４次元空間を考えてみよう

　先日、「時間軸なんて見えると困るから、虚軸にしてある」という意味のことを、特殊相対論のところで書きました。でも、実際もし、第４の次元が存在して、私たちが知らないだけだとしたら、どんな幾何学が通用するのでしょう。ちなみに、x,y,zに続く第４の次元を、qとすると、球面（３次元超球面）の式は、

　x2+y2+z2+q2=ｒ2

となります。・・・と言っても、いまいちピンと来ませんよね。そりゃそうです。書いている私もピンと来ていない。どだい、３次元人に４次元を理解しろと言うのは無理な話ですが、このブログは無理を承知で書く物ですから、そこを何とかしなければ行けません。

　そこで、立方体を考えてみます。まず２次元立方体・・・って、正方形ですよね。もし、１次元人がいて、２次元は理解できないとしたら、これを展開図にしてやる手があります。・・・でも、単なる直線になってしまいますが、これは仕方がありません。何しろ１次元の世界は、直線しかありませんから。

　じゃぁ。３次元立方体・・・と書かなくてもこれが普通の立方体ですが、２次元人に説明してあげるには、これも展開図にしてやると、何となく理解してもらえるような気がします。この展開図は良く出てくるやつなので、問題ないですよね。さて問題は、４次元立方体です。３次元立方体は、正６面体ですので、６つの正方形から成り立っていますが、４次元立方体は、８つの立方体から成り立っています（正８胞体と呼ばれる）。展開図は、下図のようです。

「えっ？この立方体８つをどうすれば正８胞体になるんだ？」などと、私に尋ねないで下さいね。私は４次元人ではありませんので、そんな超能力は持ち合わせておりません。ただただ３次元に展開「図」を書くと、上図のようになると言うだけの話です。

　ところで、３次元の正多面体は、星形を除けば、正４，６，８，１２，２０面体の５種類しかありませんが、４次元の正多胞体は、

　正５胞体　　５個の正４面体からなる。

　正８胞体　　上記の通り、８個の正６面体（立方体）からなる。

　正16胞体　 １６個の正４面体からなる。

　正24胞体　 ２４個の正８面体からなる。

　正120胞体　120個の正１２面体からなる。

　正600胞体　600個の正４面体からなる。

　の６種類あることが知られています。これがユニークな点ですが、無限に正多面体（正多角形）のある２次元空間を除けば、多次元空間で、４次元空間が、最も正多胞体を多く持っています。5次元空間以上では、正多胞体は、３種類しかありません。

　ちなみに、４次元多胞体（正多胞体でなくてもいい）では、以下の式が成立します。

　　頂点の数 - 辺の数 ＋ 面の数 - 立体の数 = 0

　３次元空間のオイラーの多面体公式に相当しますが、これを発見したのが、「ポアンカレ予想」のアンリ・ポアンカレです。才のある人は、いろんなことをやっていますね。