①、お「ハライ」といいますが、正しくは「ハラエ」なんでしょうか？
日本の代表的な神道古典にあたる「古事記」や「日本書紀」の古写本には、
次のように表記されています。
古事記では、単に「祓」と表記してハラエ
日本書紀では、「祓除」と表記して「ハラエ」など…
やはり、お祓いという言葉は後々つくられたものでしょうね。
②、大幣の、木の棒の紙はどういう意味があるんですか？
画像を添付しましたが、これは紙垂（しで）と言うものです。
古くは木綿を用いましたが、現在は紙片が一般的です。
今日では祓具の一部となることが多いのですが、
そのほか、これを注連縄(しめなわ)に垂らして神域や祭場などに用いた場合は、
聖域を示す象徴となります。
③、紙の形（折り方？）には何か意味があるんですか？
これは神道流派によって異なります。
代表的な流派としては、伊勢流、白川流、吉田流、がある。
見辛いですが、画像の３番目を参照してみて下さい。
あと、各神社故実の伝統的な折り方や紙の切り方があるようです。
折り方や切り方の「意味」ですが、これは私も分らなかったので色々調べましたが、
分りませんでした。申し訳ないです。普段当たり前だと思っていたので、
改めて調べたことなかったですね。
各流派や各神社さんによって意味は異なると思います。
また何か分ったら書き込みます。
④、鏡餅の下にも同じようなの垂らしますが、どんな意味があるのですか？
お正月に家の床の間などに鏡餅をお供えしますね。
そもそも、古来、お正月とはどんな行事でしょうか？
日本のお正月(歳神・先祖迎え)について（以下社報七号より抜粋）
暮れになると、どこの家庭でも大掃除をします。
神棚の注連縄(しめなわ)を取り換えたり玄関に注連飾りを付けたりもします。
いずれも新年を迎えるためでこれが始まると年の瀬が押し詰まったと実感させられます。
こうした準備が何のために行われるのかは忘れられつつありますが、
ついこの間までは誰もが知っていました。
正月が三日間もお休みなのは、歳神をお迎えするためです。
私が書くと長いので「歳神様」についてはこちらを参照↓
自分で作文しないで楽しようとしてますな（笑）
日本文化いろは辞典
http://iroha-japan.net/iroha/A01_event/01_shogatsu.html
まあ簡単に言うと、年の初めに神さまが家々を訪れ、
一年の実りと幸せとをもたらしなさる大切な日であったのです。
神迎えのために家の中をきれいにし、家内が清浄になった証拠として、注連飾りを下げたのです。
古くは、この期間には先祖も来訪しました。
吉田兼好が『徒然草』で言っている「霊(たま)まつるわざ」とは、
正月に先祖のみたまが帰ってみえると信じた、当時の東国の信仰を指しています。
明治時代以降には、太陽暦が採用されたため、
それまで太陰暦で行われていた正月がずれることになりました。
旧正月と呼ばれるものが本来の正月です。これに節分という中国伝来の行事も加わり、
一年の始まりと初春の区切りとが重なり合うことにもなります。
ちなみに<鬼>という文字を、中国では<魂>と同じ意味に用います。
正月に先祖のみたまを迎えることと、節分の行事とに重なりがあることが思われます。
さて話を戻して、鏡餅についてですが、これは依代（よりしろ）というものです。
以前に、「お札」や「御神木」や「ひもろぎ」のお話しを投稿しましたが、
これと同じ役割をしています。
歳神さまに降臨いただくための場所です。
神様そのものでなく神様を拝む時の道しるべみたいなものですね｡
鏡餅にも紙垂(しで)をつけたりしますが、それが「聖域」をあらわしているわけですね。