be familiar with/to

familiarはfamilyの形容詞形で、「なじみがある」というのが基本語義です

(人) be familiar with (物)＝「(人)が(物)に精通している」

(物) be familiar to (人)＝「(物)が(人)に良く知られている」

まず、混同を防ぐためには、日本語訳を↑の通り覚えましょう
メリットとして、「(物)が精通してる」という日本語は明らかに間違っているので、be familiar with＝「精通している」と分かったときに、主語が(人)でなければいけない、ということを思い出すことができます

問題は、toかwithか、ですよね
これは前置詞の意味の違いからこじつけることが難しいので、関連する熟語と共に覚えてしまうのが得策です

「(人)が(物)に精通している」
＝be familiar with
＝be aquainted with←acquaintance＝「知人」というのも重要語
＝be at home with

「(物)が(人)に良く知られている」
＝be familiar to
＝be (well-)known to