えー、今「考えることの科学」という本を読んでいます。
内容的には思考がうんらたらかんたら、ってやつで
以前紹介したファストアンドスローに似たやつです。
そこで三囚人問題というのが紹介されてました。
ベイズ理論という統計学的な正解を聞いても
なんだか納得行かない、という話です。
ちなみにAmazonレビューでもこの件書いてる人多くて
興味あった。
三囚人問題
三人の囚人、ABCがいる。三人とも処刑されることになっていたが
なんのかんので一人に恩赦が出されることになった。
その囚人は誰か、決まったが、囚人自身は知らされていない。
そこで囚人Aは結果を知っている看守に聞いた
「BとCのうち、どちらかは必ず処刑されるのだから、
処刑される一人の名前を教えてくれても、
私に情報を与えることにはならないだろう。
一人を教えてくれないか？」
看守は、まあいいだろうと答えました
「Ｂが処刑される」
これを聞いた囚人Aは
「やったぞ、はじめ自分は助かる可能性は1/3だったが
今や助かるのはCか自分かだけになった。
助かる確率は1/2に上がった」
さて、実際看守の答えを聞いたあとの
囚人Aが助かる確率はいくらだろうか？
という問題。
どう思いますか？
一応私は確率に結構強く、ベイズ理論もなんとなく納得できる感覚を持ってる
という前提で、元々の1/3から変わっていないと思いました。
ベイズ理論的答えも1/3です。
正解も1/3なのですが、どうも一般には
、
「いやいや囚人Aが言うように1/2だろう」
と思えて仕方がない人が多いらしいです。
私はベイズ計算しなくても、1/2はなんか違和感を感じます。
それお前騙されてるよ、みたいなｗ
だって看守の答えは情報として無価値ですから
どう考えてもそれを聞いたからって状況は変わってない。
と、いうのが第1問目。
著者の市川さんも、看守の答えは意味が無い、で納得できると書いてます。
さて、それを踏まえて、更にひねりを効かせた問題。
これが納得しづらい、らしい。
変形三囚人問題
ABC死刑、一人恩赦。
しかし、恩赦が出される確率は、それぞれ1/4、1/4、1/2。
囚人Aはまた看守にBかCか聞いたところ
Bが処刑されると教えてくれました。
＊看守は嘘つかない、
囚人BCが両方共該当した場合はどちらかを1/2確率で答える
この情報を聞いた後、囚人Aが恩赦される確率はいくらか？
という問題。
先ほどの理屈で言えば、1/4のままですが。
ベイズ計算をすると1/5になります。
つまり情報を知ったことで、確率が”下がる”のです。
一般的にこれがどうにも納得いかないらしいｗ
さっきの理屈で言えば、同じだし
よしんば変わるとしても、下がるってなんやねん！
と感じるようです。
ベイズ計算して1/5出せる人も、計算上はそうなるが
やっぱり納得がいかない・・・・という感じらしい。
著者の市川さんも、感覚的答えと、ベイズ理論の答えがマッチしないようです。
でまあ、本では図を書くと、少し納得感が得られる・・・
という話に続くんですけども
みなさん、このケースで確率が下がるっていうことに
納得いきますか？
私はわりと、納得いきます。
1/5かは計算しないとわかりませんが、
まあ下がり傾向じゃねーかなあ
という感覚があります。
いきなりこの応用だされたら、うーん・・・と悩みそうですが
前提の基本問題やった後だと
どう考えも下がるわ。
と思えます。
いかがでしょう？