dud123hhallのブログ

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12Aug
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅺ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.ⅪMathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅹからの続き。11.Solving the Wave Equation波動方程式を解く参考文献：ElectromagnetismUniversity of Cambridge Part IB Mathematical Tripos　我々は、電場Eと磁場Bそれぞれに対する2つの波動方程式を導出した。これらは独立して解く事ができるが、その解は元のマクスウェル方程式も満たさなければならないという点に留意する事が重要です。そうする事で、EとBの間に何らかの関係が導かれる。具体的に見ていく。まず、波がx方向に伝播し、yやzには依存しない特別な種類の解を考える事から始める。これらは「平面波」と呼ばれる。何故なら、xとtを固定すると、電場E及び磁場Bは(y,z)平面内で一定の値を取るからです。マクスウェル方程式 ▽⋅E=0より、この場合にはExが定数でなければならない事が分かる。任意の定数電場をマクスウェル方程式の解に加える事が常に可能である為、一般性を失うことなく、この定数をゼロとする。そこで、次のような形の解を求めます。E=(0,E(x,t),0)　電磁波に於ける磁場と電場は、互いに垂直であり、且つ波の進行方向に対しても垂直な関係にある。ここで、Eは波動方程式(4.13)を満たすが、その式は以下になる。 (4.13)波動方程式の最も一般的な解は、次のような形を取る。E(x,t)=f (x-ct)+g(x+ct)　ここで、f (xーct)は速度cで右方向に移動する波形を表す。（tが増加すると、fを一定に保つ為にxも増加する必要がある為）。一方、g (x+ct)は速度cで左方向に移動する波形を表す。この種の解の中で最も重要なクラスは、単一の周波数ωで振動するものです。このような波は単色波と呼ばれる。ここでは、右向きの波に焦点を当て、波形を正弦関数と仮定する。E=E0Sin[ ω( x/c-t)]　通常、これは次のように書ける。E=E0Sin[κx-ωt]] (4.15)　ここで、κは波数である。波動方程式(4.13)は、κが周波数と以下の関係にある事を要求する。ω2=c2κ2　このように、振動数を波数を用いて表す式は「分散関係」と呼ばれる。物理学に於いて波は極めて重要なものである為、それに関連する数多くの量を定義する事ができる。・量ωは、より正確には「角振動数」と呼ばれ、正の値を取るものとする。実際の振動数f=ω/2πは、波の山が観測者の前を通過する頻度を表す。・しかし、ここではωについてのみ扱う為、単に「振動数」と呼ぶ。・振動の周期はT=2π/ωである。・波の波長はλ=2π/κである。　これは、幼稚園で最初に学ぶ波の性質です。　可視光の波長は、およそ3.9*10-7mから7*10-7mの範囲にある。スペクトルの片方の端では、ガンマ線は10-12m程度の波長を持ち、X線は10-10～10-8m程度の波長を持つ。もう一方の端では、電波の波長はおよそ1 cmから10 kmです。勿論、電磁波スペクトルはこれら両端で終わる訳ではない。あらゆる波長λに対して解が存在する。　我々は波長について考えながら育つが、今後は、波数κの方が波を表すのにより有用な記述である事が分かってくるでしょう。・E0は波の振幅である。　これまでに求めたのは電場のみです。磁場を決定する為に、▽⋅B=0を用いてBxが定数である事を導き、ここでもBx=0と置く。他の成分であるBy及びBzもまた、波動方程式(4.14)に従わなければならない事は分かっています。しかし、それらの振る舞いは、マクスウェル方程式を通じて電場がどのような挙動を示すかによって決定される。このことは、以降の式を示す。B=(0,0,B)と我々は以下の式が導かれる。 (4.16)　電場Eと磁場Bは同位相で振動しているが、互いに直交する方向に振動している。また、両者とも、波の進行方向に対して垂直な方向に振動している。In[]:Module[{w1,w2,colors,plot,lines},w1[x_]:={x,0,Sin[x]};w2[x_]:={x,-Sin[x],0};colors={Red,Green};{plot,lines}=ParametricPlot3D[{w1[x],w2[x]},{x,0,4 π},Boxed->False,AxesOrigin->{0,0,0},MaxRecursion->0,PlotStyle->{{Thick,Thick},colors}\[Transpose],EvaluationMonitor:>Sow[{Line[{w1[x],{x,0,0}}],Line[{w2[x],{x,0,0}}]}]]//Reap;Show[plot,Graphics3D[Insert[Flatten[lines,1],colors,1]\[Transpose]],ViewPoint→{3.009,-1.348,0.759},ViewVertical→{0.406,-0.398,5.732},Ticks→None,AspectRatio→0.75]]Out[]:　マクスウェル方程式は線形である為、(4.15)や(4.16)の形の解を幾つでも足し合わせる事ができ、その結果もまた解となる。これは「重ね合わせの原理」と呼ばれる事もある。　光に関して云えば、これは特に重要な性質です。何故なら、この性質のお陰で、異なる方向に進む光線同士が互いに通り抜ける事ができるからです。言い換えれば、私たちが何らかのものを目にすることができるのは、まさにこの性質があるからなのです。マクスウェル方程式の線形性から、一見するとやや奇妙に見える新しい表記法を導入する必要が生じる。解(4.15)と(4.16)は、しばしば複素数表記で表す事になる。E=E0ŷ ei(κx-ωt) (4.17)　物理的な電場や磁場は間違いなく実在するものであるはずですから、これは奇妙な事に思えるかもしれません。これらは単に、上記の式の「実部」であると考えて下さい。しかし、マクスウェル方程式は線形である為、EやBの実部だけでなく虚部もまた、マクスウェル方程式を満たす事になる。　更に重要な点として、もし複雑な形の電場（E）や磁場（B）の解を重ね合わせ始めたとしても、その結果として得られる実部と虚部の成分は、やはりマクスウェル方程式の解となる。この表記法を用いる利点は、単に、多数のcosやsinを含む式を扱うよりも、複素数を扱う方が一般的に計算が容易であるという点にある。　但し、この表記法には注意すべき点がある。EやBに関して線形ではない量（例えば、場に蓄えられるエネルギーのような2次の量）を計算する際には、上記の複素数表記をそのまま使うことはできない。まず実部をとる必要がある。完
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅹ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.ⅩMathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅸからの続き。10.b.3.MagneticSymmetry_ExsamplesMagneticSymmetryValueIn[]:(*空気中に埋め込まれ，z軸に沿ったSubscript[B, 0]=1 [T]の均一磁場内に出現した鉄の立方体をモデル化する．領域は長さ4[m]の鉄の立方体で構成される．対称性があるので，領域全体の1/8のみのシミュレーションを行う．鉄の立方体を囲む空気境界は，10[m]の2番目の立方体としてモデル化される．被約幾何では，x-z平面およびy-z平面に平行な平面には対称境界条件が適用されなければならない．メッシュを定義する：*)mesh =;(*メッシュには内部の鉄の立方体を表す内部境界がある．鉄の立方体を定義する*)ironCube = Cuboid[{0, 0, 0}, {0.02, 0.02, 0.02}];(*メッシュのワイヤフレームを定義する*)Show[HighlightMesh[RegionBoundary[mesh], {}, PlotTheme -> "Lines"],Graphics3D[{Gray, ironCube}]]Out[]:In[]:(*変数を定義する*)vars={Vm[x,y,z],{x,y,z}};(*真空の透磁率Subscript[μ, r]=1および鉄の透磁率Subscript[μ, r]=1000のパラメータを定義する*)pars=<|"RelativePermeability"->Piecewise[{{1000.0,RegionMember[ironCube][{x,y,z}]}},1]*IdentityMatrix[3]|>;(*領域全体の均一な磁場を指定するために，z=0.1Subscript[の境界に垂直な外向きの磁束密度B, n]が指定される．磁束密度条件を設定する*) Subscript[Γ,n]=MagneticFluxDensityValue[z==0.1,vars,pars,<|"NormalMagneticFluxDensity"->-1|>](*磁気対称条件を設定する*)Subscript[Γ,s]=MagneticSymmetryValue[x==0||y==0,vars,pars](*磁気対称条件は，境界上では何も指定されなければデフォルト境界条件であるノイマン(Neumann)0境界条件なので，省略する事ができる．静磁気PDEモデルを解く*)VmFun=NDSolveValue[{MagnetostaticPDEComponent[vars,pars]==Subscript[Γ,n]+Subscript[Γ,s],MagneticPotentialCondition[z==0,vars,pars,<||>]},Vm,{x,y,z}\[Element]mesh](*磁場の強度を計算する*)HField=-Grad[VmFun[x,y,z],{x,y,z}];(*場の別の1/8を可視化するために，y<= 0における場の対称性動作を考えなければならない．yの値が正のとき，場は{Bx,By,Bz}で，yの値が負のとき，場は{Bx,By,Bz}である．完全幾何の1/4で対称ベクトル場を可視化する*)Show[Graphics3D[Sequence[{{Gray,ironCube},{InfinitePlane[{{0,-1,-1},{0,-1,1},{0,1,1}}]}},Boxed->False]],HighlightMesh[Sequence[BoundaryMesh[mesh],{Style[1,None],Style[2,Opacity[0.2]]}]],VectorPlot3D[Evaluate[Piecewise[{{{-1,1,1}*HField/. x->Abs@x,x<0}},HField/. x->Abs@x]],{x,-0.1,0.1},{y,0,0.1},{z,0,0.1},VectorPoints->8]]Out[]:10.b.4.MagnetostaticPDE_ExsamplesMagnetostaticPDEComponent無電流静磁気PDE項を，変数varsとparsで与える．In[]:(*デフォルトの静磁気PDEモデルを定義する*)MagnetostaticPDEComponent[{Subscript[V, m][x, y], {x, y}}, <||>](*静磁気モデルを特定の材料パラメータで設定する*)MagnetostaticPDEComponent[{Subscript[V, m][x, y, z], {x, y, z}}, <|"RelativePermeability" -> Subscript[μ, 𝓇]|>](*長方形の断面を持つ永久磁石を2Dでモデル化するために，使用するメッシュを定義する*)mesh =;(*磁石領域の内側境界を可視化する*)Show[HighlightMesh[mesh, {1, {495, 496, 499, 500, 576, 575, 105, 106, 75, 76, 93, 94,108, 107, 335, 336, 211, 212, 213, 214, 271, 272, 84, 83, 253, 254,60, 59, 399, 400, 81, 82, 415, 416, 633, 634, 459, 460}}],PlotRange -> {{-0.08, 0.08}, {-0.15, 0.15}}]Out[]:In[]:(*y軸方向に横方向に磁化された磁石で静磁気PDEモデルを解く*) VmFun = NDSolveValue[{MagnetostaticPDEComponent[{Vm[x, y], {x, y}}, <|"Magnetization" -> {0, Piecewise[{{400000, RegionMember[Rectangle[{-0.05, -0.1}, {0.05, 0.1}]][{x, y}]}}, 0]}|>] == 0, MagneticPotentialCondition[x == -1 || x == 1 || y == -1 || y == 1, {Vm[x, y], {x, y}}, <||>]}, Vm, {x, y}\[Element]mesh](*磁場を可視化する*)Show[Graphics[{Gray, Rectangle[{-0.05, -0.1}, {0.05, 0.1}]}], StreamPlot[Evaluate[-Grad[VmFun[x, y], {x, y}]], {x, -0.3, 0.3}, {y, -0.3, 0.3}, StreamColorFunction -> "Rainbow"]]Out[]:In[]:(*静磁気PDEを単位[A/m]の磁化ベクトル{0,200*10^3で指定する*)MagnetostaticPDEComponent[{Subscript[V,m][x,y],{x,y}},<|"Magnetization"->{0,Quantity[200000,("Amperes")/("Meters")]}|>](*2D記号軸対称静磁気PDEを定義する*)MagnetostaticPDEComponent[{Subscript[V,m][r,z],{r,z}},<|"RelativePermeability"->Subscript[μ,\:f6c3],"VacuumPermeability"->Subscript[μ,0],"RegionSymmetry"->"Axisymmetric"|>](*特定の材料パラメータを持つ3D静磁気モデルを定義する*)MagnetostaticPDEComponent[{Subscript[V,m][x,y,z],{x,y,z}},<|"RelativePermeability"->Subscript[μ,rec],"VacuumPermeability"->Subscript[μ,0],"RemanentMagneticFluxDensity"->{Brx[x,y,z],Bry[x,y,z],Brz[x,y,z]}|>](*3D円柱の永久磁石をモデル化するために，変数を設定する*)vars = {Vm[x, y, z], {x, y, z}};(*高さ1/5[m],半径1/10[m]の磁性領域を定義する*)magnet = Cylinder[{{0, 0, -1/10}, {0, 0, 1/10}}, 1/10];(*磁化ベクトルを定義する*)pars = <|"Magnetization" -> {0, 0,Piecewise[{{1*^5, RegionMember[magnet][{x, y, z}]}}, 0]}|>;(*境界条件を設定する*)Subscript[Γ, p] =MagneticPotentialCondition[x^2 + y^2 + z^2 >= 2^2, vars, pars](*周囲の体積を表す[TemplateBox[{InterpretationBox[, 1], "m", meters, "Meters"}, QuantityTF]]の空気の球でメッシュを設定する*)mesh =;(*メッシュ内にある磁石円筒を可視化する*)Show[Graphics3D[{Opacity[0.1], magnet}, Boxed -> False],HighlightMesh[RegionBoundary[mesh], {}, PlotTheme -> "Lines"]](*静磁気PDE成分を設定する*)op=MagnetostaticPDEComponent[vars,pars];(*PDEを解く*)VmFun=NDSolveValue[{op==0,Subscript[Γ,p]},Vm,{x,y,z}\[Element]mesh](*磁場を可視化する*)Show[Graphics3D[{LightGray,magnet}],StreamPlot3D[Evaluate[-Grad[VmFun[x,y,z],{x,y,z}]],{x,-0.5,0.5},{y,-0.5,0.5},{z,-0.5,0.5},Sequence[StreamPoints->80,StreamMarkers->"Arrow",StreamStyle->Thickness[0.001]]],Boxed->False]Out[]:10.b.5.Electromagnetism _Exsamples電気双極子場In[]:eField[q_,r0_,{x_,y_}]:=q ({x,y}-r0)/Norm[{x,y}-r0]^3Show[VectorPlot[eField[1,{1,1},{x,y}]-eField[1,{-1,-1},{x,y}],{x,-3,3},{y,-3,3}],Epilog->{Red,Disk[{1,1},0.2],Blue,Disk[{-1,-1},0.2]}]Out[]:続編：Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅺ
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅸ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.ⅨMathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅷからの続き。3DIn[]:(*コンデンサの電極を表す上部と下部の境界に2つの電位条件を備えた円筒コンデンサの誘電体材料をモデル化する．Subscript[モデルの方程式は以下で与えられるρ, v]*)(*ここはバグ、1Dではdel.(-epsilon_ 0 epsilon_r del V (x))^(︷^(electrostatic model))=rho_vだが、2Dはdel.(-epsilon_ 0 epsilon_r del V (x))^(︷^(electrostatic model))=0で、エラーがでる。よって0ではなくrho_vにした。del.(-epsilon_0epsilon_r del V(x,y))^(︷^(electrostatic model))=0*)(*Model a dielectric material of a cylindrical capacitor with two electric potential conditions at the upper and lower boundaries,which represent the capacitor electrodes.The equation to model is given by*)(*del.(-epsilon_0epsilon_r del V(x,y,z))^(︷^(electrostatic model))=0ここも2次元同様に3次元でエラーになるので、1次元にした。*)del.(-epsilon_0epsilon_r del V(x))^(︷^(electrostatic model))=0(*静電気モデル変数varsを設定する*)vars={V[x,y,z],{x,y,z}};(*領域Ωを設定する*)r0=0.01;h=0.001;Ω=Cylinder[{{0,0,0},{0,0,h}},r0];(*比誘電率Subscript[ϵ, r]を指定する*)pars=<|"RelativePermittivity"->2|>;(*より低い境界における地電位を指定するS*)Subscript[Γ,ground]=ElectricPotentialCondition[z==0,vars,pars];(*Subscript[上界における電位V, 0]=1[V]を指定する*)Subscript[Γ,potential]=ElectricPotentialCondition[z==h,vars,pars,<|"ElectricPotential"->1|>];(*方程式を設定する*)eqn=ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==0(*PDEを解く*)Vfun=NDSolveValue[{eqn,Subscript[Γ,ground],Subscript[Γ,potential]},V,{x,y,z}\[Element]Ω](*解を可視化する*)SliceDensityPlot3D[Vfun[x,y,z],"CenterPlanes",{x,y,z}\[Element]Ω,Sequence[ColorFunction->ColorData[{"Rainbow",MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]]}],ColorFunctionScaling->False,BoxRatios->Automatic,Axes->False,PlotRange->MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]],PlotLegends->BarLegend[Automatic,50,LegendMarkerSize->150,LegendLabel->"[V]"],PlotLabel->"Electric Potential: V(x,y,z)",ViewPoint->Front]]Out[]:10.a.6.ElectricCurrentDensityValue_ExsamplesElectricCurrentDensityValueIn[]:(*記号的な電流密度境界条件を設定する*)ElectricCurrentDensityValue[ x >= 0, {V[x, y], {x, y}}, <| "NormalCurrentDensity" -> Jn|>](*電流密度を用いて、記号的な電流密度境界条件を設定する*)ElectricCurrentDensityValue[x >= 0, {V[x, y], {x, y}}, <|"CurrentDensity" -> {J0x, J0y}|>](*左下境界で電流密度境界条件、右下境界で電位ゼロ条件を持つ、直流電流1Aが流れる銅線をモデル化する。