灘高等学校入学試験より図形 | Seraph Boy～渦巻く記憶～　小学生当時、偏差値30代のライトノベル作家が入試問題を解くと…？

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Seraph Boy～渦巻く記憶～　小学生当時、偏差値30代のライトノベル作家が入試問題を解くと…？

塾講師経験のある物書きのブログです。原稿の傍ら、脳トレも兼ねて入試問題を気ままに眺めています。

灘高等学校入学試験より図形

続いてはこんな問題です。

＜出題：灘高校　ジャンル：図形　難易度：★★★★☆＞

鋭角三角形の面だけでできた三角すい $ABCD$ があり,　各辺の長さは,

$AB=\sqrt{13}, AC=3\sqrt{2},BC=AD=CD=5,BD=2\sqrt{5}$ である。

(1)　点 $A$ から辺 $BC$ にひいた垂線と辺 $BC$ との交点を $H$ とする。直線 $DH$ は辺 $BC$ と垂直であることを証明せよ。

(2)　点 $B$ から面 $ACD$ にひいた垂線と面 $ACD$ との交点を $K$ とする。線分 $BK$ の長さを求めよ。

これは2019年度の灘高校入試問題・数学の最終問題でした。以下が僕の拙い解答方針と答案です。

(1)　＜証明＞　鋭角三角形 $ABC$ において,　 $BH=a$ とおくと $CH=5-a$ と表せ,　 $AH^{2}=AB^{2 }-BH^{2}=AC^{2}-CH^{2}=\left ( \sqrt{13} \right )^{2}-a^{2}=\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}-\left ( 5-a \right )^{2}$ より

$a=2$ となる。…①

一方,　鋭角三角形 $BCD$ について,　 $D$ から $BC$ におろした垂線の足を $I$ とし,　 $BI=b$ とおくと, $DI^{2}=DB^{2}-BI^{2}=DC^{2}-IC^{2}=\left ( 2\sqrt{5} \right )^{2}-b^{2}=5^{2}-\left ( 5-b \right )^{2}$ より

$b=2$ となる。…②

ゆえに①,②より $a=b=BH=BI=2$ となることから $H$ と $I$ は一致するので,　直線 $DH$ は辺 $BC$ と垂直であることを意味する。

(2)　点 $A$ から辺 $BD$ に垂線をおろし,　その足を $P$ とし,　 $DP=c$ とおくと,　鋭角三角形 $ABD$ において $\left ( \sqrt{13} \right )^{2}-\left ( 2\sqrt{5} -c\right )^{2}=5^{2}-c^{2}$ が成り立ち $c=\frac{8\sqrt{5}}{5}$ ,さらに $AP^{2}=AD^{2}-DP^{2}=5^{2}-\left ( \frac{8\sqrt{5}}{5} \right )^{2}=\frac{61}{5}$ と求められます。

直線 $AP$ と直線 $DH$ の交点を $Q$ とすると,2組の角が等しいことから

△ $DPQ$ ∽△ $DHB$ であり,　比率は

$1:2:\sqrt{5}$ です。これより $PQ=\frac{4\sqrt{5}}{5}$ が分かるので $AQ^{2}=AP^{2}-PQ^{2}=\frac{61}{5}-\frac{16}{5}=9$ から,　点 $A$ から面 $BCD$ におろした垂線 $AQ$ の長さは $3$ となります。

ゆえにこの三角すいの体積は△ $BCD\times AQ\times \frac{1}{3}=10\times 3\times \frac{1}{3}=10$

と求められます。二等辺三角形 $ACD$ の高さは $\sqrt{5^{2}-\left ( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}}$ ですから,面積は $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{2}}\times3 \sqrt{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{41}}{2}$ となります。当然,　面 $ACD$ を底面にしたときの体積も変わらず10ですから, $\frac{3\sqrt{41}}{2}\times BK\times \frac{1}{3}=10$ が成り立ち,これを解くと $BK=\frac{20\sqrt{41}}{41}$ となるのです。

正解例　(1)　↑上記の通りです。　(2) $\frac{20\sqrt{41}}{41}$

難関校ではよく出るいびつな三角錐の計量問題です。もし正三角錐しか習っていない場合,　「垂線を下ろしたら２：１であることを憶えろ！」みたいな指導しか受けていないと思うのでこのパターンは解けません。一般的な三角錐は、展開図にしたときにそれぞれ離れた点からもっとも近くの辺に垂線を引いて交わったところが立体の垂線の足になります。絶対に1点で交わるようになっていますのでご安心ください。あとは相似比やピタゴラスの定理を使って高さを求めて体積を出すという流れになります。ハイレベルな高校を受験される方は憶えておきましょう。