※多少ネタバレ入りますので、京大の過去問演習が進んでいない方は見ない方がいいかもしれません。
昨日は青チャートを進めずに、一昨日やった分が全然出来なかったので、もう一回解きなおすことにした。
もののついでに、２０１１年の京大数学の問題を２問やってみた。
すると、選んだ問題が易しかったのか、思いのほか、二問とも完答できた。
２０１１年の京大文系と言えば、あのカンニング事件が頭を過ぎりますね・・・。
まぁそれはおいといて、
２０１１年 京大数学
四面体OABCにおいて、点Oから３点A,B,Cを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をHとする。
↓OA⊥↓BC ↓OB⊥↓OC
l↓OAｌ＝２ ｌ↓ＯＢｌ＝ｌ↓ＯＣｌ＝３
ｌ↓ＡＢｌ＝√７ のとき、 ｌ↓ＯＨｌを求めよ。
要はＯＨの長さを求めてくれや～っていう問題ですね。
これ、東進の解答だと
↓OA=↓a ↓BC＝↓b ↓OC＝↓c
とおいて地道にやってましたね。
僕はちょっと違ったやり方で解いたんですが、
この問題を見た瞬間に、ベクトルの成分表示で解いていくことを決めました。
↓OB⊥↓OC
ですから、Oを原点、 B,Cをそれぞれx軸 y軸のベクトルと見立てられますよね。
それに、
ｌ↓ＯＢｌ＝ｌ↓ＯＣｌ＝３
ですから
例えば
↓ＯＢ＝（３，０，０）
↓ＯＣ＝（０，３，０）
だなんておけちゃったりするんですよね。
⊥マークなんかが頻発したり、ベクトルの大きさの条件が頻発しているということは、内積の計算が多々出てくると予想されます。
そこで、こうすることで内積の扱いがちょっと楽になる気がします。
で、↓OA＝（ｐ，ｑ，ｒ） として、上のたくさんある条件式にあてはめれば、丁度
３つのｐ，ｑ，ｒについでの連立方程式が作れますので、これを解いたら（ｐ，ｑ，ｒ）の値が二通りでます。
ここで（ｐ，ｑ，ｒ）についての２通りの場合分けをしようと思ったんですが、
よく考えたら求めるものは、ベクトルの大きさなので、おそらく場合わけをしなくても答えは同じになるだろうと思い、省きました。
あとは、
ＨがＡＢＣ平面状にある ⇔ ↓ＯＨ＝ｓ↓ＯＡ＋ｔ↓ＯＢ＋ｕ↓ＯＣ （ただしｓ＋ｔ＋ｕ＝１） にあてはめるなり、
ＯＨが平面ＡＢＣの垂線である ⇔ ↓ＯＨ⊥↓ＡＢ ↓ＯＨ⊥ＢＣ （↓ＯＨ⊥↓ＡＣ） にあてはめるなりして、
ｓ ｔ ｕ についての３つ以上の連立方程式を解いて、それを代入すれば値は出てきますよね。
煩雑な計算が多かったので、正直答えが合ってるか不安でしたけど、とりあえず合っていて「ホっ」としています。
[３]
実数ａが変化するとき、
三次関数ｙ＝ｘ³－４ｘ²＋６ｘ と 直線y=x+a
のグラフの交点の個数はどのように変化するか。
aの値によって分類せよ。
これは正直「京大合格者で解法が思い浮かばなかった人っていないんじゃないの？」っていうくらいシンプルな問題。
青チャート未満の問題集ですら「応用練習」みたいな感じで出てきそうな問題ですね。
正直自分はまだ微分積分は教科書傍用問題集しか終わらせてないけど、これは解けた。
ただ、この「ａ」がもし三次関数の二次係数や一次係数なんかにかかっているとちょっとややこしくなりますよね。
（三角関数や対数関数、絶対値関数でもこの手の問題は出ますけど、ホントやめてほしいですｗ）
まぁでもこの問題の解き方はいたって簡単。
ｙ＝x³-4ｘ²＋６ｘ ・・・①
ｙ＝ｘ＋ａ ・・・②
からｙを消去して、
x³－４ｘ²＋６ｘ＝ｘ＋ａ
⇔ ｘ³－４ｘ²＋５ｘ＝ａ
として、
f(x)= x³－４ｘ²＋５ｘ
とし、ｘ軸に平行な定数関数 ｙ＝ａ との共有点を求めるだけ。
で、その際に
ｆ（ｘ）を微分して増減表を作り、グラフ作成して、ｙ＝ａを上下に移動させればもう出来上がり。
京大らしく、（微分した二次関数）＝０の二次方程式が、解の公式を使わないと無理だとか、そういう感じだと思ったんですが、これもすんなり因数分解終了。
京大生なら１０分以内で終わる問題だと思います。
京大といえば「受験生が遊ばれてる」って言われるほど、鬼畜問題や化け物問題が出てくるという印象が強いんですが、やはりこういった問題も出るんですね。
でも、かの有名な京大後期の最終問題
「ｔａｎ１°は無理数か」
には吹きましたけどねｗ
（青チャートに載ってましたｗ）
まぁそんなわけで、今日も一日勉強頑張ろうと思います。
まずは現代文現代文・・っと。