定常電流偏微分方程式モデルの変数varsとparsを設定する*)vars = {V[x, y], {x, y}}; pars = <|"Material" -> Entity["Element", "Copper"]|>;(*方程式を立てる*)op = ElectricCurrentPDEComponent[vars, pars];(*ワイヤの形状を定義する*)[CapitalOmega] =RegionUnion[Rectangle[{0, 0}, {1/3, 1}],Rectangle[{1/3, 2/3}, {2, 1}], Rectangle[{2 - 1/3, 0}, {2, 1}]];(*ワイヤーをイメージする*)RegionPlot[\[CapitalOmega]](*右下の境界における接地電位を指定する*)Subscript[\[CapitalGamma], ground] =ElectricPotentialCondition[x >= 2 - 1/3 && y == 0, vars, pars, <|"ElectricPotential" -> 0|>];(*左下の境界において、内向きの電流を指定する*)Subscript[\[CapitalGamma], source] =ElectricCurrentDensityValue[x <= 1/3 && y == 0, vars, pars, <|"Current" -> 1|>];(*偏微分方程式を解く*)Vfun =NDSolveValue[{op == Subscript[\[CapitalGamma], source],Subscript[\[CapitalGamma], ground]}, V, {x, y} \[Element] \[CapitalOmega]](*電位を可視化する*)DensityPlot[Vfun[x, y], {x, y} \[Element] \[CapitalOmega],Sequence[ColorFunction -> ColorData[{"Rainbow", MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]]}],ColorFunctionScaling -> False, BoxRatios -> Automatic,PlotRange -> MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]],PlotLegends -> BarLegend[Automatic, 50, LegendMarkerSize -> 150,LegendLabel -> "[V]"]]]Out[]:10.b.Mathrmatica_MagnetismPDE_Exsamples10.b.1.MagneticFlux_ExsamplesMagneticFluxDensityValueIn[]:(*空気中に埋め込まれ，Subscript[z軸に沿ったB, 0]=1[T]の均一磁場内にある鉄の立方体をモデル化する．この領域は長さが4[cm]の鉄の立方体によって構成されている．対称性があるので，領域全体の1/8だけのシミュレーションを行う．鉄の立方体を取り巻く空気境界は長さ10[cm]の第2の立方体としてモデル化される．メッシュを定義する*)mesh =;(*メッシュには，内部の鉄の立方体を表す内部境界がある．鉄の立方体を定義する*)ironCube = Cuboid[{0, 0, 0}, {0.02, 0.02, 0.02}];(*鉄の立方体が内部にあるメッシュのワイヤフレームを可視化する*)Show[HighlightMesh[RegionBoundary[mesh], {}, PlotTheme -> "Lines"],Graphics3D[{Gray, ironCube}]]Out[]:In[]:(*変数を定義する*)vars = {Vm[x, y, z], {x, y, z}};(*使用するパラメータは，Subscript[真空透磁率μ, r]=1と鉄Subscript[真空透磁率μ, r]=1000である．パラメータを定義する*)pars = <|"RelativePermeability" ->Piecewise[{{1000.0, RegionMember[ironCube][{x, y, z}]}}, 1]*IdentityMatrix[3]|>;(*領域全体に渡る均一な磁場を指定するために，z=Subscript[l, air] Subscript[における境界に垂直な外向きの磁束密度B, n]を指定する．磁束密度条件を設定する*)fluxDensity = 1; Subscript[Γ, n] = MagneticFluxDensityValue[z == 0.1, vars, pars, <|"NormalMagneticFluxDensity" -> -fluxDensity|>](*静磁気PDEモデルを解く*) VmFun = NDSolveValue[{MagnetostaticPDEComponent[vars, pars] == Subscript[Γ, n], MagneticPotentialCondition[z == 0, vars, pars, <||>]}, Vm, {x, y, z}\[Element]mesh](*磁場強度を計算する*)HField = -Grad[VmFun[x, y, z], {x, y, z}];(*場を可視化する*)Show[Graphics3D[{{Gray, ironCube}}, Boxed -> False], VectorPlot3D[HField, {x, y, z}\[Element]mesh]]Out[]:10.b.2.MagneticPotential_ExsamplesMagneticPotentialConditionIn[]:(*矩形断面を持つ2Dの永久磁石をモデル化するために，使用するメッシュを定義する*)mesh =;(*磁性領域の内部境界を可視化する*)Show[HighlightMesh[mesh, {1, {495, 496, 499, 500, 576, 575, 105, 106, 75, 76, 93, 94,108, 107, 335, 336, 211, 212, 213, 214, 271, 272, 84, 83, 253, 254,60, 59, 399, 400, 81, 82, 415, 416, 633, 634, 459, 460}}],PlotRange -> {{-0.08, 0.08}, {-0.15, 0.15}}]Out[]:In[]:(*静磁気演算子を定義する*)op = MagnetostaticPDEComponent[{Vm[x, y], {x, y}}, <|"Magnetization" -> {0,Piecewise[{{400000,RegionMember[Rectangle[{-0.05, -0.1}, {0.05, 0.1}]][{x, y}]}},0]}|>];(*外部境界におけるゼロ磁気スカラーポテンシャル条件を定義する*)Subscript[Γ, zero] =MagneticPotentialCondition[x == -1 || x == 1 || y == -1 || y == 1, {Vm[x, y], {x, y}}, <||>](*静磁気PDEモデルを解く*)VmFun = NDSolveValue[{op == 0, Subscript[Γ, zero]},Vm, {x, y} \[Element] mesh](*磁気スカラーポテンシャルと磁場を可視化する*)Show[DensityPlot[VmFun[x,y],{x,-0.3,0.3},{y,-0.3,0.3},ColorFunction->"Rainbow",PlotLegends->Automatic],Graphics[{Gray,Rectangle[{-0.05,-0.1},{0.05,0.1}]}],StreamPlot[Evaluate[-Grad[VmFun[x,y],{x,y}]],{x,-0.3,0.3},{y,-0.3,0.3},StreamColorFunction->None,StreamStyle->Black]]Out[]:In[]:(*静磁気PDEを単位[A/m]の磁化ベクトル{0,200*10^3で指定する*)MagnetostaticPDEComponent[{Subscript[V,m][x,y],{x,y}},<|"Magnetization"->{0,Quantity[200000,("Amperes")/("Meters")]}|>](*2D記号軸対称静磁気PDEを定義する*)MagnetostaticPDEComponent[{Subscript[V,m][r,z],{r,z}},<|"RelativePermeability"->Subscript[μ,\:f6c3],"VacuumPermeability"->Subscript[μ,0],"RegionSymmetry"->"Axisymmetric"|>](*特定の材料パラメータを持つ3D静磁気モデルを定義する*)MagnetostaticPDEComponent[{Subscript[V,m][x,y,z],{x,y,z}},<|"RelativePermeability"->Subscript[μ,rec],"VacuumPermeability"->Subscript[μ,0],"RemanentMagneticFluxDensity"->{Brx[x,y,z],Bry[x,y,z],Brz[x,y,z]}|>](*3D円柱の永久磁石をモデル化するために，変数を設定する*)vars = {Vm[x, y, z], {x, y, z}};(*高さ1/5[m],半径1/10[m]の磁性領域を定義する*)magnet = Cylinder[{{0, 0, -1/10}, {0, 0, 1/10}}, 1/10];(*磁化ベクトルを定義する*)pars = <|"Magnetization" -> {0, 0,Piecewise[{{1*^5, RegionMember[magnet][{x, y, z}]}}, 0]}|>;(*境界条件を設定する*)Subscript[Γ, p] =MagneticPotentialCondition[x^2 + y^2 + z^2 >= 2^2, vars, pars](*周囲の体積を表す[TemplateBox[{InterpretationBox[, 1], "m", meters, "Meters"}, QuantityTF]]の空気の球でメッシュを設定する*)mesh =;Show[Graphics3D[{Opacity[0.1], magnet}, Boxed -> False],HighlightMesh[RegionBoundary[mesh], {}, PlotTheme -> "Lines"]](*静磁気PDE成分を設定する*)op=MagnetostaticPDEComponent[vars,pars];(*PDEを解く*)VmFun=NDSolveValue[{op==0,Subscript[Γ,p]},Vm,{x,y,z}\[Element]mesh](*磁場を可視化する*)Show[Graphics3D[{LightGray,magnet}],StreamPlot3D[Evaluate[-Grad[VmFun[x,y,z],{x,y,z}]],{x,-0.5,0.5},{y,-0.5,0.5},{z,-0.5,0.5},Sequence[StreamPoints->80,StreamMarkers->"Arrow",StreamStyle->Thickness[0.001]]],Boxed->False](*注：磁場を可視化するはmagnetの定義が必要で、これが無いとエラーになる。よって、前半部も記述した。*)Out[]:In[]:(*円形断面を持つ長い銅線をモデル化するためにメッシュを定義する*)mesh =;(*ワイヤ領域を定義する*)wireRegion = Disk[{0, 0}, 0.01];(*空気領域を定義する*)airRegion = Disk[{0, 0}, 0.1];(*モデルのパラメータを定義する*)pars = <|"ElectricalConductivity" ->Piecewise[{{5.9*^7, RegionMember[wireRegion][{x, y}]}}, 0],"RelativePermeability" -> 1|>;(*変数を定義する*)vars = {{0, 0, Az[x, y]}, ω, {x, y}};(*z方向の一様外部電流密度を定義する*)Je0 = 100000;pars["ExternalCurrentSource"] = {0, 0,Piecewise[{{Je0, RegionMember[wireRegion][{x, y}]}}]};(*磁気方程式を定義する*)op = MagneticPDEComponent[vars, pars](*外部境界における0磁位条件を定義する*)Subscript[Γ,zero]=MagneticPotentialCondition[x^2+y^2>=0.1^2,vars,pars](*PDEを定義する*)pde={op==0,Subscript[Γ,zero]};(*800Hzの角周波数を設定する*)ω0=2*Pi*800;(*方程式の角周波数ωを周波数で置換してPDEを解く*)AzFun=NDSolveValue[pde/. ω->ω0,Az,{x,y}\[Element]mesh](*電場を計算する*)Efield={0,0,-I*ω0*AzFun[x,y]};(*伝導電流を計算する*)Jc=pars["ElectricalConductivity"]*Efield;(*外部電流を抽出する*)Je=pars["ExternalCurrentSource"];(*全電流を計算する*)Jfield=Jc+Je;(*全電流の大きさを可視化する*)DensityPlot[Sqrt[Total[Abs[Jfield]^2]],{x,y}\[Element]mesh,Sequence[ColorFunction->{"Rainbow"},PlotLegends->BarLegend[Automatic,50,LegendLabel->Style["[A/\!\(\*SuperscriptBox[\(m\), \(2\)]\)]",Opacity[0.6]]],FrameLabel->{"r","z"},AspectRatio->Automatic,PlotPoints->200,PlotRange->{{-0.05,0.05},{-0.05,0.05}}]]Out[]:続編：Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅹ
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅷ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.ⅧMathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅶからの続き。2DIn[]:(*電気伝導率が6x10^7の3バー電気スイッチのスカラーポテンシャルを解く．モデルで使用する方程式は次のように与えられる*)del.(-sigma del V(x))^(︷^(stationary current model))=0(*del.(-sigma del V(x,y))^(︷^(stationary current model))=0*)(*静電気モデル変数varsを設定する*)vars={V[x,y],{x,y}};(*領域Ωを設定する*)Ω=RegionUnion[Rectangle[{0,2.5},{10,7.5}],Rectangle[{9,-2.5},{10+9,2.5}],Rectangle[{0,-7.5},{10,-2.5}]];(*導電率σを指定する*)pars=<|"ElectricalConductivity"->6*^7|>;(*下方境界における地電位を指定する*)Subscript[Γ,ground]=ElectricPotentialCondition[y==-7.5,vars,pars,<|"ElectricPotential"->0|>];(*Subscript[上方境界における電位V, 0]=5[V]を指定する*)Subscript[Γ,potential]=ElectricPotentialCondition[y==7.5,vars,pars,<|"ElectricPotential"->5|>];(*偏微分方程式を解く*)Vfun=NDSolveValue[{ElectricCurrentPDEComponent[vars,pars]==0,Subscript[Γ,ground],Subscript[Γ,potential]},V,{x,y}\[Element]Ω];(*電流密度ベクトルを計算する*)Jfield=-6*^7*Grad[Vfun[x,y],{x,y}];(*電流密度ベクトルを可視化する*)VectorPlot[Jfield,{x,y}\[Element]Ω,AspectRatio->Automatic]Out[]:3DIN[]:(*高電圧導体と接触する内壁の電位条件と，表面プレートの1つ(z=0)の接地電位境界を使用して，変圧器の単純化されたブッシング絶縁体をモデル化する．モデルで使用する方程式は以下で与えられる*)del .(-epsilon_0epsilon_r del V(x))^(︷^( electrostatic model)) =0(* del .(-epsilon_0epsilon_r del V(x,y,z))^(︷^( electrostatic model)) =0*)(*静電気モデル変数varsを設定する*)vars = {V[x, y, z], {x, y, z}};(*幾何学形状を設定する*)insulator =;(*比誘電率Subscript[ϵ, r]を設定する*)pars = <|"RelativePermittivity" -> 5|>;(*表面z=0.2における地電位を指定する*)Subscript[Γ, ground] =ElectricPotentialCondition[z == 0.2, vars,pars, <|"ElectricPotential" -> 0|>];(*Subscript[内壁におけるV, 0]=1000[V]電位を指定する*)Subscript[Γ, potential] =ElectricPotentialCondition[x^2 + y^2 <= 0.2^2, vars,pars, <|"ElectricPotential" -> 10^3|>];(*方程式を設定する*)eqn = ElectrostaticPDEComponent[vars, pars] == 0;(*偏微分方程式を解く*)Vfun = NDSolveValue[{eqn, Subscript[Γ, ground],Subscript[Γ, potential]},V, {x, y, z} \[Element] insulator](*解を可視化する*)Legended[RegionPlot3D[insulator,ColorFunction->Function[{x,y,z},ColorData[{"Rainbow",MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]]}][Vfun[x,y,z]]],Sequence[AspectRatio->Automatic,PerformanceGoal->"Quality",PlotPoints->50,Mesh->None,PlotTheme->"Detailed",PlotLegends->None,AxesLabel->{x,y,z},ColorFunctionScaling->False,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->Right]],BarLegend[{"Rainbow",MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]]},LegendLabel->"[V]"]]Out[]:10.a.4.ElectricSymmetry_ExsamplesElectricSymmetryValueIn[]:(*コンデンサの誘電領域の右半分をモデル化する．静電気モデル変数varsを設定する*)vars={V[x,y],{x,y}};(*右半領域Ωを設定する*)Ω=Rectangle[{0,-0.1},{0.25,0.1}];(*Subscript[静電気パラメータ比誘電率ϵ, r]を指定する*)pars=<|"RelativePermittivity"->7|>;(*上界における電位を設定する*)Subscript[Γ,potential]=ElectricPotentialCondition[y==0.1,vars,pars,<|"ElectricPotential"->1*^4|>];(*地電位を設定する*)Subscript[Γ,ground]=ElectricPotentialCondition[y==-0.1,vars,pars];(*x=0における従属変数Vの対称境界を設定する*)Subscript[Γ,es]=ElectricSymmetryValue[x==0,vars,pars];(*方程式を指定する*)pde={ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==Subscript[Γ,es],{Subscript[Γ,ground],Subscript[Γ,potential]}};(*偏微分方程式PDEを解く*)Vfun=NDSolveValue[pde,V,{x,y}\[Element]Ω];(*領域全体を可視化する*)Show[DensityPlot[Vfun[Abs@x,y],{x,-0.25,0.25},{y,-0.1,0.1},Sequence[PlotRange->MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]],ColorFunction->ColorData[{"Rainbow",MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]]}],ColorFunctionScaling->False,PlotLegends->BarLegend[Automatic,50,LegendMarkerSize->150,LegendLabel->Style["[V]",Opacity[0.6]]],FrameLabel->{"x","y"},AspectRatio->Automatic,PlotPoints->90,PlotLabel->"Electric Potential"]],Graphics[{{Directive[Dashing[{Small,Small}],Thickness[Large]],Line[{{0,-0.2},{0,0.2}}]},Text["Domain",{0.13,0.05}],Text["Mirrored Domain",{-0.13,0.05}]}]]Out[]:10.a.5.ElectrostaticPDE_ExsamplesElectrostaticPDEComponentIn[]:(*ElectrostaticPDEComponent*)(*静電気モデル\[Del]\[CenterDot](-Subscript[ϵ, 0]\[Del]V(x))を定義する*)ElectrostaticPDEComponent[{V[x],{x}},<||>](*特定の材料パラメータで静電気モデルを設定する*)ElectrostaticPDEComponent[{V[x,y],{x,y}},<|"RelativePermittivity"->Subscript[ϵ,𝓇],"VolumeChargeDensity"->Subscript[ρ,v]|>](*モデル変数と静電気パラメータを指定する*)vars={V[x],{x}};pars=<|"RelativePermittivity"->1,"VolumeChargeDensity"->-10*^-8|>;(*静電気PDEを設定して解く*)Vfun=NDSolveValue[{ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==0,{ElectricPotentialCondition[x==0,vars,pars,<|"ElectricPotential"->1|>],ElectricPotentialCondition[x==0.08,vars,pars]}},V,{x,0,0.08}](*解を可視化する*)Plot[Vfun[x],{x,0,0.08}]Out[]:1DIn[]:(*断面積がAの1D静電気モデルを定義する*)ElectrostaticPDEComponent[{V[x],{x}},<|"VacuumPermittivity"->Subscript[ϵ,0],"RelativePermittivity"->Subscript[ϵ,\:f6c3]*IdentityMatrix[1],"CrossSectionalArea"->A,"VolumeChargeDensity"->Subscript[ρ,s]|>](*側面の2つの電位条件で電位場をモデル化する．