早稲田大学（人間科学部A、B）| 2010年大学入試数学

大学入試シリーズ第１７弾。

早慶シリーズ第８弾です。

問題の難易度（易A←→E難）と一緒に、

典型パターンのレベルを３段階（基本Lv.１←→高度Lv.３）で書いておきます。

また、☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。

また、私が実際に解いてみた感想を各問題ごとに書きます。

初見、途中、最後などなど。。。

また、今回より解答までの目標時間を、

問題ごとに書きます。

※目標時間＝解き方を含め、きちんと完答するまでの時間です。

したがって、

目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越える

ことも、当然ありえます。特に私大では顕著です。

同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、

ヒントや答えをみるといい　という目安にしてください。

早稲田大学（人間科学部A、B）数学

（試験時間９０分）

全体総評（A）

空欄補充形式とはいえ、これといった丁寧な誘導はなく、

最終的な答えをストレートに聞いてきます。

記述式でもおかしくない問題ばかりで、決して簡単ではありません。

このレベルの問題でall or nothing なのはかなり酷です。

全体総評（B）

（A)とほとんどかわりませんが、別問題の第６問、第７問は

（A）に比べて難しいです。特に第７問は空欄補充であることが

唯一の救いだといえるような難問ですが、それでも気づいた人が

半分いるかどうか。。。

やはり部分点をもらえないのは、かなり厳しいものがあります。

第１問（共通）－１・・・場合の数（A、5分、Lv.1）

教科書にもありそうな、簡単なさいころの問題。

ほかの問題のレベルを考えると、ここは絶対に落とせません。

第１問（共通）－２・・・数列（A、8分、Lv.２）

（等差数列）×（等比数列）の和を求める問題で、

典型パターンです。

この手の和Sは、S－（公比）S　を計算することでうまくいきます。

あと、この場合はΣであらわすよりも実際に並べて書いたほうが

差をとるときに見やすいです。

並べ方は、等比数列の項が一致するところを縦に並べます。

例：公差２の等差数列と、公比２の等比数列の場合

S＝１×２＋３×４＋５×８＋７×１６＋・・・（2n-1）×２^n

２S＝　　　　１×４＋３×８＋５×１６＋・・・（2n-3）×２^n+(2n-1)×2^(n+1)

下から上を引いて

S＝－２＋２×（４＋８＋１６＋・・・・2^n)＋（2n-1）2^(n+1)

