中学生の数学 数列（例題１）

数列の例題を挙げてみました。

いくつかの別解もあると思いますが、記事に沿った解答を書いてみました。


数列の例題を挙げてみました。

いくつかの別解もあると思いますが、記事に沿った解答を書いてみました。

画像の制限から、見づらいと思いますがすみません。


宜しくお願いします。

（今後その必要がないように加工していきたいと思います。）

どうでしょうか？


やっと少し詳しい解説と少し難しい問題用にブログを用意できました。

同じ記事もアップしてあります,,,

が、早出しして記事を書いていますので、

チェックしてみて下さい。

以下がそのブログのアドレスです。

http://sigesampo.blog.so-net.ne.jp/

こちらも宜しくお願いします。

(￣▽+￣*)

中学生の数学 数列

今回は、数列の問題について質問を受けたので、

少しだけ数列の解法について話したいと思います。



『　数列はイヤだなぁ　』　と思う人は、

次のチェックポイントを確認してみて下さい。



ここでの数列の問題というのは、

第n番目はどうなりますか？という文章問題とします。



このような数列の問題では、

中学生、高校生の問題でも第n番目を表す式は、

無限にあるのではなく、

良くできる人は　式の形をある程度予測している　場合がほとんどです。



高校生の中級位の問題でも、

数列の式を作るための部品は、

n番目の数列を求めるとする時、kを整数とすると、

　　　足す(+k)、引く(‐k) 　と

　　　掛ける(n×k) 　と

　　　指数(nの２乗) 　です。



これらのどれかの形の式か

または これらを組み合わせた形の式になります。



例えば、n番目の個数は、4n+1 で求められる。といった形です。

この例では　4×n　（掛ける）　と　＋1　（足す）　の組み合わせで出来ています。



この部品を組み合わせる方法は、

ひと言では言えませんが、それに気付くポイントが2点あります。



1点目は、

1番目から2番目へやn番目から(n+1)番目への変化が　奇数になるか　偶数になるか？　

奇数なら　(2n+1)　を　偶数なら　(2n)　を考えたり、部品にしたりする。



2点目は、

1番目から2番目へやn番目から(n+1)番目への変化で　　変化する部分のカタマリはどこか？

変化する部分と　変化しない部分を　分けて部品を組み合わせていく。



変化しない部分は　(+1)　や　(+k)　で、変化する部分に加える形です。



これらのポイントをチェックして数列の問題に当たってみて下さい。



後日　練習例題についても書いてみたいと思いますので、宜しくお願いします。

中学生の数学 確率５（入門・初級）

さて、今回は練習例題なんですが・・・かなり長くなってしまいました。


よろしくお願いします。


さて、練習例題と　
その前に、確率の求め方・・・カッコ良く言うと定義とでも言うんでしょうか。　の説明をします。


確率は　起こりえる　全ての　現象の数　と

　　　　　　求める　現象の数　で求めます。


この２つの数を用いて求めます。


公式は

　　　　　　　　　　　　　求める現象の数
（　確率　）　=　------------------------
　　　　　　　　　　　起こりえる全ての現象の数

となります。


樹形図　や　ブログで説明した順列の公式　で　この現象の数を求めます。


質問が何通りですか？　という場合では、現象の数を求めればよいです。


確率は？　という場合は、　面倒だけど　２つの場合の数を求めて　計算しなければならないです。


では、例題をやっていきましょう。


『　リンゴ、ミカン、ナシ、カキ　の　４つの果物がある時、次の問いに答えなさい。

　　(1)　4つの果物を1列の並べる時、　並べ方は全部で何通りあるか？

　　(2)　4つの果物から2つのを選ぶ時、　選び方は全部で何通りあるか？　』




(1) からやっていきましょうか。

これは、解法のポイント1　または2　を使います。

4種類の果物　n=4　、　r=4　の場合で考えます。

　　　ですので、4×3×2×1　=　24通り　になります。


説明ですが

　　　まず、4種類の果物から1種類　カキを選びましょうか。

他の果物でもいいんですよ。その選び方が　4種類あるんです。

次は、最初に選んだ　カキを除いた3種類の中から選びます。え～　ミカンにしますか。

この場合も、選び方は　（4－1）=3　通り　あります。

　　　そして、次は　カキと　ミカンを除いた2種類の中から選びます。では、ナシにします。

　　　もちろん　選び方は　（4－1－1）=2　通りです。

　　　最後は、残っている1種類　つまり（4－1－1－1）=1　通りで　リンゴしか残っていません。

　　そして、その並べ方は　カキ－ミカン－ナシ－リンゴ　で並べられます。必ずこの順番です。

　　　こういった　全ての　並べ方の　種類を計算すると、上の式から　24通りとなります。





(2) 次は選び方の問題ですね。

ですので解法ポイント1と2　を使います。

解法ポイント1では　4種類の中から　2種類選ぶ場合の数　なので、

　n=4　、　r=2　として　公式を用いて計算します。

4×3=12　12通りです。

ここでは、カキと　ナシを選びますか。

次に、解法ポイント2　も用います、必ず。


ここでは、選び方の問題では　同じ選び方となるモノを　抜かないといけません！！


　　　つまり、解法ポイント1、2　は　同じモノから出来たモノでしたよね。

　　　ホントは　順列の公式は　並べ方の数　を求める式　なんです。　

　　　カキ－ナシ　という順番で選んでも、　ナシ－カキ　という順番で選んでも、

　　　選び方自体は　カキと　ナシ　で同じなんです。

　　　
　　　これを求めるために解法ポイント2　を使いますn=2　、r=2　の場合です

　　　2×1=2　2通り


　　　　　　　　　　　　　　　解法ポイント1　（取り出したモノの並べ方の数）
（選び方の　場合の数）　＝　------------------------------------------
　　　　　　　　　　　　　　　解法ポイント2　（取り出したモノの重複するモノの数）


