
更に詳しく調べたければ、多項式環の剰余環について調べてください。
今回は、R[x]/(f(x)-x) という剰余環を考えていることに対応します)
mod f(x)-x の世界では、f(x)-x=0 なので、f(x)=xです。
それを用いれば、下のように解くことができます。
また、2021年度の早稲田大学理工学部入試で出題された、
「x^{2021}をx^4-x^2+1 で割った余りを求める」
という問題も多項式の合同式を用いれば容易に解くことができます。
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