ここまでいろいろ語ってきましたが、どうでしょうか。
まずはじめは、「10とは無限である」という主張をしました。
もちろんある前提の元でです。
それは、自然数とは全て10未満の数、すなわち「単桁」であるという前提です。
もし全ての自然数が「単桁」であるならば、「多桁」である10は自然数ではなく自然数の公理系内には含まれない数となります。
その前提であれば、10は全ての自然数より大きく、「10とは無限である」という主張は誰しも納得する結論かと思います。
では自然数がなぜ「多桁」ではいけないのか。
それは、「多桁」は式だからです。
多桁をサポートする体系の場合、 例えば10進法では1,2,3,4,5,6,7,8,9ときたら、9の次は10でなければいけません。
9の次は20ではいけないのです。
自然数の公理にそんなルールはありません。
自然数の公理ではある数の次は任意の数(符号)となっています。
9の次が10となるのは、10が"1"と"0"の2つの符号に分離して計算が可能な「式」だからです。
自然数を外延的に列挙する場合、式は含むべきではないのです。
あくまで一つの値を含むべきです。
なぜなら式は解のないものの可能性があるからです。どうしても式で示したいなら解の存在する有効範囲を規定すべきです。
自然数は多桁を想定していませんので、解の存在する有効範囲は規定されていませんし必要ありません。
しかし、多桁の符号表を採用するのであれば、有効範囲を規定すべきです。
10が式として存在する場合、式の空間、解の空間という2種類の空間を同時に扱う必要があります。
また「比較」についても検討を行いました
比較というのはある２つのオブジェクトを「同じ」そして「異なる」と矛盾するような判定が同時に成り立つものです
これは「同じ」と判定する基準、「異なる」と判定する基準２種類の判断基準、２種類の空間の存在を示すものです
無効な式は存在するか？
というテーマも扱いました
解の無い式は存在します
式は「存在」し、解は「存在しない」ことをあらわします
これは、２種類の基準があり「存在する」/「存在しない」の２種類の基準を同時に扱っていることを表しています
今までのすべてはある新しい概念のもと、導き出されたものです
次回、結論というか本命のテーマを出します