モデルの変数と静電パラメータを指定する*)vars={V[x],{x}};pars=<|"RelativePermittivity"->2|>;(*線電気PDEを設定して解く*)Vfun=NDSolveValue[{ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==0,{ElectricPotentialCondition[x==0,vars,pars,<|"ElectricPotential"->10|>],ElectricPotentialCondition[x==1/5,vars,pars,<|"ElectricPotential"->0|>]}},V,x\[Element]Line[{{0},{1/5}}]];(*解を可視化する*)Plot[Vfun[x],{x,0,1/5},AxesLabel->{"x","V"}]Out[]:(*側面における2つの電位条件と不連続比誘電率で電位場をモデル化する．モデル変数と静電パラメータを指定する*)vars={V[x],{x}};pars=<|"RelativePermittivity"->Piecewise[{{2,x<=1/10}},1]|>;(*静電気PDEを設定して解く*)Vfun=NDSolveValue[{ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==0,{ElectricPotentialCondition[x==0,vars,pars,<|"ElectricPotential"->10|>],ElectricPotentialCondition[x==1/5,vars,pars,<|"ElectricPotential"->0|>]}},V,x\[Element]Line[{{0},{1/5}}]];(*解を可視化する*)Plot[Vfun[x],{x,0,1/5},AxesLabel->{"x","V"}]Out[]:3DIn[]:(*内半径と外半径の電位条件を使用して中空ボール内の電位場をモデル化する．モデル変数と静電パラメータを指定する*)vars={V[x,y,z],{x,y,z}};pars=<|"RelativePermittivity"->3.9|>;(*静電気PDEを設定して解く*)Vfun=NDSolveValue[{ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==0,{ElectricPotentialCondition[x^2+y^2+z^2<=(3/1000)^2,vars,pars,<|"ElectricPotential"->32|>],ElectricPotentialCondition[x^2+y^2+z^2>=(9/1000)^2,vars,pars,<|"ElectricPotential"->0|>]}},V,{x,y,z}\[Element]RegionDifference[Ball[{0,0,0},10/1000],Ball[{0,0,0},3/1000]]];(*解を可視化する*)SliceContourPlot3D[Vfun[x,y,z],"CenterPlanes",{x,-10/1000,10/1000},{y,-10/1000,10/1000},{z,-10/1000,10/1000},ColorFunction->"Rainbow",Axes->False,Boxed->False](*距離d=8[cm]で隔てられた軸に垂直の2枚の平行プレート間の電位分布を計算する．左側のパネルは定電位Subscript[V, 0]=1[V]に保たれているのに対し，右側のプレートは接地していてV=0[V]である．プレート間の領域は比誘電率Subscript[ϵ, r]=1と均一な電子電荷密度Subscript[ρ, v]=-(10^-8)[C/m^3]で特徴付られる．モデルの方程式は以下で与えられる*)del.(-epsilon_0epsilon_r del V(x))^(︷^(electrostatic model))=rho_v(*Set up the electrostatic model variables vars:*)vars={V[x],{x}};(*領域Ωを設定する*)Ω=Line[{{0},{0.08}}];(*静電気モデルパラメータを指定する*)pars=<|"RelativePermittivity"->1,"VolumeChargeDensity"->-10*^-8|>;(*電位条件を指定する*)Subscript[Γ,v]={ElectricPotentialCondition[x==0,vars,pars,<|"ElectricPotential"->1|>],ElectricPotentialCondition[x==0.08,vars,pars]};(*方程式を設定する*)eqn=ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==0(*PDEを解く*)Vfun=NDSolveValue[{eqn,Subscript[Γ,v]},V,x\[Element]Ω](*解を可視化する*)Plot[Vfun[x],x\[Element]Ω]Out[]:2DIn[]:(*金属壁を持つ無限に長い長方形のボックスをモデル化する．ボックスの幅は1[m]で高さは2[m]である．縦方向の壁と底の壁の電位は0に保たれているのに対し，Subscript[上の壁のV, 0]の固定電位を持つ．Subscript[ボックス内の領域には電荷ρ, v]はない．モデルの方程式は以下で与えられる*)del.(-epsilon_0epsilon_r del V(x))^(︷^(electrostatic model))=rho_v(*ここはバグ、1Dではdel.(-epsilon_ 0 epsilon_r del V (x))^(︷^(electrostatic model))=rho_vだが、2Dはdel.(-epsilon_ 0 epsilon_r del V (x))^(︷^(electrostatic model))=0で、エラーがでる。よって0ではなくrho_vにした。del.(-epsilon_0epsilon_r del V(x,y))^(︷^(electrostatic model))=02次元はエラーになるので、1次元にした。xだけ。yを入れるとエラーになる。*)(*Define the model variables and parameters*)vars={V[x,y],{x,y}};pars=<|"RelativePermittivity"->1|>;(*モデル領域を設定する*)w=1;h=2;Ω=Rectangle[{0,0},{w,h}];(*2D静電気モデルを設定する*)op=ElectrostaticPDEComponent[vars,pars];(*y<=1における底の壁と側面の壁の一部の電位は0に保たれている*)Subscript[Γ,ground]=ElectricPotentialCondition[y<=1,vars,pars];(*y=Subscript[hにおける上の壁の電位はV, 0]=1[V]に固定されている*)V0=1;Subscript[Γ,potential]=ElectricPotentialCondition[y==h,vars,pars,<|"ElectricPotential"->V0|>];(*方程式を設定する*)eqn={op==0,Subscript[Γ,ground],Subscript[Γ,potential]};(*PDEを解く*)Vfun=NDSolveValue[eqn,V,{x,y}\[Element]Ω];(*解を可視化する*)Legended[ContourPlot[Vfun[x,y],{x,y}\[Element]Ω,Sequence[PlotRange->MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]],ColorFunction->ColorData[{"Rainbow",MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]]}],ColorFunctionScaling->False,Contours->20,PlotPoints->90,FrameLabel->{"x","y"},PlotLabel->"Electric potential: V(x,y)",AspectRatio->1/2]],BarLegend[{"Rainbow",MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]]},50,LegendLabel->"[V]"]]Out[]:続編：Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅸ
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅶ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.ⅦMathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅵからの続き。10.a.1.ElectricCurrentPDE_ExsamplesElectricCurrentPDEComponentIn[]:(*電気伝導率がσ=6*10^7のくびれた長方形のプレート内の電気スカラーポテンシャルについて解く*)Vfun=NDSolveValue[{ElectricCurrentPDEComponent[{V[x,y],{x,y}},<|"ElectricalConductivity"->6*^7|>]==0,ElectricPotentialCondition[y==-2,{V[x,y],{x,y}},<|"ElectricPotential"->0|>],ElectricPotentialCondition[y==2,{V[x,y],{x,y}},<|"ElectricPotential"->1|>]},V,{x,y}\[Element]RegionUnion[Rectangle[{-1,-2},{1,-0.3}],Rectangle[{-1,0.3},{1,2}],Rectangle[{-0.3,-0.3},{0.3,0.3}]]];(*電流密度ベクトルを計算する。*)Jfield=-6*^7*Grad[Vfun[x,y],{x,y}];(*電流密度ベクトルを可視化する。*)VectorPlot[Jfield,{x,y}\[Element]RegionUnion[Rectangle[{-1,-2},{1,-0.3}],Rectangle[{-1,0.3},{1,2}],Rectangle[{-0.3,-0.3},{0.3,0.3}]],AspectRatio->Automatic]Out[]:2D定常解析In[]:(*導電率が6*10^7の3バー電気スイッチの電気スカラーポテンシャルについて解く*)Vfun=NDSolveValue[{ElectricCurrentPDEComponent[{V[x,y],{x,y}},<|"ElectricalConductivity"->6*^7|>]==0,ElectricPotentialCondition[y==-7.5,{V[x,y],{x,y}},<|"ElectricPotential"->0|>],ElectricPotentialCondition[y==7.5,{V[x,y],{x,y}},<|"ElectricPotential"->5|>]},V,{x,y}\[Element]RegionUnion[Rectangle[{0,2.5},{10,7.5}],Rectangle[{9,-2.5},{10+9,2.5}],Rectangle[{0,-7.5},{10,-2.5}]]];(*電流密度ベクトルを計算する*)Jfield=-6*^7*Grad[Vfun[x,y],{x,y}];(*電流密度ベクトルを可視化する*)VectorPlot[Jfield,{x,y}\[Element]RegionUnion[Rectangle[{0,2.5},{10,7.5}],Rectangle[{9,-2.5},{10+9,2.5}],Rectangle[{0,-7.5},{10,-2.5}]],AspectRatio->Automatic]Out[]:3D定常解析In[]:(*1[A]の直流電流(DC)で励起される銅線を上方境界における境界電流密度条件と下方境界におけるゼロ電位条件でモデル化する．定常電流PDEモデルの変数varsとparsを設定する*)vars={V[x,y,z],{x,y,z}};pars=<|"Material"->Entity["Element","Copper"]|>;(*方程式を設定する*)op=ElectricCurrentPDEComponent[vars,pars];(*下方境界における地電位を指定する*)Subscript[Γ,ground]=ElectricPotentialCondition[z==0,vars,pars,<|"ElectricPotential"->0|>];(*上方境界における流入電流の流れを指定する*)Subscript[Γ,source]=ElectricCurrentDensityValue[z==0.01,vars,pars,<|"Current"->1|>];(*円柱を定義する*)Ω=Cylinder[{{0,0,0},{0,0,0.01}},0.0005];(*PDEを解く*)Vfun=NDSolveValue[{op==Subscript[Γ,source],Subscript[Γ,ground]},V,{x,y,z}\[Element]Ω](*電位を可視化する*)Show[Graphics3D[{Opacity[0.2],Ω},Boxed->False],SliceDensityPlot3D[Vfun[x,y,z],{x,y,z}\[Element]Ω,Sequence[ColorFunction->"Rainbow",BoxRatios->Automatic,PlotLegends->BarLegend[Automatic,50,LegendLabel->"[V]"],Boxed->False,Axes->None]]]Out[]:In[]:(*電位差0.2[V]のタングステンワイヤをモデル化する．定常電流偏微分方程式のモデル変数varsとparsを設定する*)vars={V[x,y,z],{x,y,z}};pars=<|"Material"->Entity["Element","Tungsten"]|>;(*定常電流偏微分方程式を設定する*)op = ElectricCurrentPDEComponent[vars, pars];(*タングステンワイヤの半径は2.5* (10^-3)[m]で，ワイヤの幾何学形状はS字型である．幾何学パラメータを指定する*)L = 0.05;r = 0.0025;R = 0.0075;(*シミュレーション領域*)Ω =;(*左端境界ではSubscript[V, 0]=0.2[V]の電位境界条件が適用され，右端境界ではゼロ電位条件が適用される．離散化領域の数値誤差を考慮して，許容値0.01rが両端に適用される．ワイヤの両端に電位境界条件を設定する*)Subscript[Γ,potential] = {ElectricPotentialCondition[Abs[x] <= 0.01 r && y^2 + z^2 <= r^2, vars,pars, <|"ElectricPotential" -> 0.2|>],ElectricPotentialCondition[Abs[y + r] <= 0.01 r && (x - (L + 2 R + r))^2 + z^2 <= r^2, vars,pars]};(*偏微分方程式を解く*)Vfun = NDSolveValue[{op == 0, Subscript[Γ, potential]},V, {x, y, z} \[Element] Ω](*電流密度ベクトルを計算する*)Jfield = -QuantityMagnitude[pars["Material"]["ElectricalConductivity"]] * Grad[Vfun[x, y, z], {x, y, z}];(*電流密度の大きさを可視化する*)SliceDensityPlot3D[Sqrt[Total[Jfield^2]],{{"XStackedPlanes",10},{"YStackedPlanes",12},{"ZStackedPlanes",3}},{x,y,z}\[Element]Ω,Sequence[ColorFunctionScaling->False,ColorFunction->ColorData[{"Rainbow",MinMax[ReplaceAll[Sqrt[Total[Jfield^2]],Pattern[head,InterpolatingFunction][Pattern[a,BlankSequence[]]][Pattern[d,BlankSequence[]]]:>head[a]["ValuesOnGrid"]]]}],BoxRatios->Automatic,Boxed->False,Axes->None,PlotLegends->BarLegend[Automatic,50,LegendLabel->"[A/\!\(\*SuperscriptBox[\(m\), \(2\)]\)]"]]]Out[]:In[]:(*左境界に対して垂直な電流密度で励起され，右境界でゼロ電位境界条件を持つ銅スパイラルインダクタをモデル化する．スパイラルインダクタの形状を定義する*)Ω=RegionUnion[Cuboid[{0,0,0},{2,1,1}],Cuboid[{1,1,0},{2,8,1}],Cuboid[{2,7,0},{8,8,1}],Cuboid[{7,7,0},{8,0,1}],Cuboid[{7,0,0},{3,1,1}],Cuboid[{3,1,0},{4,6,1}],Cuboid[{4,6,0},{6,5,1}],Cuboid[{6,5,0},{5,2,1}],Cuboid[{5,2,1},{6,3,1.2}],Cuboid[{5,2,1.2},{10,3,2.2}]](*定常電流偏微分モデル変数varsとparsを設定する*)vars={V[x,y,z],{x,y,z}};pars=<|"Material"->Entity["Element","Copper"]|>;(*左境界に内向きの電流フローを指定する*)Subscript[Γ,source]=ElectricCurrentDensityValue[x==0,vars,pars,<|"NormalCurrentDensity"->10|>];(*地位を指定する*)Subscript[Γ,ground]=ElectricPotentialCondition[x==10,vars,pars];(*偏微分方程式を解く*)Vfun=NDSolveValue[{ElectricCurrentPDEComponent[vars,pars]==Subscript[Γ,source],Subscript[Γ,ground]},V,{x,y,z}\[Element]Ω]Vfun=NDSolveValue[{op==0,Subscript[Γ,potential]},V,{x,y,z}\[Element]Ω](*ElectricCurrentPDEComponentV2*)(*左境界に対して垂直な電流密度で励起され，右境界でゼロ電位境界条件を持つ銅スパイラルインダクタをモデル化する．スパイラルインダクタの形状を定義する*)Ω=RegionUnion[Cuboid[{0,0,0},{2,1,1}],Cuboid[{1,1,0},{2,8,1}],Cuboid[{2,7,0},{8,8,1}],Cuboid[{7,7,0},{8,0,1}],Cuboid[{7,0,0},{3,1,1}],Cuboid[{3,1,0},{4,6,1}],Cuboid[{4,6,0},{6,5,1}],Cuboid[{6,5,0},{5,2,1}],Cuboid[{5,2,1},{6,3,1.2}],Cuboid[{5,2,1.2},{10,3,2.2}]](*定常電流偏微分モデル変数varsとparsを設定する*)vars={V[x,y,z],{x,y,z}};pars=<|"Material"->Entity["Element","Copper"]|>;(*左境界に内向きの電流フローを指定する*)Subscript[Γ,source]=ElectricCurrentDensityValue[x==0,vars,pars,<|"NormalCurrentDensity"->10|>];Subscript[Γ,source]=ElectricCurrentDensityValue[x==0,vars,pars,<|"NormalCurrentDensity"->10|>];(*地位を指定する*)Subscript[Γ,ground]=ElectricPotentialCondition[x==10,vars,pars];(*偏微分方程式を解く*)Vfun=NDSolveValue[{ElectricCurrentPDEComponent[vars,pars]==Subscript[Γ,source],Subscript[Γ,ground]},V,{x,y,z}\[Element]Ω](*電流密度ベクトルを計算する*)Jfield=-QuantityMagnitude[pars["Material"]["ElectricalConductivity"]]*Grad[Vfun[x,y,z],{x,y,z}];(*電流密度の大きさを可視化する*)SliceDensityPlot3D[Sqrt[Total[Jfield^2]],{{"XstackedPlanes",10},{"YstackedPlanes",10},{"ZstackedPlanes",5}},{x,y,z}\[Element]Ω,Sequence[BoxRatios->Automatic,Boxed->False,Axes->None]]Out[]:周波数解析In[]:(*60[Hz]の交流電流(AC)で励起される円筒形コンデンサの誘電材料を，コンデンサの電極を表す上方境界の電流密度条件と下方境界の電位ゼロ状態でモデル化する．