　　この　公式　
　　（公式となのかな？　僕の考えた計算式ですので、注意して下さい）　を用いて


　　　解法ポイント1　より　12通り
　　　------------------------------　　＝　　6通り
　　　解法ポイント2　より　2通り



　　そして　答えは　6通り　になります。




今回の練習例題は以上です。お疲れ様でした。

中学生の数学 確率４（入門・初級）

やっと　解法の回になりました。



お待たせしました。



樹形図以外の解法．．．皆さんも知っている　順列の公式　です。



『　なんだ知っているよ～　』　なんて言わないで下さい～。



ひとつの公式ですが、

これで　ならべ方の解法　と　えらび方の解法　を　作り出せる　んですから。



順列の解法はというと、


異なるn個のモノからr個取り出して、

一列に並べたものをn個のモノからr個取る順列といい、

その総数は　n(n-1)(n-2)×…×(n-(r-1))　というものです。


これを用いることで、2つの解法のポイントが導けるんです。



解法ポイント　1

4個のモノから3個取る順列の総数　は

4×3×2　=　24 24通りです。

これは　n=4　そして　r=3　の場合です。



解法ポイント　2

　　　3個のモノから3個取る順列の総数　は

　　　3×2×1　=　6 6通りになります。

　　　これは　n=3　そして　r=3　の場合です。



そして、この2つのポイントによって

　　　　ならべ方の解法　と　えらび方の解法　の2つの解法が　引き出せます。



では、ならべ方の解法から

これは　解法のポイント1　または2　の　どちらか　を用いればよいです。　どちらかです。



一方、えらび方の解法では、

常に、常にですよ、解法のポイント1　と　2　の　両方　を必ず使います。



これを覚えておくと

これで答えが出せない問題　や　ならべ方・えらび方じゃない問題は、　

樹形図での解法となります。



たった　3つの解法だけですので、・・・

まぁ～みんなは樹形図を知っているでしょうから

上の2つの解法の使い方を覚えればいいだけです。

最終回にするつもりでしたが、

次回、この解法の練習問題をやってみたいと思います。

よろしくお願いします。

中学生の数学 確率３（入門・初級）

では、最後の確率の解法　3回目ですね。


解法の説明と行きたいところですが、

その前に、

前回分に関して、もう少し説明がほしい　という声をいただいたので、

今回は、それらについて説明を加えることにしたいと思います。


それは、2点ありました。


1点目は、並べ方と選び方を区別するためのキーワードが少ないとの声をいただきました。



これに関しては、少し説明を加えたあと、キーワードを伝えたいと思います。



まず、説明不足だったと思われることに対して補足を加えます。



このキーワードは問題文の中に書いてあるとは限りません。



問題文中では、　ワザと書き方や言葉を変えて書かれている　ので、

すみませんが、問題を解いている時にチェックしてもらえるとうれしいのですが・・・。



他に挙げるとしたら、　ならべ方では　『　一列に並べる　』や『　順序・順番　』　です。



先日のキーワードの『　〇番目　』というのも『　順序・順番　』を考えていることなんです。


たとえが少なくてすみません。



えらび方の方は、ならべ方が分かってくれば、

えらび方は比較しやすくなって見分けが付きやすくなると思います。



ただし、入門・初級レベルの問題では、

問題文中に書かれている言葉をチェックすると良いと思いますが、

中級以上になると、素直な言葉では書かれていないと思います。



