図形と式（４）〜円と直線(その１)〜

いつもご覧頂きまして、ありがとうございます。KATSUYAです＾＾

このテーマ(高校数学(Ⅱ・B))では、A～ABレベル(超基本～基本+α)の内容をぎゅっと凝縮してブログで書いていこうと思います。

対象は、「この分野が未習」「この分野をはじめて習っている途中」の方々です。

図形と式（４）～円と直線(その１)～

本エントリーのGOAL

（１）円と直線の位置関係について数式的、図形的に理解する。

（２）円の接線の方程式について理解する。

※本節(円と直線は長いので、2つに分けます。接線までです。)

■円と直線の位置関係

円と直線が交わるとき、その交点の数は、2個、1個、0個のいずれかです。これを図形的に見ると、下のように中心と直線の距離dと半径rの大小比較によって整理出来ることがわかります。

数式的には、直線の方程式と円の方程式を連立させたときの実数解の個数と言えます。

直線の方程式を円の方程式に代入すると、2次方程式がつくれます。2次方程式の解の個数といえば・・・判別式ですね＾＾

ただ個数を出すだけなら、dとrの比較がダントツに早いです。

共有点の座標を出すなら、すなおに数式を解くしかありません。

直線の式は１次式ですから、こちらの式を円に代入するようにしてください。また、解xからyを出すときも、直線の式に代入してください。



次は、共有点の個数を調べる問題です。お決まりの流れですね＾＾

個数を調べるだけなので、まずはdとrで解決させてしまいます。

接点の座標を求めるときは素直に連立しましが、完全に解く必要はなく、重解は　x＝k／２　とすぐ分かります(解と係数の関係です＾＾)から、これを利用してうまくサボりましょう。


■円の接線の方程式

円の接線の方程式については、以下の公式を覚えましょう。そんなに覚えにくいものではありません。

１．の式は、　x^2　のうち、x１個をpに変え、y^2　のうち、y1個をq　に置き換えると得られます。２．も同様です。


円周上から接線を引く場合は、これで簡単に求められます＾＾

ですので、ここでは円外から引いた接線を求める問題を見ておきます。

円外から引いたとしても、公式を活用したいですから、まず接点を置くことが大事ですね＾＾


最後に応用問題を。接線と中心がわかっている場合です。きちんと図形的意味をわかっている人にとっては、くだらないですが。

円は中心と半径がわかれば終わりですが、中心から接線までの距離が半径ですもんね＾＾



円と直線に関しては大事な部分が多いので、ここで一旦切ります。まずは図形的な位置関係と数式的処理の仕方の両方を結びつけられるかどうかが大事です。

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■関連するPrinciple Piece■

Principle Piece 数学Ⅱ　図形と式
（第４節・・・・p２９～p３６）