周波電流PDEモデル変数varsを設定する*)vars={V[x,y,z],ω,{x,y,z}};(*周波数と周期を定義する*)f0=60;T0=1/f0;(*領域Ωを設定する*)r0=0.01;h=0.001;Ω=Cylinder[{{0,0,0},{0,0,h}},r0];(*導電率σと比誘電率Subscript[ϵ, r]を指定する*)pars=<|"ElectricalConductivity"->1*^-8,"RelativePermittivity"->2|>;(*下方境界における地電位を指定する*)Subscript[Γ,ground]=ElectricPotentialCondition[z==0,vars,pars];(*上方境界における流入電流を指定する*)Subscript[Γ,current]=ElectricCurrentDensityValue[z==h,vars,pars,<|"Current"->1*^-7|>];(*方程式を設定する*)op=ElectricCurrentPDEComponent[vars,pars];(*調和PDEを60[Hz]について解く*)Vfun=NDSolveValue[{(op/. {ω->2 Pi f0})==Subscript[Γ,current],Subscript[Γ,ground]},V,{x,y,z}\[Element]Ω](*上方境界の電圧を時間領域に変換する*)Vlist=Table[{t,Re[Vfun[0,0,h]*Exp[I ω t]/. {ω->2 Pi f0}]},{t,0,3*T0,T0/100}];(*コンデンサの上部プレートの電圧を可視化する*)ListLinePlot[Vlist]Out[]:10.a.2.ElectricFluxDensity_ExsamplesElectricFluxDensityValueIn[]:(*電束密度境界がある平行電場をモデル化する．静電気モデル変数varsを設定する*)vars={V[x,y],{x,y}};(*領域Ωを設定する*)Ω=Rectangle[{-1,-1},{1,1}];(*Subscript[静電気モデルパラメータ比誘電率ϵ, r]を指定する*)pars=<|"RelativePermittivity"->1|>;(*境界ボックスの右側の地電位を設定する*)Subscript[Γ,ground]=ElectricPotentialCondition[x==1,vars,pars];(*境界ボックスの左側で内側電束密度境界条件を設定する*)Subscript[Γ,Flux]=ElectricFluxDensityValue[x==-1,vars,pars,<|"ElectricFluxDensity"->{8.85*^-7,0}|>](*方程式を指定する*)eqn=ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==Subscript[Γ,Flux];(*偏微分方程式を解く*)Vfun=NDSolveValue[{eqn,Subscript[Γ,ground]},V,{x,y}\[Element]Ω];(*電場強度Eを計算する*)Efield=-Grad[Vfun[x,y],{x,y}];(*解を可視化する*)VectorPlot[Efield,{x,y}\[Element]Ω,Sequence[VectorPoints->Fine,VectorRange->Automatic,VectorScaling->Automatic,RegionFillingStyle->None,RegionBoundaryStyle->None]]Out[]:In[]:(*コンデンサの電圧差を指定する代りにコンデンサのプレートの1つの面電荷密度を指定することもできる．静電モデル変数varsを設定する*)vars={V[x,y],{x,y}};(*領域Ωを設定する*)Ω=Rectangle[{-0.05,-0.02},{0.05,0.02}];(*Subscript[静電モデルのパラメータの比誘電率ϵ, r]を指定する*)pars=<|"RelativePermittivity"->3|>;(*上界に正の面電荷を設定する*)Subscript[Γ,p]=ElectricFluxDensityValue[y==0.02,vars,pars,<|"SurfaceChargeDensity"->1*^-9|>](*下界に地電位を設定する*)Subscript[Γ,ground]=ElectricPotentialCondition[y==-0.02,vars,pars];(*方程式を指定する：*)eqn=ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==Subscript[Γ,p];(*偏微分方程式を解く*)Vfun=NDSolveValue[{eqn,Subscript[Γ,ground]},V,{x,y}\[Element]Ω];(*解を可視化する*)DensityPlot[Vfun[x,y],{x,y}\[Element]Ω,Sequence[PlotRange->MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]],ColorFunction->ColorData[{"Rainbow",MinMax[Vfun["ValuesOnGrid"]]}],ColorFunctionScaling->False,PlotLegends->BarLegend[Automatic,50,LegendMarkerSize->150,LegendLabel->"[V]"],FrameLabel->{"x","y"},PlotLabel->"Electric Potential",AspectRatio->Automatic,PlotPoints->90]]Out[]:10.a.3.ElectricPotential_ExsamplesElectricPotentialConditionIn[]:(*電位面境界条件を設定する*)ElectricPotentialCondition[x>=0,{V[x,y],{x,y}},<|"ElectricPotential"->Subscript[V,s][x,y]|>](*デフォルトの電位面境界条件を設定する*)ElectricPotentialCondition[x>=0,{V[x,y],{x,y}},<||>](*モデル変数vars，パラメータpars，Subscript[左境界の電位V, 0](10[V])，右境界の地電位で，電位分布を計算する：モデルの変数と静電パラメータを指定する*)vars={V[x],{x}};pars=<|"RelativePermittivity"->2|>;(*偏微分方程式を設定して解く*)Vfun=NDSolveValue[{ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==0,{ElectricPotentialCondition[x==0,vars,pars,<|"ElectricPotential"->10|>],ElectricPotentialCondition[x==1/5,vars,pars,<|"ElectricPotential"->0|>]}},V,x\[Element]Line[{{0},{1/5}}]];(*解を可視化する*)Plot[Vfun[x],{x,0,1/5},AxesLabel->{"x","V"}]Out[]:1DIn[]:(*距離d=8[cm]で隔てられた軸に垂直の2枚の平行プレート間の電位分布を計算する．Subscript[左側のパネルは定電位V, 0]=1[V]に保たれているのに対し，右側のパネルは接地していてV=0である．プレート間の領域は比誘電率Subscript[ϵ, r]=1Subscript[と均一な電子電荷密度ρ , v]=(10 ^-8)[C/m^3]で特徴付られる．モデルで使用する方程式は以下で与えられる*)del.(-epsilon_0epsilon_r del V(x))^(︷^(electrostatic model))=rho_v(*静電気モデル変数varsを設定する*)vars={V[x],{x}};(*領域Ωを設定する*)Ω=Line[{{0},{0.08}}];(*静電気モデルパラメータを指定する*)pars=<|"RelativePermittivity"->1,"VolumeChargeDensity"->-10*^-8|>;(*電位条件を指定する*)Subscript[Γ,v]={ElectricPotentialCondition[x==0,vars,pars,<|"ElectricPotential"->1|>],ElectricPotentialCondition[x==0.08,vars,pars]}(*方程式を設定する*)eqn=ElectrostaticPDEComponent[vars,pars]==0(*偏微分方程式を解く*)Vfun=NDSolveValue[{eqn,Subscript[Γ,v]},V,x\[Element]Ω](*解を可視化する*)Plot[Vfun[x],x\[Element]Ω]Out[]:続編：Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅷ
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅵ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.ⅥMathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅴからの続き。Dependent Variables従属変数　特定の条件下では、マクスウェル方程式を簡略化し、スカラー電位V[V]、磁気ベクトルポテンシャルA[Wb/m]、または磁気スカラーポテンシャルVm[A]を用いて再定式化する事ができる。電位Vは、次の式によって電界強度と関係付けられる。E=-▽⋅V負の符号は、便宜上及び歴史的な理由から付けられた。式(5)に示されたものと同じスカラー電位を用いて時間依存性のある電場を表そうとするならば、追加の項を加える必要がある。磁気ベクトルポテンシャルAと磁束密度Bとの関係は、次の式で表される。B=▽×A最後に、自由電流が存在せず静的な条件下でJ=0となる場合、電位Vと同様に、磁気スカラーポテンシャルVmを定義する事も可能です。磁気スカラーポテンシャルVmは、次のように定義できる。H=-▽⋅Vmこれらの関係式の具体的な導出については、『Electrostatics静電気学』、『Electric Currents電流』、及び『Magnetostatics for Permanent Magnetsmonographs永久磁石の静磁気学』の各専門書で示されている。現時点では、それらが存在する事を知って置くだけで十分です。7.Electromagnetics Decision Diagram電磁気学に関する意思決定図　次に、さまざまなモデリングの状況に於いて、どの式や関数を使用すべきかについての指針（経験則）を提示する。以下のフローチャートは、電磁気シミュレーションのアプローチを決定する際に役立つものであり、その詳細については後述する。Electromagnetics modelingの図この図は、電磁気モデリングのどのようなシナリオでどの関数を使用すべきかについて、経験則を示すフローチャートを提示している。また、この図はスタッフの力作で磁石、コイル、コンデンサ、電磁波等の分かり易い図が記載されている。後半では、同様な画像の可視化する。　まず検討すべき点は、計画されているシミュレーションが静的（スタティック）なものか、それとも過渡的（トランジェント）なものかという事です。時間的に変化する入力がないために電場も磁場も時間変化しない場合は、そのケースを静的であると見做す事ができる。8.Statics静力学　この領域では、直流（DC）、静止電荷、あるいは磁区によって生じる定常的な場が想定される。ここでの主な前提は、場が時間的に変化しない事です。これは、∂D/∂t = 0及び ∂B/∂t = 0である事を意味する。その結果、静的な状況下では、電場と磁場はもはや互いに結合しなくなる。Faraday's lawファラデーの法則（式6）は、もはや磁場Bとは結合しなくなる。そして、Ampere's lawアンペールの法則（式7）はもはやDと結合していない。従って、Hとは独立にEを求める事ができ、その逆もまた同様である。次の問題は、どちらの場に関心があるかと云う事である。Electric field電場　対象とする構成関係に応じて、以下の中から選択します。Electrostatics静電気学：移動しない静止電荷によって生じる電場を記述するものであり、絶縁体や誘電体のモデル化に用いられる。この場合、まずスカラー電位Vを求め、続いて電場の強さEを求める。静電気学の式は次のように表される。▽⋅(ϵ▽⋅V)=ρv　静電場シミュレーションの概念についてはElectrostaticsの解説記事で論じられており、ElectrostaticPDEComponentは静電場の偏微分方程式（PDE）の項を生成する関数です。Stationary currents定常電流：金属等の導電性物質に於ける定常的な電流の流れを指す。この場合、まずスカラー電位Vを求め、続いて電流密度J及び電界強度Eを求める。電流に関する方程式は次のように表される。▽⋅(-σ▽⋅V)=0定常電流シミュレーションの概念については『Electric Currents』の解説書で論じられており、`ElectricCurrentPDEComponent`は定常電流のPDE（偏微分方程式）項を生成する関数です。直流（DC）をシミュレーションする場合、その副産物として磁場が生じます。しかし、この磁場は静的なものである為、誘導電流は発生しない。その結果、定常電流が判明すれば磁場も完全に決定される事になり、静磁場の解析に於いて用いられる式 ▽×H=Jを解く事で、後続のステップとして磁場を計算する事が可能になる。磁気ベクトルポテンシャルは次のように与えられる。▽×(μ-1▽⋅A)=JMagnetic field磁場　永久磁石または直流（DC）によって生成される磁場について記述する。この場合、磁気スカラーポテンシャルVmまたは磁気ベクトルポテンシャルAを求め、続いて磁束密度Bを算出する。ポテンシャルA定式化は電流を扱えるが、ポテンシャルVmに基づくスカラー定式化では扱えない。　スカラー磁気ポテンシャルの式は、次のように与えられる。▽⋅(-μ▽⋅Vm)=0　スカラー磁気静力学シミュレーションの概念については、モノグラフ『Magnetostatics for Permanent Magnets』で論じられており、`MagnetostaticPDEComponent`は定常磁気に関するPDE（偏微分方程式）の項を生成する関数です。Frequency versus Time Domain周波数領域と時間領域　解析には、周波数領域解析と時間領域解析の2種類がある。時間領域解析は最も一般的な解析手法ですが、計算コストが最も高い為、可能な限り避けられる傾向にある。時間領域解析は、一般的に、デバイスへの励起が時間と共に任意に変化する場合に用いられる。その代替となるのが周波数領域解析です。　周波数領域シミュレーションを利用するには、幾つかの条件を満たす必要がある。まず、デバイスへの励起がharmonic調和的である事です。調和的な挙動は、一定周波数の交流（AC）入力によって生じる。また、デバイスの応答が正弦波状に変化し、且つ同じ周波数を維持する事も必要です。この最後の条件は、線形材料を用いたシステム、即ち材料特性が電磁界強度に対して一定に保たれるシステムに於いてのみ満たされる。それ以外の場合は、時間領域解析が必要となる。　時間領域に於いて、電磁界は時間的に任意に変化し得ます。非線形材料を扱う場合や、孤立パルスのような非調和的な時間依存入力の解析が必要な場合には、時間領域シミュレーションが検討される[Humphries, 2010]。　一般的に、時間領域でのシミュレーションは、周波数領域や定常状態のシミュレーションに比べて、計算時間やコンピュータメモリなどの計算リソースをより多く必要とする。Skin Depth表皮深さ　電磁場が時間的に変化する場合、使用すべき適切な方程式を判断する為に、特定の材料で構成されたデバイスの表皮深さが計算される。表皮深さの値を確認する事で、電場のみを考慮すればよいのか、それとも磁場も考慮する必要があるのかを判断できる。表皮深さは「表皮効果」と呼ばれる現象と直接関連しており、これについても説明する。　特性寸法L [m]に対する表皮深さδs[m]を比較する事で、磁場を考慮する必要があるかどうかが分かる。δs≫L→磁場は関係ない。δs≪L→磁場は重要な要素です。表皮深さは、電磁波が媒質中に浸透できる深さの尺度です。導体内部に於いて電磁界の強さが深さと共に指数関数的に減少する現象は、skin effect表皮効果として知られている。この効果は、磁界及びそれに伴う交流電流が導体の表面付近に集中し、その結果として磁界の浸透深さが制限されると云う性質を表している。つまり、表皮深さδsがLよりも十分に大きい場合、モデル内に磁界が存在していても、導体を流れる電流には影響を及ぼさないと云う事になる。　表皮深さδsは一般にどのような物質媒体に対しても適用可能ですが、この概念が最も一般的に用いられるのは導体に於いてです。導体の場合、表皮深さδsは次の式で近似される。ここで、ωは波の角周波数、μ0は真空の透磁率、μrは比透磁率、σは材料の導電率である。表皮効果を次の図に示す。図1.円形導体の断面に於ける電流分布。交流の場合、電流密度は表面から中心に向かって指数関数的に減少する。表皮深さδは、電流密度が導体表面の値の丁度1/eとなる深さとして定義される。　これらの場の強さの指数関数的な減少は、次のような比例関係で表す事ができる。ここで、δsは表皮深さ、χは浸透深さです。つまり、表皮深さとは、電磁界の強さが1/e≅ 0.368倍に減衰する距離を指す。　例として、銅線による閉回路（ループ）を仮定する。この銅線の半径は0.01 [m]、ループの半径は0.1 [m]です。この閉回路は、一様ではあるものの周波数が変化する磁場にさらされている。銅の比透磁率はμr=1、導電率はσ = 5.998 × 10⁷ [S/m]です。この物体の特性寸法Lは銅線の半径L = R = 0.01 [m]となり、表皮深さδsは角周波数ωに依存する。さまざまな周波数を設定する。以下、Mathematica例題4件Set up various frequenciesIn[]:frequencies={1,10,100,1000,10000};Compute the skin depth at 1[Hz],10[Hz],100[Hz],1[kHz]and 10[kHz]In[]:copperSkinDepth=PDEModels`SkinDepth[<|"RelativePermeability"->1,"ElectricalConductivity"->5.998*10^7|>,#]&/@frequenciesOut[]:{0.06498556526641185`,0.020550240127538835`,0.006498556526641184`,0.0020550240127538834`,0.0006498556526641184`}Compute the object size to skin depth ratio L/δsIn[]:copperSkinDepthRatio=0.01/copperSkinDepthOut[]:{0.15388032648488104`,0.48661231878255595`,1.5388032648488108`,4.8661231878255595`,15.388032648488107`}Find the frequencies for which magnetic fields need to beIn[]:consideredPick[frequencies,Thread[copperSkinDepthRatio>=1/E]]Out[]:{10,100,1000,10000}　一般に、表皮深さと物体のサイズの比L/δsが1/ϵ以上か等しい、L/δs≧1/ϵである場合には、電場と磁場の双方を考慮する事が推奨される。　1[Hz]のような低周波数の場合、表皮深さδsは対象物のサイズLに比べて比較的大きくなる。この場合、Electroquasistatic電気準静的で十分です。Frequency versus Time Domain周波数領域と時間領域　解析には、周波数領域解析と時間領域解析の2種類がある。時間領域解析は最も一般的な解析手法ですが、計算コストが最も高い為、可能な限り避けられる傾向にある。時間領域解析は、一般的に、デバイスへの励起が時間と共に任意に変化する場合に用いられる。その代替となるのが周波数領域解析です。　周波数領域シミュレーションを利用するには、幾つかの条件を満たす必要がある。まず、デバイスへの励起がharmonic調和的である事です。調和的な挙動は、一定周波数の交流（AC）入力によって生じる。また、デバイスの応答が正弦波状に変化し、且つ同じ周波数を維持する事も必要です。この最後の条件は、線形材料を用いたシステム、即ち材料特性が電磁界強度に対して一定に保たれるシステムに於いてのみ満たされる。それ以外の場合は、時間領域解析が必要となる。　時間領域に於いて、電磁界は時間的に任意に変化し得ます。非線形材料を扱う場合や、孤立パルスのような非調和的な時間依存入力の解析が必要な場合には、時間領域シミュレーションが検討される[Humphries, 2010]。　一般的に、時間領域でのシミュレーションは、周波数領域や定常状態のシミュレーションに比べて、計算時間やコンピュータメモリなどの計算リソースをより多く必要とする。Phasorsフェーザ　特定の周波数を持つ正弦関数として表現できる場は、time harmonic時間調和であると云われる。ある空間位置Xに於ける大きさの変動が、角周波数ωを持つ正弦波状の時間依存性を示す場合、その電磁界は時間調和であるとされる。　harmonic electric field調和電場E(t, X)の一般的な表現は、次のように書かれる。E(t,X)|=|E(X)|Cos[ωt+φ]ここで、|E(X)|は与えられた位置に於ける振幅を表し、φはt=0に於ける初期位相のずれである。　解析上の便宜を図る為、time-harmonic relation時間調和関係式(9)は、complex exponential representation複素指数表現（CER）またはphasor equationフェーザ方程式として知られる複素数形式で表される事がよくある。E(t,X)=Re(|E(X)|ei(ωt+φ))=Re(|E(X)|eiωt)　ここで、iは虚数単位であり、因数ei(ωt+φ)は|E(X)|Cos[ωt+φ] + i|E(X)|Sin[ωt+φ]に等しい。.　慣例として、phasorフェーザはしばしば単に次のように表される。E(t,X)=E(X)eiωtここで、複素数値式の実部は実関数E(t,X)を表すと暗黙のうちに解釈される。　phasorフェーザは、複素平面上で回転するベクトルE(t,X)として理解できる。以下の図はこの挙動を示している。回転ベクトルE(X)は、複素振幅関数として知られている。振幅関数E(X)は、角周波数ωの速さで反時計回りに回転する。任意の時刻tに於いて、実軸上へのE(X)の射影は過渡電場E(t, X)を表し、ベクトルの長さ|E(X)|は局所的な振幅に対応する。振幅関数とその複素共役がおよびと表される場合、振幅関数とその複素共役が及びと表される場合、局所振幅|E(X)|は次のように計算できる。phasorフェーザの使用は線形システムにのみ適用可能である為、材料特性が対象とする場（フィールド）に依存する事はない。非線形材料の場合、システムは時間領域で解く必要がある。続編：Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅶ
