さて、injective の証明ですが、当初は森田 duality を使うのかと思ってましたが、ちがうようです。
これに尽きるようで、単項イデアル整域を０でないイデアルで割った剰余環の話になります。
最初の方は読みにくく、後半から読んだ方が分かりやすい。
Qを有理数体とすると Q/Z はZ 加群として加除になります。単項イデアル整域の加群は加除であることがinjective の必要十分条件ですから、Q/ZはZ加群としてinjective です。
さて、一般にR加群Mに対して RのイデアルI に対し、
M[I]={ m ∊ M | I・m =0 }
とすると Mの部分加群になります。作り方からR/I 加群にもなっています。
とくにM が R加群としてinjective なら M[I] は R/I 加群としてinjective になるのはinjective の定義からすぐわかります。
Rが単項イデアル整域なら Q(R) をRの商体 とすると M=Q（R)/R とすれば、 I=(a) とすると M[I]はR/(a) と同型になります。つまり 分数イデアル(a)^(-1) /R ですから r ∊ R --> [ ｒ/a] ∊ (a)^(-1)/R ですから 全射でKernel は (a) ですね。 したがってR/(a) は R/(a) 加群としてinjective です。
最初の方は Baer's criterion:
を使っています。 これは M はinjective <=> M は R-injective
R-injective って 0 --> K --> L なら Hom(L, M) --> Hom(K, M) --> 0 の LをR だけにしたもの。
Rは すべてのR加群Lにたいして R＾A --> L -->0 なる 集合Aが存在するので （ただしR^A は RのA個の直和）
短完全列にしたら 真ん中がinjectibe なら 両端もinjective
最初に引用した内容の最初のあたりは意味不明にい見えますが、結局R/aR を Q(R)/R の部分加群 Q(R)/R[aR] としてみて、話をしてるだけ、結局 埋め込んで加除を使ってるだけだから最初に説明したM[I] のinjective の証明つまり引用している文章の後半の話と同じです。