ordinal全体からなる集合とは言わずにここではclassを使いますが、これをOrds と表します。（これは一応、今参考にしている本が ZFC公理系で、集合論を展開してるので、こうなってます。なんかややこしい。）これは集合ではなくてClassです。で、証明でこれには線形順序つまり全順序になります。このOrdsのサブクラス、sup や inf をもちます Cとすると
∪C と ∩C です どちらもordinal です。 後者はCに属するので、結局は最小元になります。
なんか集合論嫌いになりそう。（＾＾；
使ったのは Thomas Jech著 Set Theory The Third Millennium Edition, revised and expanded
です。(ググればｐｄｆ ファイル ネットに転がっています）
注意しないといけないのは、公理的集合論を使ってます。
∪T ⊂ T と ｘ ∈ ｙ ならば ｘ ⊂ ｙ
が同値って素朴な集合論では？？？です。つまり
要素はすべて集合、空襲号Φから 上のようなある決まった有限個のオペレーションで生成されたものを集合と言って、便宜的にあるフォーム、本でがφ(x1,x2,x3,...xn) で記述される性質をもった集まりを便宜的にClassとして略記のために用いてます。
だから、｛｝がつかない元Φだけ、ここが通常と大違い！！
ここで ∪T とは ｘ ∈ ∪T ⇔ ある Tの元X が存在して ｘ ∈ X を満たす
で定義します。