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅴ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.ⅤMathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅳからの続き。2.b.6.James Clerk Maxwellジェームズ・クラーク・マクスウェル(13 June 1831 – 5 November 1879)ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、Edinburghエディンバラのインディア・ストリート14番地で生まれた。その家は、1820年代に両親によって建てられたものだった。その後間もなく、彼の家族はダンフリーズから約20km離れたカークカッドブライトシャーのGlenlairグレンレアにある自宅に引っ越した。そこでマクスウェルは田舎育ちを楽しみ、幼い頃から持ち前の好奇心を発揮した。マクスウェルが8歳の時、母親が亡くなった。両親は13歳まで自宅で教育し、その後Edinburgh Universityエディンバラ大学に進学させる予定だったが、その計画は頓挫した。取り敢えず、マクスウェルはEdinburgh Academyエディンバラ・アカデミーに通う事にした。マクスウェルは家族と共に、1841年11月18日に父の妹Isabellaイザベラ・ウェダーバーンの家であるヘリオット・ロウ31番地に到着した。16歳になった1847年11月、マクスウェルはEdinburgh Universityエディンバラ大学（1847–1850年）に入学した。ケランドが教える数学の第2クラス、フォーブスが教える自然哲学（物理学）クラス、そしてWilliamHamiltonウィリアム・ハミルトンが教える論理学クラスに在籍した。マクスウェルは1850年10月にCambridgeUniversityケンブリッジ大学Peterhouseピーターハウス校に入学したが、fellowshipフェローシップを得やすいと考え、Trinityトリニティ校に移った。ケンブリッジ大学ではWilliam Hopkinsウィリアム・ホプキンズに師事した。マクスウェルはフェローシップを獲得し、1854年にトリニティ・カレッジで数学の学位を取得して卒業した。マクスウェルはケンブリッジに留まり、生徒を指導した後、研究を続けるためにTrinityトリニティ・カレッジからFellowshipフェローシップを授与された。Maxwellマクスウェルの最も重要な業績の一つは、Michael faradayマイケル・ファラデーのtheories of electricity and magnetic lines of force電気と磁力線の理論を拡張し、数学的に定式化した事である。彼の論文『On Faraday's lines of forceファラデーの磁力線について』は、1855年と1856年の2部に分けてCambridgeケンブリッジ哲学会で発表された。マクスウェルは、比較的単純な数式で電場と磁場の挙動とその相互関係を表現できる事を示した。これがMaxwellマクスウェルが開発したこの分野に於ける驚くべき四つの数学理論（Maxwell'sequations）です。現在Maxwell's equationsマクスウェル方程式として知られる4つのpartial differential equations偏微分方程式は、1873年に出版された『Electricity and Magnetism電気と磁気』の中で初めて完全な形で発表された。この研究の大部分は、マクスウェルがLondonロンドンでの職を終えてからCavendishキャベンディッシュ大学の教授職に就任する迄の期間、Glenlairグレンレアで行われたものである。これらは19世紀数学に於ける燦然と輝く偉大な業績である。1856年初頭、マックスウェルの父が病に倒れ、マックスウェルは父とより多くの時間を過ごしたいと考えた。そこで彼はScotlandスコットランドでの職を得ようと、フォーブスから空席だと告げられたアバディーンのマリシャル・カレッジの自然哲学教授のポストに応募した。マックスウェルは1856年のイースター休暇に父の傍にいる為にEdinburghエディンバラへ行き、二人でGlenlairグレンレアへ行った。4月3日に父が亡くなり、その後まもなくマックスウェルは予定通りCambridgeケンブリッジに戻った。4月末になる前に、マックスウェルはMarischal Collegeマリシャル・カレッジの教授に任命された事を知った。1856年11月、マクスウェルはAberdeenアバディーンでの職に就いた。マックスウェルは1858年2月にKatherineキャサリン・メアリー・デュワーと婚約し、1859年6月に結婚した。Marischal Collegeマリシャル・カレッジの学長の娘Katherineキャサリンと結婚したにも拘わらず、1860年にMarischal Collegeマリシャル・カレッジとKing's Collegeキングス・カレッジが合併した際、学科の最年少であったマックスウェルは別の職を探さなければならなかった。しかし、彼の研究は順調に進んでいた。1860年、マクスウェルはLondonロンドンのKing's Collegeキングス・カレッジの空席となっていた自然哲学の教授職に任命された。マクスウェルがこの職に就いた6年間は、彼が最も重要な実験研究を行った時期であった。この職の職務はAberdeenアバディーンでの職務よりも過酷であった。1862年頃、Londonロンドンでマクスウェルは、electromagnetic field電磁場のspeed of propagation伝播速度がspeed of light光速とほぼ等しいことを計算した。そして、光の現象は電磁現象であると提唱した。光は、電気現象や磁気現象の原因となる媒質の横方向の波動から成り立っているという結論を避ける事は殆ど不可能である。マクスウェルは、Aberdeenアバディーンで始めた気体分子運動論の研究も継続した。1864年に『A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field電磁場の力学的理論』の論文を発表した。マクスウェル33歳の時、1865年の春にLondonロンドン大学King's Collegeキングス・カレッジを離れ、郷里のスコットランドのGlenlairグレンレアにある自身の大邸宅に戻った。ここで、マクスウェルの記念碑的な著作である『A Treatise on Electricity and Magnetism電気と磁気に関する論考』（ロンドン：コンスタブル社、1873年；ニューヨーク：ドーバー・パブリケーションズ、1954年、全1006ページ）の執筆に取り組んだ。1866年、マクスウェルは気体を統計的に扱うことで、LudwigBoltzmannルートヴィヒ・ボルツマンとは独立に、Maxwell- Boltzmannマクスウェル＝ボルツマン気体分子運動論を定式化した。この理論は、温度と熱は分子運動のみに関係する事を示した。この理論は、熱は高温から低温へと流れるという確実性の概念から、高温の分子は低温の分子に向かって移動する確率が高いと云う統計的な概念への転換を意味した。マクスウェルのアプローチは、それまでの熱力学の研究を否定したのではなく、観測や実験を説明する為のより優れた基礎理論を用いたのである。彼は定期的にCambridgeケンブリッジを訪れ、1871年にCambridgeケンブリッジ大学から初代Cavendishキャベンディッシュ物理学教授の職をやや渋々ながらも引き受けた。マクスウェルはCavendishキャベンディッシュ研究所を設計し、設立にも尽力した。研究所は1874年6月16日に正式に開所した。1874年から1879年にかけてマックスウェルが多くの時間を費やした仕事の一つは、Henry Cavendishヘンリー・キャベンディッシュの論文の編集であった。マクスウェルは、同じく病弱だった妻と共に、夏の間Glenlairグレンレアに戻った。マクスウェルの健康状態は悪化の一途を辿り、激しい痛みに苦しんだが、驚くほど明るい態度を保っていた。1879年10月8日、マクスウェルは妻と共にCambridgeケンブリッジに戻ったが、この頃には殆ど歩く事もできなかった。世界が知る最も偉大な科学者の一人マクスウェルは、1879年11月5日に亡くなった。3.Constitutive Relations構成関係最初に用語表を記述した。構成関係とは、ある物質に固有の物理量間の関係であり、媒質の巨視的な性質を記述するものです。云い換えれば、物質の性質を特定する事によって、場ベクトルEとH及びBとJの間の関係が定まる。最初の構成関係は、次のように与えられる。D=ϵ0E+P　ここで、ϵ0は真空の誘電率[F/m]であり、第2項のP[c/m2]は分極ベクトルである。第2の構成関係式は次の通りである。B=μ0(H+M)　ここで、μ0は真空の透磁率[H/m]、Mは磁化ベクトル[A/m]である。　あるいは、B=μ0H+Mのような磁気分極Pm[T]=[Wb/m2]を定義する事もできる。この場合、磁気分極と磁化ベクトルの関係はPm=μ0Mと表される。　　いずれの場合も、電場や磁場が存在しない場合であっても、物質はそれぞれゼロではないP（分極）やM（磁化）を持ち得ます。永久磁石は、ゼロではない磁化Mを持つ例と云える。最後に、電場Eと電流密度Jの間の構成関係は、オームの法則によって次のように与えられる。J=σEここで、σは媒質の電気伝導率[S/m]である。4.Linear Constitutive Relations線形構成関係　線形材料という特殊且つ重要なケースに於いて、分極ベクトルP及び磁化ベクトルMは、磁場および電場の強度に直接比例する。それらの関係は次のように表す事ができる。P=χeϵ0EM=χmHここで、無次元量χe及びχmは、それぞれ電気感受率および磁気感受率である。このような線形媒質に於いて、構成関係式は、式(1)、(2)、(3)、(4)に代入する事によって得られる。D=ϵ0(1+χe)E=ϵ0ϵrE=ϵEB=μ0(1+χm)H=μ0μrH=μH　ここで、無次元のϵrとϵ[F/m]はそれぞれ比誘電率と絶対誘電率であり、無次元のμrとμ [H/m]は比透磁率と絶対透磁率である。　一般に、ϵやμは空間変数やその他の変数に依存するテンソルです。幾つかの材料については適切な簡略近似が利用可能ですが、それは対象とする材料による。以下に幾つかの特殊なケースを挙げる。　均質材料の場合、ϵ,σとμは一定である。　不均質材料の場合、それらは空間位置Xに依存する。ϵ=ϵ(X),μ=μ(X), σ= σ(X)等方性材料ではϵ、σとμはスカラーですが、異方性材料ではそれらはテンソルとなる。In dispersive materials,ϵ、σ andμdepend on the frequency　f[Hz]of excitation:分散性媒質に於いて、ϵ、σとμは、励起周波数f[Hz]に依存する。ϵ=ϵ(f),μ=μ(f), σ= σ(f)最も一般的な場合、構成関係は非線形です。即ち、透磁率、導電率、及び誘電率は、それらに関連する場に依存する。ϵ=ϵ(E,D),μ=μ(H,B),σ= σ(E,J)4.Linear Constitutive Relations線形構成関係　線形材料という特殊且つ重要なケースに於いて、分極ベクトルP及び磁化ベクトルMは、磁場および電場の強度に直接比例する。それらの関係は次のように表す事ができる。P=χeϵ0EM=χmHここで、無次元量χe及びχmは、それぞれ電気感受率および磁気感受率である。このような線形媒質に於いて、構成関係式は、式(1)、(2)、(3)、(4)に代入する事によって得られる。D=ϵ0(1+χe)E=ϵ0ϵrE=ϵEB=μ0(1+χm)H=μ0μrH=μH　ここで、無次元のϵrとϵ[F/m]はそれぞれ比誘電率と絶対誘電率であり、無次元のμrとμ [H/m]は比透磁率と絶対透磁率である。　一般に、ϵやμは空間変数やその他の変数に依存するテンソルです。幾つかの材料については適切な簡略近似が利用可能ですが、それは対象とする材料による。以下に幾つかの特殊なケースを挙げる。　均質材料の場合、ϵ,σとμは一定である。　不均質材料の場合、それらは空間位置Xに依存する。ϵ=ϵ(X),μ=μ(X), σ= σ(X)等方性材料ではϵ、σとμはスカラーですが、異方性材料ではそれらはテンソルとなる。In dispersive materials,ϵ、σ andμdepend on the frequency　f[Hz]of excitation:分散性媒質に於いて、ϵ、σとμは、励起周波数f[Hz]に依存する。ϵ=ϵ(f),μ=μ(f), σ= σ(f)最も一般的な場合、構成関係は非線形です。即ち、透磁率、導電率、及び誘電率は、それらに関連する場に依存する。ϵ=ϵ(E,D),μ=μ(H,B),σ= σ(E,J)5.Constitutive Relations Summary構成関係の概要以下の表は、電磁場を記述する為に用いられる主要な量と構成関係を纏めた。これは、電磁気学におけるベクトル場量及び構成関係を規定する表。6.Types of Electromagnetics Modeling電磁気モデリングの種類　マクスウェル方程式を完全に解く事は、CPUやメモリの性能からで計算負荷が高くなり過ぎてできない。その為、方程式を簡略化して計算を効率化できるよう、妥当な仮定を置く事が一般的です。本ノートブックの目的は、こうした簡略化された方程式（解ける式）を提示し、それぞれのタイプをいつ使用すべきかについて指針を示す事です。これらの簡略化された方程式（解ける式）は、多くの場合、ベクトル場やポテンシャル、あるいはその両方を利用する。具体的には、MathematicaVer.14.3で利用可能になったMathematicaに実装されている関数を使う。量子力学同様、教科書にシュレーディンガー方程式が記載されているが、数値解を数式から出すのは難しい。ここではMathematicaに実装されている新しい（Mathematicaで云う所の実験的）ElectricCurrentPDEComponent関数、MagnetostaticPDEComponent関数等を使用して応用例を可視化した。続編：Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅵ
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅳ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.ⅣMathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅲからの続き1.b.5.Michael Faradayマイケル・ファラデー(22 September 1791 – 25 August 1867)Faradayファラデーの父、ジェームズ・ファラデーはEnglandイングランド北部のYorkshireヨークシャー出身の鍛冶屋で、母のマーガレット・ハストウェルもイングランド北部出身の農家の娘だった。1791年の初め、ジェームズとマーガレットは当時Londonロンドン郊外の村だったニューイントン・バッツに移住した。父親ジェームズはそこで仕事がもっと豊富にある事を期待していた。Newington Buttsニューイントン・バッツに移住する前から、彼らにはロバートという男の子（長男）と女の子（姉）という2人の子供がおり、Michael Faradayマイケルは移住後僅か数か月に生まれた。父親は仕事を見つけるのは容易ではなく、一家は再び引っ越しを繰り返し、ロンドン市内または近郊に留まった。1795年、Michaelマイケルが5歳頃になると、一家はロンドンのジェイコブズ・ウェルズ・ミューズに住んでいた。馬車小屋の上の部屋に住んでおり、この頃には2人目の娘（妹）が生まれていた。特にマイケルの父親は健康状態が悪く、家族を養う余裕がなかった為、生活は苦しかった。一家は強い信仰心によって結ばれており、スコットランド教会から分離したプロテスタント教会の一派であるSandemaniansサンデマニアン派に属していた。サンデマニアン派は聖書の文字通りの真実を信じ、初期キリスト教会を特徴づけていた愛と共同体の感覚を再現しようと努めた。MichaelFaradayファラデーにとって宗教的な影響は重要であり、MichaelFaradayファラデーが後に展開した理論は、Sandemaniansサンデマニアン派の思想を色濃く反映している。実体よりも心（フォース）を重視した。ファラデーは昼間学校に通い、読み書きと計算を学んだ。ファラデーが13歳の時、家計を助ける為に仕事を探さなければならなくなり、書店を営んでいたGeorge Riebauジョージ・リーバウの使い走りとして雇われた。1805年、使い走りとして1年を過ごした後、ファラデーはリーバウに製本職人の見習いとして雇われた。彼はリーバウの元で7年間見習いとして働いた。彼は本を製本するだけでなく、本を読む事もした。注：本は革の背表紙が付いた大型本で貴族の城、大学図書館に鎮座するような物で、1枚1枚丁寧に製本しなければならなかったので、本の文章、図版を見る時間はあった。1810年からFaradayファラデーはJohn Tatumジョン・テイタムの家で講義に出席するようになった。彼は様々な分野の講義に出席したが、特に電気、galvanismガルヴァニズム、力学に関する講義に強い関心を示した。テイタムの家で、彼は医学生のJ・ハクスタブルと事務員のベンジャミン・アボットという2人の特別な友人と出会った。Riebauリーバウの顧客の一人が、Royal Institution王立研究所で行われるHumphry Davyハンフリー・デービー卿の講演会のチケットをファラデーに贈った。1812年、FaradayファラデーはRoyal Institution王立研究所でHumphry Davyハンフリー・デービー卿の講義に出席し、その講義内容をノートに記述した。実際、これらのノートは結果的に、ファラデーの科学者としてのキャリアへの登龍門となったのである。1812年10月に見習い期間が終了すると、ファラデーは製本業の仕事に就いたが、それでも科学の道に進もうと試みたが、正式な教育を受けていない若者としては、それは不可能な事だった。彼は、化学の講義に出席して以来憧れていたHumphry Davyハンフリー・デービーに手紙を書き、デービーの講義で取ったノートのコピーを送った。デービーはファラデーのノートを読んで、ファラデーに返事を書き、面会をアレンジした。彼はファラデーに製本業を続けるように助言した。しかし、面接後間もなく、デイヴィーの助手は喧嘩騒ぎを起こして解雇され、デイヴィーはファラデーを呼び寄せ、空席となった助手のポストに就くよう依頼した。その結果、1813年、ファラデーはRoyal Institution王立研究所の助手に採用された。Davyデービーは敵国Napoléonナポレオンから科学技術の賞を貰い、1813年10月イタリア旅行の恩賞を受けた。そこで、ファラデーを同行させた。ParisパリでAmp`ereアンペール等科学者と面談した。またミラノMilanでボルタVoltaと面談した。このように当代の一流の科学者との面談は、ファラデーの見識を大いに深めた。ロンドンに戻ったファラデーは、王立研究所に助手として再雇用された。そこで彼は主に実験室での化学実験に従事した。また、Philosophical Society哲学協会で化学に関する講義も始めた。1816年には、Tuscanyトスカーナ産の苛性石灰に関する最初の論文を発表した。1821年、ファラデーはSandemaniaサンデマニアン教会で出会ったSarahサラ・バーナードと結婚した。二人の結婚生活は非常に幸福なもので、ファラデーがその後40年間、並外れた精神的努力を続ける上で、Sarahサラは大きな支えとなった。ファラデーは王立研究所の住居兼研究所の所長に任命され、結婚を可能にする為に追加の部屋を与えられた。1821年はファラデーの研究に於いてまたしても重要な年となった。彼はこれまでほぼ化学の分野に専念してきたが、製本業をしていた頃から電気に強い関心を持っていた。1820年、パリではAragoアラゴやAmp`ereアンペールを始めとする数名の科学者が、電気と磁気の関係を確立する上で大きな進歩を遂げた。Davyデービーもこの研究に興味を持ち、ファラデーはこのテーマに取り組む機会を得た。ファラデーは1821年10月に『Quarterly Journal of Scienceクォータリー・ジャーナル・オブ・サイエンス』誌に『some new electro-magnetical motions幾つかの新しい電磁運動と磁気理論について』という論文を発表した。ファラデーは数学を学んだ事はなく、電気及び磁気に関する彼の貢献は純粋に実験家としてのものだった。しかし、ファラデーの研究が電気と磁気の深遠な数学理論に繋がった。特に、Maxwellマクスウェルが開発したこの分野に於ける驚くべき四つの数学理論（Maxwell'sequations）は、ファラデーが様々な法則を発見した事なしには不可能でした。これはMaxwellマクスウェル自身も幾度となく強調した点です。1821年から1831年までの10年間、ファラデーは再び化学の研究に取り組んだ。この期間における彼の最も重要な化学研究は、1823年の塩素の液化と1825年のベンゼンの単離であった。兄がロンドンの新しいガス灯事業に関わっていた事がきっかけとなり、ファラデーは暖房や照明に使われる様々な油の一般的な性質を研究するようになった。1824年、ファラデーはRoyal Society王立協会から光学ガラスに関する実験を依頼された。彼の研究は再び決定的な結論には至らなかったが、後のガラス製造技術の改良への道を開いた。これらの実験の中で、彼はホウケイ酸鉛を含む非常に高い屈折率を持つガラスを作り出しました。1845年、彼はこのガラスを用いて、強磁場中に於ける光線の偏光面の回転を発見した（後述した）。ここで、Davyの助手時代に、諸々のガラス作りをやらせられた経験が役立った。注：ファラデーの重い平行六面体ガラス。写真説明にはこれしかないが、重いと云う事で多分ホウケイ酸鉛ガラスと思われる（後述した：八角形ガラス・プリズム）。ホウケイ酸鉛ガラスは、ホウケイ酸ガラスと鉛ガラスの特性を併せ持つ特殊なガラスです。箱入なので、Mathematicaでイメージ図を描画した。In[]:\[ScriptCapitalR]=Parallelepiped[{0,0,0},{{1,0,0},{0,2,0},{0,0,2.5}}];Graphics3D[{EdgeForm[{Thin,Blue}],FaceForm[{Pink,Opacity[0.7]}],\[ScriptCapitalR]},Boxed->False]Out[]:この間の1824年、ファラデーはRoyal Society王立協会のfellowフェローに選出された。1825年には金曜夜の講演会を創設する事でRoyal Institution王立研究所の財政安定に貢献した。1862年に引退する迄に、ファラデーは100回以上の講演を行った。ファラデーは1826年にRoyal Institution王立研究所で一般大衆向けのChristmas lecturesクリスマス講演シリーズ6回を始めた。当時写真技術が未熟で残念ながら、写真は１枚も無い。1831年、ファラデーは電気の研究に戻り、彼の最も重要な発見である電磁誘導を発見した。この発見は、10年前に彼が行った発見とは正反対だった。彼は磁石が導線に電流を誘導できる事を示した。こうして彼は機械エネルギーを電気エネルギーに変換し、最初のダイナモを発見する事ができた。ここでも彼は力線を思考の中心に据えた。彼は1831年に、後に一連の電気に関する実験的研究となる最初の論文を発表した。彼はその年の11月24日にRoyal Society王立協会でその論文を朗読した。数学を全く知らないファラデーはSandemaniansサンデマニアン派の思想、実体よりも心（フォース）を重視して、electro-magnetic induction電磁誘導、即ち電磁気Electromagnetismを具象化したと云える。これは今日の科学文明のルーツの電気（発電、変圧、送電等）に繋がった。それら全てファラデーの業績によると云っても過言ではない。それを利用して通信、交通、計算機、分子生物学等が進展した。1832年、ファラデーは科学への多大な貢献により数々の栄誉を受け始めた。同年、University of Oxfordオックスフォード大学から名誉学位を授与された。1833年2月には、Royal Institution王立研究所のFullerianフラーリアン化学教授に就任。その後も、Royal Society王立協会からロイヤル・メダルやコプリ・メダルといった栄誉を授与された。1833年、ファラデーは電気と化学変化の定量的関係を定義する画期的な電気分解の法則を定式化した。