入門・初級の方や確率に自信がない人は、

言葉の言い換えをチェックしておくとレベルが上がってもつまずきにくいと思います。


つかんでほしいコトは、

　　　『　順序を考えなければならない　』　か　

　　　『　順序を考えなくていいか　』　が　

　　　　　見極めのポイント　であるというコトです。



これに関しては、

後日例題を元に解説をしていきたいと思いますので、よろしくい願いします。



もう1点は、樹形図に関してです。


樹形図を解法として用いるのは確実です。



けれども問題が簡単なうちは良いですが、

枝をモレなく挙げていくには時間がかかります。



また、場合の数を数え上げる時にもモレがあったり、

数が多いので数え間違いがあったりと心配が絶えません。



これは解法や答えに自信が持てない時や

見慣れない問題で解法が思い浮かばない時に確認として用いると良いと思います。



次回は樹形図ではない解法についてお話したいと思います。

中学生の数学 確率２（入門・初級）

では、確率の解法　2回目となります。


今回は、　えらび方　と　ならべ方　の違いを述べて


次回に解法の説明をしていきたいと思っています。



前回の説明の通り　ならべ方　は　えらび方　を含んでいます。

※　（注）　上文で述べたものは、確率を出す時の分母となる数についてです。



ですので、　起こりえる場合の数　については

ならべ方　は　えらび方　の数を含んでいます。



これから分かることは、

えらび方の数　は　ならべ方の数　より　小さく　なります。



例えば、

『　1から5の数字の中から相異なる（それぞれちがう）3つの数を一列に並べる時、

何通りありますか？　』　という問題で考えましょう。



まず1～5の5種類の数が選らべますね。



次は、最初に選んだ数以外の4種類の中から選べます。



そして最後に、それぞれちがう数を選ばなければならないので、

前に選んだ2つの数を除いた3種類の数字が選べます。



つまり、　5×4×3　=60 答えは　60　通り



これは、　1と2と3を　選んだ時の場合を　考えましょう。



ならべ方では、

　123　132　213　231　321　312　は　違うモノ・異なるモノ　と判断しています。



けれど、

えらび方では、上の6種類は　同じモノ　と考えています。



つまり、　1と2と3を選んだ　と考えているんです。



このように、　えらび方の数は　ならべ方の数　に　含まれます。


では、次回には解法の提示をしたいと思います。

中学生の数学 確率（入門・初級）

今回は、確率の解法についてお話しをしたいと思いますが


今回と次回、次々回の3回でお話していきたいと思っています。よろしくお願いします。


とりあえず、


　　ここでは確率の問題として考えるのは、　並べ方　と　選び方　の問題にしましょう。


公立高校の問題の多くは、


確率の問題は、これらの問題を小問として出題されるコトばかりです。



その簡単な確率の問題を　得点源　とするために、



　自動的に　問題の解法を　引き出せる　ようになるため　に　



　　　頭の中を整理していきましょう。



確率の問題に苦手意識を持っている人は、



確率の問題の解法では樹形図を用いることが多いですが、



盲目的に...何でもかんでも樹形図を使うと、


時間がかかってしまったり、勘違いをしてしまうことがあるので、



気をつけたほうが良いと思います。


（※　ただし、中学生の確率では　樹形図　で解けるケースがほとんどです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　樹形図愛好者は安心してください。）