下線部が等比数列になります。見やすくて、引き算の間違いも少ないです。

Σのまま処理しようとすると、端っこの様子がめんどくさいので、

ならべちゃいましょう。

感想

特になし。典型パターンなので、計算して終了。

２は答えストレートなので、計算は慎重に行った。

☆第２問（共通）・・・指数、対数関数（B、10分、Lv.２）

空欄含めて問題文１行というものですが、見かけほど簡単ではありません。

指数の部分に対数が入っている問題では、＝ｒとおいてみると

見やすくなることが多いです。が、類題経験がないと苦しい。

また、対数の底はそろえることが定石です。

今回は底は２よりも４でそろえておいたほうが数式処理が

わずかに楽ですが、普通は２にそろえたくなるところ（笑）

感想

＝ｒとおいてそのままにしておけばよかったものの、

さらに対数をとったためややこしいことに。

少し詰まった後に気づき、ｒはそのままにして

ｒの２次方程式に帰着させ、終了。

第３問（共通）・・・高次方程式、整数（B、15分、Lv.２）

解の条件から整数（a、ｂ）の組を求める問題

今回の場合、整数の解をもつならば、±１のどちらかで

あることに気づくかどうかがポイントです。

整数をｋとおいてみて代入すると定数項の１だけがあまることから

すぐに気づくでしょう。

それに気づけば、あとは虚数解条件からもとまります。

感想

±１のどちらかであることはすぐに気づいたので、あとは

両方調査して虚数解条件からaの範囲を絞り、終了。

第４問（共通）・・・図形と式（C、25分、パターンなし）

領域の問題です。

記述式であれば答案をまとめるのがめんどくさい問題。

だからといって空欄補充でも簡単なわけではなく、

差がついた問題のひとつでしょう。

ｋの値によってどのように領域が変化するのか、きちんと

調べる必要があります。

感想

条件式自体は簡単なのに、ｋの値でこんなにも

領域の形がかわるもんなんやと驚いた。

空欄の形をたよりに条件をだし、終了。

記述式であれば結構難しかったのでは。

なかなか、いい問題＾＾

第５問（共通）・・・空間ベクトル（B、12分、Lv.2）

平面と直線の交点の問題。

平面PQR上にある

線分AC上にある

をうまく条件式にしてしまいましょう。

なお、この問題に限り親切な誘導があるので

割と解きやすかったのではないでしょうか。

感想

誘導が親切で、計算も詰まらずに終了。

第A６問・・・微分積分（B、17分、Lv.2）

積分を使って面積をmの３次式であらわし、

今度はそれを微分して面積の最小値を求める問題。

よくあるパターンですが、この手の問題は

積分して、それを微分し、最大値（最小値）を求める

という手順なため計算がどうしても膨れます。

最後の値を求めるときは次数下げを行うなどして、

√を含む計算を２乗したり３乗したりするのは極力避けましょう。

計算ミスのもとになります。

第A７問・・・三角関数（B、12分、Lv.2）

cos７２°がらみの問題で、Lv.2の典型パターンといえます。

中堅以上の大学では見かけるので、覚えておきましょう。

７２°＝αとおくと、５α＝３６０°になることを用いて、

２αと３αのcosやsin で方程式をたてます。

例： cos2α＝cos３α、sin2α＝－sin３α　など

それを倍角の公式で展開してsinαまたはcosαに関する

高次方程式を作ります。

７２°より、０＜sinα＜１、０＜cosα＜１

を使えば解が１つに絞れますので、それが答えです。

なお、３６°の場合は５α＝１８０°になるを用います。

そのほか、特殊な三角形を考えるなど、

いろいろと求め方はありますが、

これが一番すっきりした解き方でしょう。

感想

７２°がらみは得意。値も知っていたので、空欄補充のため一瞬。

第B６問・・・図形と式、微分（B、25分、Lv.2）

２接線の交点やら接線とｘ、ｙ軸の交点やらで囲まれる三角形の面積

を文字で表し、最小値を求める問題。

空欄補充形式にするには、ちょっと酷なぐらい過程がありますが、

そこまで文字が煩雑になることはないので、手はついたかと。

感想

これ、空欄補充かよ　って思ってしまった。

最後ミスったらシャレならんわと思い、かなり慎重に計算。

それでも符号とグラフの位置が視覚的に合わないことから

計算ミスに気づき、やり直して正解。

※図形の問題は、視覚的なところで計算ミスを発見できます＾＾

第B７問・・・個数の処理、数列？（CD、50分、パターンなし）

コンビネーション記号の数列の和といった感じです。

分野は不明です。

記述式であれば、間違いなくDレベルの難問です。

空欄補充であるだけでも救いですが、どれぐらいの人が

気づけたでしょうか。。。

こういう場合は、いくつか調べてみます。

３つ４つ調べたぐらいであきらめず、どんどん調べた人が勝ちだったかもです。

私は６つ調べてようやく規則性に気づきました。。。

感想

答えだけなら出せたが、後味が悪いので

きちんとそれが正しいことを証明することに。

こんな感じで証明にたどり着いています。

決してすぐに分かるわけではなく、

私だってとにかく、考えに考え抜いているということを主張するのに

ちょうどいいかと(笑)

推定したから帰納法か？とか思うが、

ｎ＝ｋ　とｎ＝ｋ＋１　では様子が違いすぎるため、断念。

「Bnは推定できるが、証明できない」という状態が続き、、、

「ん？Bnが推定できるんなら、式変形してAnが推定できるな」

となり、Anの推定式を出す。

「どっちも直接出るのか」と思いながらも、どっちも証明できないまま。

コンビネーションに関するある公式を思い出し、Anに適用してみたら

うまくいったので、Anは証明終了。

のこりBn・・・・。「結果はこんなに簡単なのに、、、なんでや、、、、」

と思いつつ、Bnの和の式と結果の形から、

Anで使ったコンビネーションの公式に持ち込めないかと判断。

強引に使えるように変形すると、これがドンピシャではまる。

ほかの公式の利用も合わさり、無事証明終了。

（はじめからここまでで、約２００分です。）

あえて公式の内容とか書きません。皆さんも挑戦してみてください＾＾

数学は考える時間が長ければ長いほど実力がUPします！！

合格ライン

A

どれも標準問題とはいえ、all or nothingなのはかなり厳しい。

１，２，３、５はなんとかあわせて、４，６、７は前半だけはきちんと合わせる。

それでも90分では厳しいでしょうから、

６５％ほどかと思われます。

B

A同様、all or nothingなのはかなり厳しく、別問題のB７は特に厳しい。

１，２，３、５は絶対あわせて、４、６は半分。７は気づければ満点がとれますが、

取れなくてもいいと考えます。やはり90分では厳しいですから、

６０％ほどでしょう。

対策

穴埋め形式で7問、90分であることを考えると、結構なレベルです。

教科書レベルはもちろん、その上の標準パターンぐらいまでは

計算問題と感じれるぐらいのレベルまではもっていきたいです。

具体的には、黄色、青チャートがすらすら解けるレベルまで

もっていければいいでしょう。

穴埋めなので、知識で差が出る問題もありますから、

準公式ぐらいまでは頭に入れておきましょう。

例　sin15°とか、積の微分の公式など

同じ大学の他学部の過去問も、レベルが同程度で穴埋め形式なので、

練習にいいでしょう。

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