Trinity College, Cambridgeケンブリッジ大学トリニティ・カレッジの哲学・言語学者William Whewellウィリアム・ヒューウェルと共に研究を進めたファラデーは、ionイオン、electrode電極、anode陽極、cathode陰極、electrolyte電解質といった基礎的な科学用語も生み出した。これらは電気化学反応を正確に記述する為に、ギリシャ語に基づいた正確な用語を作成し、紛らわしい従来の記述に代わるものとした。ここにもファラデーの信奉するSandemaniansサンデマニアン派の思想が反映されている。電気分解の第一法則：化学変化の量（析出又は溶解する物質の質量）は、溶液を通過する総電荷量に正比例する。電気分解の第二法則：同じ量の電気によって析出する様々な元素の量は、それぞれの化学当量に比例する。1836年には、国王ウィリアム4世William IVの任命によりUniversity of Londonロンドン大学の評議員に就任した。極めて過酷な仕事量は最終的にファラデーの健康を蝕み、1839年に神経衰弱を患った。その後、ファラデーは健康を取り戻し、1845年には再び精力的な研究活動を開始した。この時期に彼が取り組んだ研究は、この分野に於ける数学的発展の結果であった。1845年8月6日、William Thomsonウィリアム・トムソン（Lord Kelvinケルビン卿）はファラデーに長文の手紙を送り、力線の概念を数学的に扱う事に成功した事を述べた。手紙の最後にトムソンは、ファラデーの理論に関する自身の推論の結果を検証する為の幾つかの実験を列挙しており、これがファラデーを再び活発な科学研究へと駆り立てた。トムソンの提案の一つは、ファラデーが誘電体を介した電気作用が平面偏光に及ぼす影響を検証する事であった。トムソンは次のように書いている。偏光が通常の強い拘束状態にあるガラスを通過すると、透明な結晶と同様の、非常に明確な挙動を示す事が知られている。ガラスが割れる寸前の強い拘束を電気によって加えた場合、同様の挙動が観察される可能性が高いと考えられる。トムソンが予測した効果は、ファラデーが1820年代から検出しようと試みてきたものの、成功していなかったものであった。トムソンがその効果の存在を確信していた事は、ファラデーの確信を更に強固なものにし、彼は再び研究室に戻ってその効果を探求した。1820年代と同様、彼の探求は実を結ばなかったが、今回は探求を諦めるのではなく、自然に対する問いを変えた。1830年代の彼自身の研究は、電気力と磁力の相互変換可能性を示していた。偏光に対する電気力の効果を検出できなかったのは、電気力が検出できないほど小さな効果しか生み出さなかったためかもしれない。電磁石の力は遥かに強力であり、従って、期待される効果を顕在化させる為に、電磁石の力に置き換える事ができるかもしれないと考えた。1845年9月13日、ファラデーの努力は遂に実を結んだ。平面偏光光線を強い磁場中の高屈折率の菱形ガラスに通すと、その偏光面が回転した。回転角は磁力の強さに正比例し、ファラデーにとってこれは磁気が光に直接作用する事を示している。「物質の力の中で磁性を持つものは影響を受け、そして今度は光の力の中で真に磁性を持つものに影響を与えた」とファラデーは記した。磁力がガラスを介して作用したという事実は、ファラデーに磁力が鉄、ニッケル、コバルトに限定されるものではなく、全ての物質に存在するに違いない事を示唆した。如何なる物体も磁石に対して無関心であってはならず、これは実験によって確認された。全ての物体が磁力に対して同じように反応するわけではない。鉄のように磁力線に沿って整列し、磁場のより強い部分に引き寄せられるものもある。ビスマスなどの他の元素は、磁力線を横切るように位置し、磁力の弱い領域へと移動した。ファラデーは前者のグループを「paramagnetic常磁性体」、後者を「diamagnetic反磁性体」と名付けた。注：ファラデーの八角形ガラス・プリズム。写真説明はこれしかないが重要な部品です。箱入なので、Mathematicaでイメージ図を描画した。In[]:h=8; (*Height of the prism*)pts=CirclePoints[8]; (*8 points of a regular octagon in 2D*)bot=Map[Append[#,0]&,pts]; (*Bottom base at z=0*)top=Map[Append[#,h]&,pts]; (*Top base at z=h*)faces=Join[{bot},{top},(*Bottom and top caps*)Table[{bot[[i]],bot[[Mod[i,8]+1]],top[[Mod[i,8]+1]],top[[i]]},{i,8}] (*8 side rectangles*)];Graphics3D[{EdgeForm[{Thin,Blue}],FaceForm[{Pink,Opacity[0.7]}],Polygon[faces]},Boxed->False,Lighting->"Neutral"]Out[]:ファラデーは、1845年の反磁性とファラデー効果に関する画期的な実験に於いて、八角形octagonal (eight-sided) のガラスプリズムを用いた。強力な電磁石の磁極間にこの幾何学的形状のプリズムを吊り下げる事で、様々な物質や物理構造が磁力にどのように反応するかを検証した。八角形のプリズムがファラデーの歴史的な発見にどのように関わっているかを以下に示す。1. Diamagnetism反磁性の検証：ファラデーは、磁力が非磁性物質に及ぼす影響を観察する為に、重い光学用ガラス、特に「borosilicated lead glass ホウケイ酸鉛ガラス」（前述した）を製作し、実験を行った。八角形のプリズムを磁極間に吊り下げた所、磁力線に対して垂直（横切る）に整列する事を発見した。この特異な反応から、ファラデーはDiamagnetism反磁性という性質を定義し、全ての物質が何らかの形で磁気反応を示す事を証明した。2. Faraday Effect ファラデー効果（Magneto-Optics 磁気光学）：ファラデーの磁気光学装置にも、同じ重いガラスが使用された。ファラデーは、偏光した光線をガラス試料に通しながら電磁石を作動させる事で、磁場が光の偏光面を回転させる事を観察した。これは、光と電磁気学が根本的に密接に関係している事を物理学に於いて初めて決定的に証明した事例である。注：この原理の簡単な事例はコイン選別機。1円玉（アルミニウム）、5円玉（黄銅）、10円玉（青銅）、50円玉（白銅）100円玉（白銅）、500円玉（ニッケル黄銅、白銅及び銅）。これらは磁力線に対する反応がそれぞれ異なる。それを利用している。1850年代半ば迄に、ファラデーの知的能力は衰え始めた。ほぼ同時期1855、1856年に、Maxwellマクスウェルはファラデーが築いた基礎の上に、誰もが到達し得なかった数学理論（Maxwell'sequations）を発展させていた。そして、ファラデーはRoyal Institution王立研究所での講義を続けたものの、1857年にRoyal Society王立協会の会長職の申し出を辞退した。彼の講義能力も次第に衰え始め、1861年には教壇を去らざるを得なくなった。1862年にはRoyal Institution王立研究所の職を辞し、Queen Victoriaヴィクトリア女王がHampton Courtハンプトン・コート宮殿に用意した離宮に隠居した。1867年8月25日、偉大な自然哲学者マイケルファラデーは亡くなった。続編：Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅴ
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅲ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.ⅢMathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅱからの続き1.b.3.Johann Carl Friedrich Gaussヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス(30 April 1777 – 23 February 1855)1788年、Gaussガウスはビュットナーとバルテルスの指導のもと、Gymnasiumギムナジウムで教育を受け始め、そこで標準ドイツ語とラテン語を学んだ。ブラウンシュヴァイク＝ヴォルフェンビュッテル公爵から奨学金を得たガウスは、1792年にBrunswick Collegium Carolinumブラウンシュヴァイク・コレギウム・カロリヌムに入学した。アカデミーに於いて、ガウスは独自にBode's lawボーデの法則、binomial theorem二項定理、arithmetic- geometric meantheorem算術平均と幾何平均の法則、law ofquadratic reciprocity二次相互法則、prime number theorem素数定理を発見した。1795年、ガウスはBrunswickブラウンシュヴァイクを離れ、Göttingen Universityゲッティンゲン大学で学んだ。学生の中で唯一知られている友人はFarkas Bolyaiファルカス・ボヤイだった。二人は1799年に出会い、その後長年にわたって文通を続けた。ガウスは1798年に卒業証書なしでゲッティンゲンを去った。ガウスはBrunswickブラウンシュヴァイクに戻り、1799年に学位を取得した。ブラウンシュヴァイク公爵がガウスへの奨学金支給を継続する事に同意した後、ガウスにヘルムシュテット大学に博士論文を提出するよう依頼した。ガウスは既にPfaffプファフと面識があり、プファフが指導教官に選ばれた。ガウスの博士論文は、fundamental theorem of algebra代数学の基本定理に関する考察であった。ガウスは公爵からの奨学金で生活していた為、仕事を探す必要がなく、また組織のしがらみなく、研究に専念する事ができた。彼は1801年の夏にガウスの有名な著作『Disquisitiones Arithmeticae整数量子論』を出版した。本書は7つの章からなり、最後の章を除いて、全て数論に関する内容であった。1801年6月、ガウスが2、3年前に知り合った天文学者Zachザックは、イタリアの天文学者G.PiazziG・ピアッツィが1801年1月1日に発見した新しい「小惑星」Ceresケレスの軌道位置を発表した。残念ながら、ピアッツィは太陽の裏に隠れる前に、その軌道の僅か9度しか観測できなかった。ザックはケレスの位置についていくつかの予測を発表したが、その中にはガウスによる予測もあり、他の予測とは大きく異なっていた。1801年12月7日にザックがケレスを再発見したとき、その位置はガウスの予測とほぼ一致していた。ガウスは当時その方法を公表しなかったが、最小二乗近似法を用いていた。1802年6月、ガウスは同年3月にPallasパラスを発見したOlbersオルバースを訪ね、その軌道を調査した。オルバースはゲッティンゲンに新設予定の天文台の所長にガウスを任命するよう要請したが、実現には至らなかった。ガウスはBesselベッセル（実際に会うのは1825年）やSophie Germainソフィー・ジェルマンと文通を始めた。ガウスは1805年10月9日にJohannaヨハンナ・オストフと結婚した。初めて幸せな私生活を送っていたが、残念ながら、彼の後援者であったブラウンシュヴァイク公爵はプロイセン軍の為に戦死した。1807年、ガウスはGöttingen observatoryゲッティンゲン天文台の所長に就任する為にBrunswickブラウンシュヴァイクを離れた。ガウスは1807年末にGöttingenゲッティンゲンに到着した。1808年に父が亡くなり、その1年後、ガウスの妻Johannaヨハンナが2人目の息子を出産後に亡くなり、その息子も間もなく亡くなった。さすがのガウスも度重なる不幸に打ちひしがれ、友人Olbersオルバース（天文学者）に数週間泊めてほしいと手紙を書いた。しかし、ガウスは翌年、死別した妻Johannaヨハンナの親友であるMinnaミンナと再婚した。二人の間には3人の子供が生まれ、この結婚はガウスにとって都合の良いものだったように思われる。ガウスの研究は、彼自身の悲劇によって損なわれる事はなかったようだ。彼は1809年に、天体の運動に関する2巻からなる大著『Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium天体の運動理論：円錐曲線と周囲の太陽の運動』を出版した。第1巻では微分方程式、円錐曲線、楕円軌道について論じ、第2巻（本書の主要部分）では惑星の軌道を推定し、更にその推定精度を高める方法を示した。ガウスの理論天文学への貢献は1817年以降途絶えたが、彼は70歳になるまで観測を続けた。ガウスは多くの時間を新しい天文台の建設に費やし、1816年に完成させたが、それでも他の研究にも時間を割いていた。この時期の彼の著作には、級数の厳密な扱いと超幾何関数の導入である『Disquisitiones generales circa seriem infinitam』、近似積分に関する実践的な論文である『Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi』、統計的推定量に関する議論である『Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen』、そして『Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova tractata』などがある。後者の著作はgeodesy測地学の問題に触発されたもので、主にポテンシャル理論に関するものであった。実際、ガウスは1820年代にはgeodesy測地学に益々興味を持つようになっていた。ガウスは1818年、ハノーバー州の測地測量を行い、既存のデンマークの測量網と接続するよう依頼された。ガウスは喜んでこれを受け入れ、自ら測量責任者となり、日中は計測を行い、夜間は並外れた計算能力を駆使してそのデータを集計した。彼はSchumacherシューマッハー、Olbersオルバース、Besselベッセルに定期的に手紙を送り、測量の進捗状況を報告したり、問題点について議論したりした。注：ガウスの手紙、書簡は今は貴重なアーカイブになっており、その一部は日本の大学図書館にも保管されている。1822年、ガウスは『Theoria attractionis』」でコペンハーゲン大学賞を受賞した。この論文には、2つの表面が最小部分で類似するように、一方の表面をもう一方の表面にマッピングするというアイデアが含まれていた。この論文は1825年に発表され、その後ずっと後に『Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie』（1843年と1846年）の出版に繋がった。論文『Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae』（1823年）とその補遺（1828年）は、数学統計学、特に最小二乗法に捧げられた。1800年代初頭から、ガウスはnon-Euclidean geometry非ユークリッド幾何学の存在可能性という問題に関心を抱いていた。彼はFarkas Bolyaiファルカス・ボヤイとこのテーマについて詳しく議論し、GerlingゲルリングやSchumacherシューマッハーとも書簡を交わした。1816年の書評では、他のユークリッド幾何学の公理から平行線の公理を導き出す証明について論じており、やや曖昧ではあるものの、非ユークリッド幾何学の存在を信じていた事を示唆している。ガウスはdifferential geometry微分幾何学に強い関心を持ち、この分野に関する論文を多数発表した。中でも『Disquisitiones generales circa superficies curva曲面に関する一般考察』（1828年）は、この分野における彼の最も有名な著作である。実際、この論文は彼の測地学への関心から生まれたものだが、ガウス曲率などの幾何学的概念も含まれている。また、この論文にはガウスの有名な定理『theorema egregium驚異の定理』も含まれている。1831年、Wilhelm Weberヴィルヘルム・ウェーバーは物理学教授としてGöttingenゲッティンゲンに着任し、トビアス・マイヤーの後任となった。ガウスは1828年からウェーバーを知っており、彼の任命を支持した。ガウスは1831年以前にも物理学の研究に取り組んでおり、最小拘束の原理を扱った『Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik新しい一般力学の基本法則』と、引力について論じた『Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii流体の平衡状態における形状の一般原理』を出版していた。これらの論文はガウスのポテンシャル理論に基づいており、この理論は彼の物理学研究において非常に重要なものとなった。彼は後に、自身のポテンシャル理論と最小二乗法が科学と自然を結びつける重要な役割を果たすと考えるようになった。ガウスは1845年から1851年にかけて、Göttingen Universityゲッティンゲン大学の基金の改革に尽力した。この仕事を通して金融に関する実践的な経験を積んだ彼は、その後、民間企業が発行する債券への巧みな投資によって巨万の富を築いた。その後、ドイツの数学者Felix Kleinフェリックス・クラインは、かつてGaussガウス活躍した地であるGöttingenゲッティンゲンに於いて、ガウスの功績を称え、後世に伝える為の広範な顕彰・記念事業を主導した。F.KleinクラインがGöttingenゲッティンゲン大学に於いて行った主なガウスの顕彰・記念活動は以下の通りです。1.ガウス全集（Gauss Werke）の編集と出版F.Kleinクラインは、1898年から1921年にかけて『ガウス全集』の編集委員長を務めた。未公開だったガウスの手稿や、手紙、書簡を徹底的に調査・解読し、解説を付して出版に漕ぎ着けた。この巨大なプロジェクトにより、ガウスの全貌が世界中の数学者に明かされる事になった。2.ガウス・ウェーバー記念碑の建立F.Kleinクラインの主導の元、ゲッティンゲン市内にGaussガウスと、その共同研究者である物理学者Wilhelm Weberヴィルヘルム・ウェーバーの銅像（ガウス・ウェーバー記念碑）が建立された。これは2人が1833年に世界初の本格的な「電磁電信機」を発明・実験した功績を顕彰したものです。3.ガウス塔（Gaußturm）の建設支援F.Kleinクラインは1908年に世界中の天文・数学関係の学会から寄付を募り、ゲッティンゲン近郊のホーヘンハーゲン（Hohenhagen）の丘に、ガウスの測地学（地球測定）の業績を記念する「ガウス塔」の建設を計画・推進した。4.Göttingenゲッティンゲンを「数学の聖地」へF.Kleinクラインは、GaussガウスやPeter Gustav Dirichletディリクレ、Bernhard Riemannリーマン、が築いたGöttingenゲッティンゲンの偉大な数学的伝統を復興させる事を目指し、ゲッティンゲンに研究センターを設立し、これは世界の優れた数学研究センターのモデルとなる事となった。F.Kleinクラインは学内で、毎週の討論会や、数学図書館を備えた数学閲覧室を導入した。1895年には、ケーニヒスベルクからDavid Hilbertダーフィト・ヒルベルトをゲッティンゲンの研究チームに招き入れた。このようにクラインは、単に個人Gaussガウスの功績を称えるだけでなく、数学者Gaussガウスの業績を近代数学の研究体制や教育へと直接結びつける形で、素人でも読める・見える「顕彰」を行った。1.b.4.Hans Christian Ørstedハンス・クリスティアン・エルステッド(14 August1777 – 9 March 1851)　エルステッドは1777年8月14日、DenmarkデンマークのLangelandランゲラン島Rudkøbingルズクービングで、薬種商（薬剤師）の長男として生まれた。1794年にCopenhagen Universityコペンハーゲン大学への入学し、大学でエルステッドは、天文学、物理学、数学、化学、そして薬学を学んだ。またドイツ語に精通していた。1797年に薬学の学位を取得し、1799年には博士号を取得した。エルステッドの博士論文は哲学者Immanuel Kantイマヌエル・カントの哲学を考察したものであった。そして1806年迄には、コペンハーゲン大学の教授職に就いた。それ以前の数年間、彼は大学の職に就く事なく、聴衆から料金を徴収して講演会を行っていた。彼の講演の人気が高まるにつれ、大学側もその動向に注目し、正式な教授職のオファーに至った。エルステッドは、同大学で初めて物理科学を教える教員となった。教育活動に加え、エルステッドは主にacoustics音響学とelectricity電気学の研究も行った。エルステッドは1812年、約2年間Copenhagenコペンハーゲンを離れ、再びヨーロッパを旅した。以前の旅（ドイツ他）と同様、この旅でも彼は他の著名な科学者達と意見を交換し、世界観を広げる事ができた。デンマークに戻ったエルステッドはIngerインガー・ビルギッテ・バルムと結婚した。二人は生涯を共にし、8人の子供を育てた。エルステッドは、自然界のあらゆる力は「引力」と「斥力」という二つの根本的な力に由来すると説いた哲学者Immanuel Kantイマヌエル・カントの哲学から影響を受けていた。この考え方が、恐らくエルステッドを「電気と磁気の統一」、即ち「電磁気」という重要な発見へと導いたと思われる。当時の思想家たちは、電気的な力と磁気的な力は全く別個のものだと考えていた。それらの作用を記述する法則には多くの類似点があったものの、その本質は異なると見なされていた。エルステッドは1813年の時点で、電気現象と磁気現象の間には何らかの関連性があるはずだと示唆していたが、実際に実験によってその繋がりを発見したのは1820年になってからでした。学生への講義中、彼は非常に細い白金線に電流を流した際、偶然、近くにあった磁化された方位磁針が揺れ動く事に気付いた。彼自身、その実験が聴衆に強い印象を与えた訳ではないと書き残している。彼自身でさえ、その現象が将に自分が予期していた通りのものなのか、確信が持てずにいたのです。そこで彼は1820年の夏を通じて実験を続け、その結果を短い論文として発表した。論文が発表されると、エルステッドの発見の重要性は直ちに認識され、それがきっかけとなって、Andr´e-Marie Amp`ereアンドレ＝マリ・アンペールによる「description of the way in which an electrical current produces a magnetic field電流がどのようにして磁場を生み出すか」という理論の構築へと導いた。方位磁針:銅管の両端に電池を接続し、磁針の揺れ幅を確認する。将にコロンブスの卵。誰が行っても、何処で行っても同じ結果になる。それが重要。この時期、エルステッドは化学の分野でも重要な発見を成し遂げている。1820年にはコショウの辛味成分の一つであるpiperineピペリンを発見し、1825年には電気を用いて金属アルミニウムを単離した。しかし、その際に多量の電力を必要とした事や、当時良質な電力を得る事が困難であったから、アルミニウムは希少な貴金属として扱われていた。幅広い分野に関心を持つ人物であったエルステッドは、哲学や執筆活動、教育や実験を楽しんだ。詩と散文の両方を創作した。1851年3月9日に亡くなった当時、エルステッドは哲学的な考察を『The Soul in Nature自然の中の魂』という本に纏めている最中だった。生前、彼はデンマークの作家ハンス・クリスチャン・Andersenアンデルセンを始めとする他者の文学活動を奨励し、更にエルステッドは教育では優れた講師であり、一般向けの雑誌に寄稿するなどして科学の普及に務めてた。彼は科学知識の普及の為に設立された団体の創設者でもある。この自然科学普及協会は、1908年以来、物理学、化学、あるいは科学の普及全般におけるデンマークの顕著な貢献に対して、彼の名を冠した賞（エルステッド・メダル）を授与している。1932年には磁場の強さを表すSI単位系として「Ørstedエルステッド」という名称が採用され、1993年にはデンマーク初の通信衛星に、この名Ørstedが付けられた。続編：Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅳ
