公理はそれ単独で空間を作ることができ、
公理系とはそれぞれの公理の積空間であるとします
この条件で、全称記号、存在記号について考えてみます
Aの全て:∀x∈A、任意のA:ヨx∈Aは、それぞれ2種類の意味を持つことがわかるでしょうか
公理系(A,B)を扱う人は、公理系(A), 公理系(B)も扱うことが可能なのでこれら4種類の範囲を扱うことが可能です
①②③④
例えば公理系(A,B)をはみ出してしまうような集合Eを考えてみましょう
ざっくり公理系(式,解)とおきます
∀x∈Eは、外延公理で使用されることを筆頭に、存在するものしか対象にしませんので
常に公理系(式,解)内のもののみ列挙されます
つまり∀記号は公理系外のものを含む集合の大きさを変化させます
ヨx∈Eを考えるにあたって、「解のない式」とは何かを明確にしましょう
公理系(式,解)の中にあるのか外にあるのか。存在するのかしないのか
私の中での正解は、「解のない式」は公理系(式,解)の外にあり、式としては存在するが解は存在しませんが、扱うことが可能であるべきです
つまり式としては存在しなければいけません
そのためにはヨx∈Eは公理系(式)の範囲を対象とするべきだと考えます
つまりヨ記号は公理系外のオブジェクトを対象とします
最初にあげた①②③④のうち、∀xは①、ヨxは④を採用するというのが私の考えた新しい理論となります