遅ればせながら、この前受験を辞退して家に放置してあった名大オープン模試（河合塾）の数学の問題を解いてみました。
１問目、軌跡の問題 ２問目、微分と整数の問題 ３問目、nが絡んだ確率の問題
昨日は夜１２時回ってまして、３は面倒そうなので、１、２だけ解いてみることに。
まぁ結果は２完。京大志望者として、この程度の問題は完答できて当然ですね。
１問目はただ単に通過領域の変数固定をすれば解ける問題。
しかもわざわざご丁寧に「xを固定して」とまでついてる。
まぁ、正直まだ解法を習得していない人は、いきなり「xを固定して・・・」と言われても意味が分からないと思いますが・・・。
（僕はそうでしたね。初めてこの手の問題に出会った時は「固定？変数をそんな都合よく固定していいの？」って考えてしまい、堂々巡りに陥ってしまったものです。）
２問目は、最後だけちょっと骨がありました。
ただ、整数問題での鉄則「整数の範囲を絞り込む」ことを意識すれば、aを自然数として、
「f(x)=x(x-a)^2-4<0を満たす整数ｘは、a≧5においてはx=aの１つしかない。」
これを論証できるかにかかってます。
僕の論証の仕方は
そもそも、f(x)=x(x-a)^2-4<0を満たす整数ｘは、a≧5においてはx=aの１つしかない。
なぜなら、a≧5のとき、x≠aとすると、 (x-a)^2=1 とすれば、x≧4であり、それ以外の場合は(x-a)^2≧2^2=4となるからである。
たったこれだけ。ちょっと説明不十分ですかね。多分模試では減点されますし、これが論証判定がものすごく厳しい京大入試だったら大減点かも。
まぁ要するに、
(x-a)^2=1 のとき、すなわち x=a+1, a-1のとき、a≧5であるから、xは最低でも4にならないといけません。
ところが、x=4とすると、例えば(x-5)^2=1だったとしても、x(x-5)^2=4×1=4となってしまいます。
それ以外の場合は、xとaとの差が2以上ありますから、結局(x-a)^2≧2^2=4となってしまい、ｘがどんなに頑張ってもx(x-a)^2-4≧0となってしまうわけです。
・・・これでも分かり難いかも・・・。
模範解答の論証の仕方はグラフを使ってましたが、それを言葉で説明しただけですね。
論証は京大入試において物凄く大事ですから、きちんと対策をしていきたいと思います。