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅱ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.ⅡMathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅰからの続き2.b.2.Andr´e-Marie Amp`ereアンドレ＝マリ・アンペール(20 January 1775 – 10 June 1836)André-Marie Ampèreアンドレ＝マリー・アンペールの父、ジャン＝ジャック・アンペールは裕福な人物で、Lyonリヨンに邸宅を、そしてリヨンから僅か10kmのPoleymieuxポレミューに別荘を所有していた。André-Marieアンドレ＝マリーが7歳になるまで、一家は夏の間を除いて殆どリヨンで過ごし、夏の間はポレミューで過ごしていた。しかし、1782年、アンドレ＝マリーの父が息子の教育にもっと時間をかけたいと考えた為、ポレミューの邸宅が一家の主な住居となった。リヨンで過ごしたのは冬の短い期間だけで、その間、父は事業の運営に専念していた。アンペールはわずか13歳で、Académie de Lyonリヨン学院に最初の論文を提出した。この論文は、円弧と同じ長さの線分を作図するという問題を解決しようと試みたものだった。彼の方法は無限小を用いるものだったが、アンペールは微積分を学んでいなかった為、論文は出版に値するとは認められなかった。論文を執筆した直後、アンペールはEncyclopédie百科全書に掲載されたd'Alembertダランベールの微分積分に関する記事を読み始め、もっと数学を学ぶ必要があると悟った。Lyonリヨンの修道士から微分積分学のレッスンを幾つか受けた後、アンペールはEulerオイラーとBernouliベルヌーイの著作の研究を始めた。その後、Lagrangeラグランジュの『Mécanique analytique解析力学』の1788年版を入手し、本格的に研究を始めた。しかし、彼の人生は間もなく崩壊する事になる。French Revolutionフランス革命は1789年7月14日のバスティーユ襲撃で始まったが、当初ポレミュー地方への影響はそれほど大きくなかった。アンペールの父は1791年後半にリヨンの治安判事の職に就く迄、トラブルとは無縁だった。この職に就いた事で、彼はトラブルを避ける事はほぼ不可能になったが、一家を襲った最初の悲劇は1792年、André-Marieアンドレ＝マリーの妹が亡くなった時だった。リヨン市はパリからの指示に従うことを拒否し、2ヶ月間包囲された。リヨン陥落後、アンペールの父は、当時処刑されていたJacobin Chevalierジャコバン派騎士の逮捕状を発行した罪で逮捕された。アンペールの父は驚くべき落ち着きでギロチン台に向かい、独房からアンペールの母に手紙を書いた。そして、断頭台の露に消えた。アンペールにとって、父の死は壊滅的な打撃だった。彼は解析力学の研究を諦め、18ヶ月間数学の勉強に戻らなかった。彼が以前の自分を取り戻しかけたのは、Julieジュリーという女性と出会い、彼女に深く恋をした時だった。ジュリーはアンペールにあまり惹かれていないようだった。こうした冷淡さにも拘わらず、二人は1797年に婚約し、アンペールは生計を立てられる事を証明した方が良いと考え、リヨンで数学の家庭教師を始めた。彼は1799年にJulieジュリーと結婚し、1800年に息子ジャン＝ジャックが生まれた。アンペールは1802年にBourg École Centraleブール中央学校の物理学と化学の教授に任命されるまで数学の家庭教師を続けた。Bourgブールへ移る前に妻Julieジュリーが病気になり、Poleymieuxポレミューに残された為、アンペールにとってこの時期は辛いものだった。Bourgブールで1年過ごした後、アンペールはDelambreドランブルの推薦でLyonリヨンのLycéeリセの数学の職に就き、Poleymieuxポレミューに近づいた。リヨンでの生活は、妻Julieの健康状態が悪化し続けていた為、困難なものとなった。数学的には、彼は引き続き優れた業績を残し、今回はanalytic geometry解析幾何学に関する興味深い論文を発表した。他の多くの数学者と同様に、アンペールは周囲の個人的な悲劇にもかかわらず、定理に集中する事ができたようで、悲しい事に、これは彼の不幸な生涯を通して彼に求められる事だった。1803年7月に妻が亡くなった後、アンペールは短い結婚生活の殆どを妻Julieと離れて暮らしていた為、罪悪感に苛まれた。彼はLyonリヨンを離れてParisパリに行く事を決意した。この頃には、アンペールは数学教師としても研究数学者としてもかなりの評判を得ており、その評判を背景に、1804年にÉcole Polytechniqueエコール・ポリテクニークの解析学のrépétiteurレペティトゥール（実質的にはtutorチューター）に任命された。正式な教育や資格を持たない彼の任命は驚きだが、この段階で彼の才能が認められていた事を示している。既に多くの悲劇に見舞われていた彼の人生は好転せず、悲惨な結婚生活に突入した。1806年8月1日にJulieジェニーとの結婚式にはLagrangeラグランジュとDelambreドランブルが出席したが、1807年7月6日に娘が生まれる前に、夫婦は別居し、口もきかない状態だった。1808年に法的に別居し、アンペールは娘Albineアルビーヌの親権を得た。1809年にÉcole Polytechniqueエコール・ポリテクニークの数学教授に任命された彼は、1828年迄その職を務めた。アンペールとCauchyコーシーは解析学と力学の講義を分担していたが、両者の教え方には大きな違いがあった。コーシーの厳密な解析学の講義は数学の大きな進歩をもたらしたが、学生たちは非常に難解だと感じ、アンペールのより伝統的な解析学と力学のアプローチを強く好んだ。アンペールは1826年にUniversité de Franceフランス大学の教授に任命され、亡くなるまでその職を務めた。Parisパリでアンペールは多岐にわたるテーマに取り組んだ。数学教授でありながら、数学だけでなく形而上学、物理学、化学にも関心を持っていた。アンペールは光の理論にも取り組み、1815年には光の屈折に関する論文を発表した。1816年迄にはwave theory of light光の波動説を強く支持するようになり、Fresnelフレネルの説に賛同し、粒子説を唱えるBiotビオやLaplaceラプラスに反対した。フレネルはアンペールの親友となり、1822年から1827年に亡くなるまでアンペールの家に下宿していた。1820年代初頭、アンペールはデンマークの物理学者Hans Christian Ørstedハンス・クリスチャン・エルステッドの実験結果を知り、電気と磁気の統合理論を構築しようと試みた。アンペールは回路力の法則を定式化し、磁化された物質内部に小さな閉回路が存在すると仮定する事で磁気を扱った。アンペールがこの理論をいかに迅速に生み出したかについては特筆に値する。Ørstedエルステッドの実験結果を聞いた途端、彼は閃きを得たのだ。Ørstedエルステッドの研究は1820年9月4日にAragoアラゴによってParisパリのAcademyアカデミーで報告され、その1週間後、アラゴはアカデミーの会合でØrstedエルステッドの実験を再現した。アンペールはその後数週間に渡り、アカデミーで様々な磁気的・電気的効果を実証し、9月末までに直線状の導線間の電気力を発見した。彼は1820年11月6日にアカデミーでlaw of addition of electrodynamical forces電気力の加算の法則について、翌月にはsymmetry principle対称性の原理について講演した。アンペールはアカデミーで発表した研究を驚くべき速さで書き上げ、それは『Annales de Chimie et de Physique化学物理学年報』に掲載された。しかし、Ørstedエルステッドの実験に関するアラゴの報告に迅速に対応したのはアンペールだけではなかった。Biotビオは助手Savartサバールと共に直ぐに実験を行い、1820年10月にアカデミーに報告した。これがBiot-SavartLawビオ＝サバールの法則に繋がった。この時期に磁気の研究に取り組んでいたもう一人の人物はPoissonポアソンで、彼は電気とは一切関係なく磁気を扱うべきだと主張した。ポアソンは既に電気に関する重要な論文を2つ書いており、1826年にはmagnetism磁気に関する論文を2つ出版した。アンペールの電気と磁気に関する最も重要な著作も1826年に出版された。それは『Mathematical Theory of Electrodynamic Phenomena, Uniquely Deduced from Experience経験から独自に導き出された電気力学的現象の数学的理論に関する覚書』と題され、電気力学的力の法則の数学的導出と4つの実験について記述している。アンペールの理論は、19世紀の電気と磁気の発展に於いて基礎的なものとなった。Faradayファラデーは1821年に電磁誘導を発見し、アンペールは当初、1822年に自身がその効果を発見したと信じていたが、後に発見の功績は全てファラデーに帰するべきだと認めた。WeberウェーバーもThomsonトムソンやMaxwellマクスウェルと同様に、Ampère'sアンペールの考えを発展させた。不幸な事に、Ampèreアンペールは1830年にSorbonneソルボンヌ大学の外国文学史の教授に任命された息子ジャン＝ジャックと折り合いが悪かった。それに追い打ちを掛けて、娘Albineアルビーヌの夫（Napoleonナポレンの副官）はアルコール中毒で、娘はAmpèreアンペールの家に逃げ込んだ。結局夫も同居させた。このような状況になり、警察の厄介になってしまった。前述したようにAmpèreアンペールは1806年8月1日にJulieジェニーと結婚し、1807年7月6日に娘Albineアルビーヌが生まれる前に、夫婦は別居し、口もきかない状態だった。1808年に法的に別居し、Ampèreアンペールは娘Albineアルビーヌの親権を得た。続編：Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅲ
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅰ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅰ　はじめに　MathematicaのURLを参考にしてElectromagnetism電磁気を考察した。手始めにMaxwell’s Equationを記述した。それからMaxwell’s Equation完成に達成に至る主要先達の業績概略を記述した。その後、応用例としてMathematicaVer.14.3で利用可能になったMathematicaに実装されている関数を使う。量子力学同様、教科書にシュレーディンガー方程式が記載されているが、数値解を数式から出すのは難しい。ここではMathematicaに実装されている新しい（Mathematicaで云う所の実験的「未だ試行錯誤の段階で文法も不十分、エラーもある。」）ElectricCurrentPDEComponent関数、MagnetostaticPDEComponent関数等を使用して応用例を可視化した。シリーズ物　Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始め1.導入このモノグラフでは、電磁気学の概要が説明されている。工学の観点から見た電磁気学は、電気、磁気、または電磁（EM）現象を伴うデバイスの分析と研究です。これらのデバイスは、電気機械、コンデンサ、導波管、アンテナなど、一見多様な分野から来ている。言及した各デバイスは異なる特性を持つ可能性がありますが、基本的には全てマクスウェルの方程式で説明できる。マクスウェル方程式は空間に於ける電界と磁界の挙動を記述する為の基礎であるので、この方程式はEMデバイスをモデル化する基本的な構成要素を形成する。多くのアプリケーションでは、電磁気の定式化全体を考慮する事は殆ど無い。代わりに、電磁気学の部分場が使用され、そこでは仮定が取られ、静電気学や静磁気学等のマクスウェル方程式の単純化に繋がる。これらの単純化された方程式は通常、ベクトル場、ポテンシャル、またはその両方に基づいている。このノートは電磁気学の理論の概要を提供する為、最後に読者は使用される基礎と定式化を理解できるであろう。定常状態の電場や磁場、時間変化する磁場や電場、あるいは電磁場全体を解きたいかに応じて、特定の支配方程式を選択する必要がある。このノートブックの重要な学習要素は、さまざまなアプリケーションをそれぞれのサブフィールドにディスパッチする方法です。特定のデバイスをモデル化する方法を理解したら、以下にリストされているモノグラフをより専門的に進んで下さい。これらは、電磁解析に特有の理論、方程式、および境界条件を、ここで説明したものよりも詳細に説明している。各モノグラフには、それぞれのトピックに関連する概要の例が記載されている。ここで記述した内容は現代科学技術（通信、計算機、交通、分子生物学等）の一端です。1.a.これに至る背景　電気と磁気に関連する現象は、19世紀を通じて広く研究されてきた。これら二つの研究分野が関連しているという事実は、1820年代初頭のHans Christian Ørstedハンス・クリスティアン・エルステッドによる偶然の発見をきっかけに明らかになり始めた。彼は、電流が流れる導線の近くで方位磁針の針が反応するのを観察し、磁気というものが、突き詰めれば移動する電荷、即ち電流によって生じるものである事を知ったのです。1830年代にMichael Faradayマイケル・ファラデーとJoseph Henryジョセフ・ヘンリーがそれぞれ独自に電磁誘導を発見した事は、James Clerk Maxwellジェームズ・クラーク・マクスウェルの理論へと繋がった。この理論は、電気、磁気、そして光学を、光（あるいは放射エネルギー）に関する一つの壮大な理論―即ち光を電磁波として説明する理論―へと統合するものでした。　マクスウェルは『A Treatise on Electricity and Magnetism電気と磁気に関する論考』（1873年）を出版し、その中で、既知のあらゆる電気的・磁気的現象が4つの基本的な数学的方程式によって記述できる事を示した。その4つの方程式とは、正と負の電荷が電場を生成するとする「Gauss’s law for electricity電気に関するガウスの法則」、磁力線は連続しており単独の磁極（モノポール）は存在しないとする「Gauss’s law for magnetism磁気に関するガウスの法則」、時間的に変化する磁場が時間的に変化する電場を誘起するとする「Faraday’s lawファラデーの電磁誘導の法則」、そして電流と時間的に変化する電場が磁場を生成するとする「Ampère-Maxwell lawアンペール・マクスウェルの法則」です。更に、マクスウェルの方程式は、電場と磁場が変化しながら組み合わさり、光速で伝播する波―すなわち電磁波―の存在を予言した。彼は、加速する電荷こそがこうした電磁波を生成する源であり、電磁波は広範な周波数や波長にわたって存在し、真空中で光速で伝播し、反射・屈折・回折といった可視光のあらゆる光学的性質を示すはずだと推測した。　こうして、電気、磁気、光学は、より一般化された「電磁場」の異なる現れである事が示された。電磁気学と光学を統合したマクスウェルの理論は、19世紀物理学における最大の業績と云える。マクスウェルの理論は、彼の死後10年を経た1887年、Heinrich Rudolf Hertzハインリヒ・ルドルフ・ヘルツによって実験的に実証されました。ヘルツは誘導コイル装置を製作した。これは本質的には昇圧変圧器であり、その高い出力電圧によって、2枚の金属板の間の空隙（ギャップ）を挟んで火花が往復（振動）するようにしたものでした。両端の間に隙間（空隙）ができるように曲げた一本の導線を、別の導線の近くに配置した。するとヘルツは、誘導コイルで発生する火花と同じ周波数で、この導線の両端間にも火花が飛ぶ事に気が付いた。彼は、コイルから曲げられた導線へと、電磁波が空中を伝播したのだと結論付けた。この波は、波長が約1メートルの電波である事が判明した。彼は、この波が光の一般的な性質を全て備えている事を実証した。即ち、反射する事、放物面鏡で集光できる事、そしてガラスを通過する際に屈折する事です。更に彼は波を干渉させて定常波を形成し、その速度が光速に等しい事を計算によって導き出した。その後の実験により、広範囲にわたる波長（及び周波数）の電磁波が存在する事が明らかになり、ラジオ、テレビ、レーダー、等の通信その他社会にとって重要な数多くの技術へと繋がっていった。　マクスウェルの電磁波理論は極めて画期的なものでしたが、19世紀末迄には、光を波として記述するマクスウェルの理論だけでは、光の性質を完全に説明できない事が明らかに成りつつあった。光電効果や黒体放射の性質を理解するには、最終的に光の振る舞いを「粒子」として説明する必要があた。そこでは、光子（フォトン）と呼ばれる光の「粒子」が、対応する波の周波数に比例した量子化されたエネルギーを持つとされた。低い周波数の波に対応する光子は最小のエネルギーを持ち、ガンマ線の光子は最大のエネルギーを持っている。2.Maxwell'sequationsマクスウェル方程式　Wolfram言語では、DSolveなどの関数を使って偏微分方程式（PDE）を操作・解いたり、非アクティブオブジェクトを使って対話的に解析したりできる。しかし、積分形式のマクスウェル方程式は、境界線（LineIntegrate）、開曲面（SurfaceIntegrate）、体積（Integrate）を含む為、積分微分方程式として定義される。以下に、標準的なWolfram言語の構文規則を用いて表現した4つの標準的な積分方程式を示す。しかし、実際はWolfram言語の構文規則に手を加えて式を見易くした。参考文献：Maxwell's equations Derivative Forms and Integral Formsはじめに　マクスウェル方程式は、電場と磁場の振る舞いを記述する4つの方程式からなる体系です。これらは、1861年にこれらを定式化したジェームズ・クラーク・マクスウェルにちなんで名付けられた。その4つの式は以下の通りです。1.Gauss's Law for Electricity2.Gauss's Law for Magnetism3.Faraday's Law of Induction4.Ampère's Law with Maxwell's Addition　これらの式は電磁気学の研究において基本となるものであり、物理学や工学に於いて広範な応用がなされている。話は変わりますが、電磁気学にはLorentz force lawローレンツ力の法則もあります。これはMaxwell'sequationsマクスウェル方程式と密接に関連してはいますが、マクスウェル方程式の一部ではないので、ここでは割愛する。マクスウェル方程式の微分形と積分形I. Maxwell's equations (differential form)マクスウェル方程式（微分形）　マクスウェル方程式は、積分形で表す方が理解し易い。しかし、微分形の方が扱いやすく、特にベクトルポテンシャルについて論じる際には便利です。ここでは微分形から記述した。I. 1.Gauss's Law for Electricity電場に関するガウスの法則　右辺は電荷密度ρを用いて体積積分に変換される。この式は任意の体積に対して成立するので、被積分関数同士が等しくある必要があり、そこからガウスの法則の微分形が導かれます。ベクトル場の発散は各点においてスカラー値を与えますが、これはその点から湧き出す、あるいはその点に収束する場の線の「密度」として解釈する事ができる。I. 2.Gauss's Law for Magnetism磁気に関するガウスの法則　これが任意の体積について成り立たなければならない以上、被積分関数そのものが至る所でゼロでなければならない。最も覚え易い式。I. 3.Faraday's Law of Inductionファラデーの電磁誘導の法則　これは任意の曲面に対して成り立たなければならない。したがって、被積分関数そのものが等しくなければならない。ここでは、磁場は時間と空間の双方に依存して変化し得るため時間の偏微分を用いるが、磁束のような量に対しては全微分が用いられる。磁束は空間的に積分された量であり、時間のみに依存するからです。　ある点における電場Eの回転（渦）は、その点における磁場Bの変化率の負の値に等しい。言い換えれば、変化する磁場は、その磁場の変化に抗する向きの回転電場を誘起する（Lenz's Lawレンツの法則）。I. 4.Ampère’s Law with Maxwell’s Additionマクスウェルによる項が加わったアンペールの法則　これが任意の曲面について成り立つ必要がある為、被積分関数そのものが等しくなければならない。II.マクスウェル方程式（積分形）II. 1.Gauss's Law for Electricity電場に関するガウスの法則　電場に関するガウスの法則は、閉曲面を貫く電束が、その曲面に囲まれた全電荷に比例すると述べるものです。数学的には、次のように表される。Eは電場を表わす。dAは閉曲面上の微小面積であり、外向きで、その点における電場の方向と一致するように、曲面に垂直な方向を向いている。円で囲まれた積分記号は、曲面が閉曲面である事を示す。Qencは曲面によって囲まれた総電荷です。ε0は真空の誘電率であり、媒質の電場に対する応答を特徴づける定数です。　直感的に云えば、電荷は電場の源として作用する。また、電荷保存の法則によれば、閉じた系内の全電荷は増減する事なく一定に保たれる。これは、静止した電荷分布によって生じる電場が安定しており、その電荷を囲む閉曲面を貫く全電束が、内部に閉じ込められた全電荷量を反映している事を意味する。　つまり、ガウスの法則は、ある面を通過する電束とその面内の電荷量とを直接結びつけるものであり、電場の源としての電荷が持つ不変的な性質を強調している。II. 2.Gauss's Law for Magnetism磁気に関するガウスの法則　磁気に関するガウスの法則は、閉曲面を貫く磁束は常にゼロであると述べている。数学的には、次のように表される。Bは磁場を表す。dAは閉曲面上の面積の微小要素であり、電気に関するガウスの法則と同様に、dAは曲面に垂直です。円で囲まれた積分記号は、曲面が閉曲面であることを示す。　この式は、電荷とは異なり、自然界には磁気モノポール（孤立したN極やS極）が存在しない事を示唆する。その代わりに、磁力線は常に閉じたループを形成する。任意の閉曲面において、その面に入ってくる磁力線の数と出ていく磁力線の数は等しくなり、その結果、正味の磁束はゼロとなる。　磁気モノポールの存在は、物理学において依然として未解決の課題です。磁気に関するガウスの法則は、現在の我々の理解と、磁気モノポールがこれまで発見されていないという観測事実に基づいている。ですから、少なくともこの記事においては、我々はそれに反対している訳ではありません。II. 3.Faraday's Law of Inductionファラデーの電磁誘導の法則　ファラデーの電磁誘導の法則は、磁場の変化が閉回路に起電力（emf）を誘導する仕組みを記述するものです。数学的には、次のように表される。Eは誘導電場を表す。dlは、ループの経路の微小要素である。円の付いた積分記号は、経路が閉じたループである事を示す。ΦBはループを貫く磁束であり、その時間微分（dΦB/dt）は磁束の変化率を表わす。