なぜかと言うと、　間違うコト　・　解き切れないコト　で


自分の考え方が正しいか？　正しい方法でやっているのか？　と　



自分で導き出した解法を　疑い始めてしまう　ようになるからです。



すると、迷って時間がかかってしまったり、

いつまでも気になって、
　　　
　　　時間ギリギリになってちがう方法で解いて間違った答えを書いてしまったりと

（僕の経験ですが・・・）

良くないコトばかりが待っています。


では、そうならないためには・・・


解法を間違えずに使っていくこと　が大切なことだと思います。



では、解法を分けるための　見極めのポイント　を考えていきましょう。




ある程度できる人には、はじめにもう　ポイント　の簡単な説明をしちゃいます。


えらび方　と　ならべ方　の　問題ごと　によって解法を　変える　というコトです。



そのためのポイントのひとつは　えらび方　と　ならべ方　の　問題の区別法　です。



何でもかんでも　樹形図　を用いるのではなく、


求める方法を変えるコト！


な~んだ　『　当たり前じゃん　』　と思うかもしれないんだけれども


これが出来ることで　はやく　そして、正しい　答え　が求められるようになります。



それには、まず問題を理解しなければならないですが... そのキーポイントとなる言葉、つまり



　　　　　　　キーワード 　



今回は、これに焦点を当てていきましょう。



えらび方であると　　判断するキーワード　それは、　『　選ばれる　』

では、

ならび方であると　判断するキーワード　それは、　『　〇　番目に選ばれる　』



これによって解法を分けます。


ここで注意が必要なのは、



　ならび方のキーワードは　えらび方のキーワードを　含んでいる　というコトです。



　つまり、　ならび方のキーワードは



『　〇　番目に　』　+　『　選ばれる　』

となっているということです。


　ならび方の解法は　えらび方の解法　を　含んでいるということです。



　これからは、これを頭の中において、　問題を読んで　区別　をしてみて下さい。



　たぶん、みなさんはまだ　本番の試験ではない　と思うので、


　いろんな問題を読んで区別をする練習をしてみて下さい。



　今回は少し長くなってしまったので、話しが途中なのですが、


　続きは次回、次々回でお話ししていきたいと考えています。


　よろしくお願いします。

中学生の数学 文章問題の解法（入門）

今回は文章問題の入門レベルについてのお話です。



例を挙げると

代金の問題や速度・距離の問題です。




これらの問題に対して自信のない人は、

以下のポイントを知っているか、忘れていないかを確認・チェックしてみて下さい。



この種類の問題であっても中級の問題もありますので、

今回お話しする解法で手間取る時は、中級問題と判断した方が良いでしょう。



　　　入門レベルの問題としての分岐点は、

　　　①　　与えられている条件が互いに掛算・割算の関係であること。



　　　　　上の例で言うと、

　　代金の問題では、　品物１個の値段（単価）　と　品物の個数　と　代金（合計金額）　の３つが与えられて、

　　　　　その３つの要素が、（品物１個の値段）×（品物の個数）＝（品物の代金）　という関係が成り立ちます。


　　　　　また、速度・距離の問題では、　速度　と　時間　と　距離　の３つが与えられて、

　　その３つの要素が、　（速度）×（時間）＝（距離）　という関係が成り立ちます。



　　　　　ほとんどの小問題は、

　　このパターンのように　３つの言葉　が　掛算（割算にもなります。）で表される　ようになっています。


　　　②　それらを文章に合わせて、足すコト（引くコトもあります）で解くべき式が出来上がります。




必ず　代金の問題や速度・距離の問題では、この関係式は必須です。

けれども、これさえ出来れば　あとは文章に合わせて式を組み立てれば終わりになります。

もちろん、計算もしなければならないですけどね。



頑張ってみて下さいね。




少し高度なアドバイスとなりますが、

これらの関係式は、必ず　>一次関数のグラフ　で表せます。

もし　その関係式が二本出てくるような場合には、それらのグラフの交点を求めることになるのです。



文章題では、使われる条件式や関係式は

必ず　一次関数　ですので　グラフ　を書いて問題を考え直すと、得意になれるでしょう。




もし　難しいなぁ　と思う問題があったら、教えてください。

アドバイス出来るモノは、後日ブログに挙げたいと思います。難しすぎる場合は勘弁して下さい。




後日となりますが、

易しい問題を例題として見てみたい人には、

アメンバー用にUPしたいと思いますので、再確認してみて下さい。



でぃは　でぃは。

中学生の数学 文章問題の解法（初級）

　さて、今回は文章問題の初級の問題についてです。

　文章問題に取り組む時の流れを追っていきましょう。

５つのステップ　と　２個のポイント　で解いてみましょう。

１　まず、求めたいモノ（分からないモノ）は何かを見つけ、その数を数える。

（これをしないと、必要な条件式をいくつ求めなければならないのかが分からないです。

きっと、デキル人はみんな無意識でやっていることだと思います。）

２　求めるモノ（分からないモノ）を変数ｘと変数ｙと置く。

（公立中学校では、分からないモノは大抵２つです。多くても３つでしょう。

つまり、変数はｘとｙくらいでしょう。）

３　問題文の図を描く。

（この段階は、条件式を作っていく上でも役に立つので、最初のうちはやってほしいです。

慣れてくると必要なくなると思います。）

４　問題文から条件式を２本見つけ出す。

（必ず、分からないモノの数と同じ数だけの条件式が必要になります。

例えば、ステップ２で文字をｘ、ｙ、ｚの３つを使うと、条件式は３本必要となるということです。）

ポイント① 何と何が等しいのかを考える。

ポイント② イコールの左と右には同じ値や等しい数しか来ません。

勿論、単位も等しいのです。必ず等しいモノ同士をイコールでつないで下さい。

５　.計算する。

（あとは条件式から代入法や消去法を用いてｘ、ｙを求めることになります。）

これが、大まかな流れとなります。

また、中級の問題となると、求めたいモノがすぐに出てこないように作られているので、

ステップ５の後で再度計算が必要となります。

どうでしょうか？

もし、質問があるようでしたらコメントを利用してください。宜しくお願いします。