負の符号は、Lenz’s Lawレンツの法則によって示される誘導起電力の向きを表わす。レンツの法則とは、誘導起電力が、その起電力を生じさせた磁束の変化を妨げる向きに生じるという法則です。　この法則は電磁気学の基本原理であり、今日の電力工学の発電機、変圧器、送電網等で、多くの技術の基盤となっています。　ファラデーの電磁誘導の法則（及び次の式）がなければ、我々が知る現代文明（通信、交通、計算機、分子生物学等）は、存在いないと云っても過言ではない。II. 4.Ampère's Law with Maxwell's Additionマクスウェルによる項が加わったアンペールの法則　マクスウェルによる項が加わったアンペールの法則は、閉じたループの周りの磁場の循環を、そのループを通過する電流および電場の変化率と関連付けるものです。数学的には、次のように表される。Bは磁場を表わす。dlはループの経路上の微小要素です。円の付いた積分記号は、その経路が閉じたループである事を示す。μ0は真空の透磁率です。Iencはループに囲まれた電流です。ε0は真空の誘電率です。dΦE/dtは、ループを貫く電束の時間変化率です。　この法則は、閉回路の周囲に生じる磁場が、その回路を流れる電流及び時間的に変化する電場によって生成される事を示す。マクスウェルによる追加項（dΦE/dtを含む項）は、変化する電場が磁場を誘起し得る（その逆もまた然りである）という事実を説明するものであり、これにより電磁相互作用のより完全な記述が可能となり、電磁波の存在が予言される事になった。　電磁波は空気中だけでなく、真空（導体のない空間）やその他の媒質中も伝播する事ができる。光、電波、X線などを含むこれらの波は、何もない空間を移動できる為、遠隔通信に役立つ。昔は、太陽からの電磁波しか知らなかったが、今は天文学の進展で、中性子星、ブラックホール、重力波等の解析に電磁波が役立つだろう。Coffee Break2.a.先達の業績概略2.a.1.Charles-Augustin de Coulombシャルル・オーギュスタン・ド・クーロン(14 June 1736 – 23 August 1806)　クーロンはParisパリでCollège Mazarinマザラン学院に入学し、言語、文学、哲学に於ける優れた古典的基礎を身につけると共に、数学、天文学、化学、植物学に於いて最高水準の教育を受けた。しかし、父親が投機的な金融投資に失敗し、全財産を失い、ParisパリからMontpellierモンペリエに移り住んだ。クーロンはMézièresメジエールのÉcole du Génie工科学校に入学したかったが、入学試験に合格するには家庭教師が必要だと気付いた。1758年10月、彼は試験を受ける為に必要な家庭教師を受ける為パリへ行った。Camusカミュは1755年に砲兵学校の試験官に任命されており、クーロンは数ヶ月間、カミュの『数学講義』を学んだ。1758年、クーロンはカミュが作成した試験を受け、合格し、1760年2月にMézièresメジエールのÉcole du Génie工科学校に入学した。この頃、彼は後に科学研究において重要となる多くの重要な友人関係を築いた。その一人はメジエールで彼の教師であったBossutボシュットであり、もう一人はBordaボルダであった。クーロンは1761年11月に卒業した。彼は今や工兵隊の中尉の階級を持つ訓練を受けた技術者（技術将校）となった。その後20年間、彼は様々な場所に赴任し、工学、構造設計、要塞、土質力学、その他多くの分野に携わった。クーロンはBouchainブーシャンから、Cherbourgシェルブールに赴任した。そこで彼は磁気コンパスに関する有名な論文を書き、1777年に科学アカデミー大賞に応募した。この1777年の論文はクーロンに賞の一部をもたらし、torsion balanceねじり天秤に関する彼の最初の研究成果が含まれていた。torsion balanceねじり天秤。クーロンが発明したねじり天秤、即ち電気的な引力と斥力を測定する為の装置で、基本的に自由にねじれる細いフィラメントから構成され、そこからダンベル型の構造体が吊り下げられており、この構造体は帯電させる事ができる。ダンベルの球体が、静止した2つの帯電球体から引き寄せられたり反発されたりすると、フィラメントがねじれ、そのねじれ具合から力の大きさを測定できる。クーロンの天秤は、それまでのどの装置よりも遥かに高感度で、信じられない程小さな力を測定する事ができた。クーロンのねじり天秤の図版は、フランス科学アカデミー紀要（Memoires of the France Academy of Sciences）に掲載された論文と共に出版された。Rochefortロシュフォール滞在中、クーロンは力学の研究を続け、特にロシュフォールの造船所を実験室として利用した。ロシュフォールでの摩擦に関する研究は、摩擦に関するクーロンの主要著作『Théorie des machines simples単純機械理論』に繋がり、1781年にAcadémie des Sciences科学アカデミーからグランプリを受賞した。実際、この1781年の論文はクーロンの人生を変えた。この研究の結果、彼はAcadémie des Sciences科学アカデミーの力学部門に選出され、パリに移り住み、そこで常勤の職を得た。彼はその後、工学プロジェクトに携わる事はなかったが、工学問題に関するコンサルタントとしては留まり続けたが、この時点から工学ではなく物理学に人生を捧げた。彼は1785年から1791年の間に、電気と磁気に関する7つの重要な論文を執筆し、科学アカデミーに提出した。これらの論文の中で、彼は同種及び異種の電荷を持つ物体間の引力と斥力の理論を展開した。彼はそのような力に対して逆二乗法則を実証し、完全導体と誘電体の研究へと進んだ。彼は完全な誘電体は存在しないと示唆し、あらゆる物質には電気を伝導する限界値が存在すると提唱した。これらの基礎的な論文は、Newton'sニュートンの万有引力の法則が質量間の距離に於ける作用に基づいていたのと同様に、電荷間の距離に於ける作用の根拠を提示した。Coulomb's lawクーロンの法則。電気と磁気に関するこれらの論文は、この時期のクーロンの業績の中で最も重要なものではあるものの、彼が取り組んだ仕事のごく一部に過ぎなかった。彼は1781年から1806年の間に、Académie des Sciences科学アカデミーに25の論文を提出した。この時期、クーロンはBossutボシュット、Bordaボルダ、deProyド・プロニー、Laplaceラプラスと緊密に協力した。驚くべき事に、彼はアカデミーの310の委員会の活動に参加した。彼はコンサルタントとして工学プロジェクトにも携わっており、その中でも最も劇的なのは、1783年から1784年にかけてのブルターニュの運河と港湾の改良に関する報告書である。彼は良識に反してこの仕事を引き受けさせられ、批判を受けた際に責任を負わされ、1783年11月に1週間投獄された。彼はまた、教育や病院改革など、様々な分野で歴代フランス政府の為に尽力した。1787年にはロンドンの病院の状況を報告する為にイギリスへ渡航した。1784年7月には王室の噴水の管理を任され、パリの水道供給の大部分を担う事になった。1790年2月26日、クーロンの長男が誕生したが、息子の母親であるLouiseルイーズ・フランソワーズ・ルプルースト・デゾルモーとは結婚していなかった。1789年にフランス革命が始まった時、クーロンは科学研究に深く携わっていた。多くの機関が再編されたが、その全てがクーロンの意に沿うものではなかった為、彼は1791年に工兵隊を退役した。1783年8月にAcadémie des Sciences科学アカデミーが廃止されたのとほぼ同時期に、彼は水道事業の責任者の職を解かれ、1793年12月には彼が所属していた度量衡委員会も解散された。クーロンとBordaボルダは、Bloisブロワ近郊に所有する家で科学研究を行う為、田舎に隠棲した。Académie des Sciences科学アカデミーはInstitut de Franceフランス学士院に取って代わられ、クーロンは1795年12月に学士院会員に選出されるとパリに戻った。1797年7月30日には次男が生まれ、1802年には2人の息子の母親であるLouiseルイーズ・フランソワーズ・ルプルースト・デゾルモーと結婚した。前述したように、クーロンは教育に尽力した。これは主に1802年から1806年にかけて、彼がinspector general of public instruction公教育総監を務めていた時期の事で、その職務に於いて、彼は主にフランス全土にlycéesリセを設立する責任を負っていた。続編：Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅱ
04Aug
- Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅷ
  Mathematicaで電磁気の考察事始めVol.Ⅶからの続き11.Solving the Wave Equation波動方程式を解く参考文献：ElectromagnetismUniversity of Cambridge Part IB Mathematical Tripos　我々は、電場Eと磁場Bそれぞれに対する2つの波動方程式を導出した。これらは独立して解く事ができるが、その解は元のマクスウェル方程式も満たさなければならないという点に留意する事が重要です。そうする事で、EとBの間に何らかの関係が導かれる。具体的に見ていく。まず、波がx方向に伝播し、yやzには依存しない特別な種類の解を考える事から始める。これらは「平面波」と呼ばれる。何故なら、xとtを固定すると、電場E及び磁場Bは(y,z)平面内で一定の値を取るからです。マクスウェル方程式 ▽⋅E=0より、この場合にはExが定数でなければならない事が分かる。任意の定数電場をマクスウェル方程式の解に加える事が常に可能である為、一般性を失うことなく、この定数をゼロとする。そこで、次のような形の解を求めます。E=(0,E(x,t),0)　電磁波に於ける磁場と電場は、互いに垂直であり、且つ波の進行方向に対しても垂直な関係にある。ここで、Eは波動方程式(4.13)を満たすが、その式は以下になる。 (4.13)波動方程式の最も一般的な解は、次のような形を取る。E(x,t)=f (x-ct)+g(x+ct)　ここで、f (xーct)は速度cで右方向に移動する波形を表す。（tが増加すると、fを一定に保つ為にxも増加する必要がある為）。一方、g (x+ct)は速度cで左方向に移動する波形を表す。この種の解の中で最も重要なクラスは、単一の周波数ωで振動するものです。このような波は単色波と呼ばれる。ここでは、右向きの波に焦点を当て、波形を正弦関数と仮定する。E=E0Sin[ ω( x/c-t)]　通常、これは次のように書ける。E=E0Sin[κx-ωt]] (4.15)　ここで、κは波数である。波動方程式(4.13)は、κが周波数と以下の関係にある事を要求する。ω2=c2κ2　このように、振動数を波数を用いて表す式は「分散関係」と呼ばれる。物理学に於いて波は極めて重要なものである為、それに関連する数多くの量を定義する事ができる。・量ωは、より正確には「角振動数」と呼ばれ、正の値を取るものとする。実際の振動数f=ω/2πは、波の山が観測者の前を通過する頻度を表す。・しかし、ここではωについてのみ扱う為、単に「振動数」と呼ぶ。・振動の周期はT=2π/ωである。・波の波長はλ=2π/κである。　これは、幼稚園で最初に学ぶ波の性質です。　可視光の波長は、およそ3.9*10-7mから7*10-7mの範囲にある。スペクトルの片方の端では、ガンマ線は10-12m程度の波長を持ち、X線は10-10～10-8m程度の波長を持つ。もう一方の端では、電波の波長はおよそ1 cmから10 kmです。勿論、電磁波スペクトルはこれら両端で終わる訳ではない。あらゆる波長λに対して解が存在する。　我々は波長について考えながら育つが、今後は、波数κの方が波を表すのにより有用な記述である事が分かってくるでしょう。・E0は波の振幅である。　これまでに求めたのは電場のみです。磁場を決定する為に、▽⋅B=0を用いてBxが定数である事を導き、ここでもBx=0と置く。他の成分であるBy及びBzもまた、波動方程式(4.14)に従わなければならない事は分かっています。しかし、それらの振る舞いは、マクスウェル方程式を通じて電場がどのような挙動を示すかによって決定される。このことは、以降の式を示す。B=(0,0,B)と　我々は以下の式が導かれる。 (4.16)　電場Eと磁場Bは同位相で振動しているが、互いに直交する方向に振動している。また、両者とも、波の進行方向に対して垂直な方向に振動している。In[]:Module[{w1,w2,colors,plot,lines},w1[x_]:={x,0,Sin[x]};w2[x_]:={x,-Sin[x],0};colors={Red,Green};{plot,lines}=ParametricPlot3D[{w1[x],w2[x]},{x,0,4 π},Boxed->False,AxesOrigin->{0,0,0},MaxRecursion->0,PlotStyle->{{Thick,Thick},colors}\[Transpose],EvaluationMonitor:>Sow[{Line[{w1[x],{x,0,0}}],Line[{w2[x],{x,0,0}}]}]]//Reap;Show[plot,Graphics3D[Insert[Flatten[lines,1],colors,1]\[Transpose]],ViewPoint→{3.009,-1.348,0.759},ViewVertical→{0.406,-0.398,5.732},Ticks→None,AspectRatio→0.75]]Out[]:　マクスウェル方程式は線形である為、(4.15)や(4.16)の形の解を幾つでも足し合わせる事ができ、その結果もまた解となる。これは「重ね合わせの原理」と呼ばれる事もある。　光に関して云えば、これは特に重要な性質です。何故なら、この性質のお陰で、異なる方向に進む光線同士が互いに通り抜ける事ができるからです。言い換えれば、私たちが何らかのものを目にすることができるのは、まさにこの性質があるからなのです。マクスウェル方程式の線形性から、一見するとやや奇妙に見える新しい表記法を導入する必要が生じる。解(4.15)と(4.16)は、しばしば複素数表記で表す事になる。E=E0ŷ ei(κx-ωt) (4.17)　物理的な電場や磁場は間違いなく実在するものであるはずですから、これは奇妙な事に思えるかもしれません。これらは単に、上記の式の「実部」であると考えて下さい。しかし、マクスウェル方程式は線形である為、EやBの実部だけでなく虚部もまた、マクスウェル方程式を満たす事になる。　更に重要な点として、もし複雑な形の電場（E）や磁場（B）の解を重ね合わせ始めたとしても、その結果として得られる実部と虚部の成分は、やはりマクスウェル方程式の解となる。この表記法を用いる利点は、単に、多数のcosやsinを含む式を扱うよりも、複素数を扱う方が一般的に計算が容易であるという点にある。　但し、この表記法には注意すべき点がある。EやBに関して線形ではない量（例えば、場に蓄えられるエネルギーのような2次の量）を計算する際には、上記の複素数表記をそのまま使うことはできない。まず実部をとる必要がある。完
23Jun
- 横浜八景島の紫陽花
  はじめに　八景島には年始の横浜金沢七福神巡りのゴールで毎年水族館のカレンダーを頂くのを皮切りに、豆桜、薔薇、それから紫陽花と年5回は訪れている。アジサイ Hydrangea macrophylla form.macrophylla 紫陽花　ガクアジサイの両性花が全て装飾花に変わったもので、古くから栽培されている。アジサイは日本固有の花で，万葉集にも名が見えるほど古くから知られ，鎌倉時代以降は園芸品種としても栽培された。アジサイの万葉表記は安治佐爲・味狭藍・あぢさゐ。しかしこれらは素朴で目立たないヤマアジサイないしガクアジサイが主であったためか，これを特別に観賞する名所といったものは江戸時代を通じても現れず，紫陽花寺の明月院などが観光の対象となったのは第2次世界大戦後のごく最近の事である。高さ1.5mになる。葉は対生し、長さ10~15cmの卵形または広卵形で先は急に尖り、縁には鋸歯がある。質は厚く、表面は光沢がある。6月、枝先に散房花序を出し、直径3~6cmの装飾色の花を球状付ける。淡い青紫色の花弁のように見えるのは4~5個の萼片で、花弁はごく小さい。雄蕊と雌蕊もあるが、結実しない。用途：庭木、鉢植え、花材。分布：本州。万葉集　言問はむ　木すらあぢさゐ　諸弟らが　練りのむらとに　詐かれけり　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　大伴家持　巻4-773　物を言わない　木にさえあじさいのように七重八重咲く物がある　諸弟めの　大ぼら吹きに　騙されてしまった　紫陽花の花の色が、白から淡紅色、紫色と変化する移り易さを人の心に例えて用いている。　あぢさゐの　八重咲くごとく　八つ代にを　いませ我が背子　見つつ偲はむ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　橘　諸兄　巻20-4448　あじさいが　八重に咲くように　八代も長く　お元気であれ君よ　見ては懐かしもう　紫陽花の豊かな花のように、また次々色を変えて長く咲き誇るようにと、右弁丹比国人真人を祝って詠んでいる。　参考文献　　山と渓谷社　　山渓カラー名鑑　日本の樹木シリーズ物横浜八景島のデジタル紫陽花横浜八景島のデジタル倭姫・薔薇編　横浜金沢区の樹木　横浜金沢区の桜　横浜金沢区の野草横浜金沢区の野草Ⅱセイヨウアジサイ西洋紫陽花　今、日本で公園、道端等に普通に植えられているアジサイはセイヨウアジサイ。ヨーロッパに日本産のアジサイが入ったのは中国からで、1790年にジョセフ・バンクスがロンドンのキュー植物園に持ち込んだ。19世紀初頭にはすでに紅色の花が咲くアジサイが作られ、20世紀になるとベルギー、オランダ、フランスを中心に育種が進み、現在数百に及び品種が知られてている。この改良された品種が日本に逆輸入され、セイヨウアジサイまたはハイドランジャーと呼んでいる。アジサイの花の色が青から紅色に変わったり、紅色のものが青くなったりするのは土壌の酸性度によるもので、酸性の土壌では青色、アルカリ性の土壌では紅色になる。また土壌に含まれる肥料の差異によっても花の色は変化する。窒素が少ないと紅色は藤色に変わる。窒素が多く、カルシウムが少ないと紅色が強くなり、カルシウムが多い場合は青色が強くなる。八景島　2020年6月24日ガクアジサイ Hydrangea macrophylla form.normalis 萼紫陽花　暖地の海岸沿いに生えるほか、古くから園芸化されている。高さ2mになる。葉は長さ5~15cmの広卵形または倒卵形で、質は厚く、表面は光沢がある。6月、枝先に散房花序に小形の両性花多数と装飾花を付ける。両性花には10個の雄蕊と花柱が3~4個あり、結実する。花の色は淡紅色、淡青紫色、紫色、まれに白色。用途：庭木、鉢植え、花材。分布：本州（房総半島、三浦半島、伊豆諸島、和歌山県神島）。八景島　2020年6月17日ダンスパーティー　八景島の片隅に植えられている萼紫陽花である園芸種のダンスパーティーだが、付いた名前にセンスが無い。松本仙翁ほどの名前は位が高いので無理だが、もう少し気の利いた名前が欲しい。花は小振りなガクアジサイで、色は白、淡紅。ガクの色は淡青。名前は今一つだが、清楚な花の色、形からテクスチャの教材になる。八景島　2020年6月24日八景島　2021年6月3日横浜八景島のデジタル紫陽花で記述した、シャツにダンスパーティーのテキスチャレンダリング（貼付け）をした。金さんの背中ほど派手ではないが、実用になりそうだ。水天一色　花はガクアジサイで、色は白に淡紫が混じる。メリハリの付いた装飾花がよい。ダンスパーティーの装飾花とは構造が異なり、八重に近い。八景島　2021年6月3日八景島　2021年6月3日ダンシングスノー　花は小振りなガクアジサイで、色は白。ガクも白色。つまり全体が白色。装飾花の白さが際立つ。装飾花はダンスパーティーの構造に似る。八景島　2021年6月19日八景島　2021年6月19日ピンクアナベル　花は小振りな球形で、色は白に若干淡紅が混じる。紫陽花にしては変わった形をしている。纏まった花数は八景島にしか無い。八景島を代表する紫陽花、幼児と共に撮影すると良い思い出になるであろう。八景島　2021年6月19日八景島　2021年6月3日　ここから八景島の代表的な柏葉紫陽花を記載した。基本的に円錐形になっている。カシワバアジサイ柏葉紫陽花　花全体は後述のカシワバスノークイーンと同じ円筒形に近い。花の色は先端が白で、茎に近ずくにつれて白に、淡緑が混じる。八景島　2020年6月17日八景島　2021年6月3日カシワバハモニー　花全体は円筒形、円錐形を足して2で割ったような形。花弁が連なって咲く。色は先端は白で、茎に近ずくにつれて白に、極薄い淡紅が混じる。花の形状からして、倒れ易い。八景島　2020年6月24日八景島　2020年6月28日カシワバスノークイーン　花全体はカシワバハモニーを小振りにした感じで、円筒形に近い。花弁はカシワバハモニーと異なり、4枚が茎から咲く。色は淡紅。八景島　2020年6月24日八景島　2021年6月19日カシワバ基本種　花弁は前述のカシワバ3種のように塊にならず、まばらになる。色は白色。八景島　2021年6月3日八景島　2021年6月3日追記　八景島以外の紫陽花を掲載した。ヤマアジサイHydrangea macrophylla var. acuminate山紫陽花　湿った林内や沢沿いに生え、よく分岐して高さ1~1.5mになる。葉は対生し、普通長さ7~12cmの長楕円形で質は薄い。先は鋭く尾状に尖り、縁に鋭い鋸歯がある。6~8月、枝先に散房花序を出し、淡紫色の小さな両性花多数と長い柄のある装飾花を付ける。両性花は結実し、蒴果は長さ約2mm。装飾花は直径2~3cmで花弁状の萼片が3~5個あり、色は白色、淡青紫色、淡紅色などがある。分布：本州（関東地方以西）、四国、九州、朝鮮南部。円海山　2015年6月17日　※素朴な紫陽花ベニガクH.macrophylla var.acuminata紅額　　ヤマアジサイの園芸品種で、高さ2mほどになる。葉は卵型または楕円形。花は7月頃咲く。装飾花の萼片は3~4個で、先に粗い鋸歯があり、はじめ白色で後紅色になる。公園等によく植栽されている。円海山　2015年6月20日　おまけ横浜金沢区のデジタル小町桜で記述した、デジタル豆桜。豆桜と云う如く小さい花が密に一杯咲く。模様としては良いが、迫力に欠ける。マメザクラPrunus incisa豆桜マメザクラ Prunus incisa 豆桜八景島　202２年3月１6日八景島　202２年3月１6日　※小さな花が密に咲く八景島　2022年3月11日おまけ山百合何故か一輪だけ岩場に咲いていた、百合と紫陽花。ヤマユリLilium auratum山百合　茎は高さ1~1.5mの日本特産のユリ。万葉の時代から馴染みのある百合。作者の大舎人部千文は常陸国の防人で、ゆるはゆりの東国訛り。　筑波嶺の　さゆるの花の　夜床にも　愛しけ妹そ　昼も愛しけ　　　　　　　　　　　　　大舎人部千文　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（巻20-4369）　　あられ降り　鹿島の神を　祈りつつ　皇御軍士に　われは来にしを　　　　　　　　　　　大舎人部千文　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（巻20-4370）　武神甕槌（たけみかづち）（建御雷神）の神を祀った鹿島神宮に武運長久を祈って、皇軍兵士として出兵したが、それなのに、なお強く惹かれる妻への慕情を歌ったのが前歌（昼も愛しけ）である。建御雷神は天孫降臨に付き従った武神。花は大輪で、径15~20cmもあり、強い芳香がある。近くでは花が見えなくても、匂いでヤマユリの存在が分かる。白い花の内側には赤い小点がある。野草にしては目立つ花。鱗茎は黄白色の扁球形で、径6~10cmあり、食用になる。昔、一里塚ごとに植えて、何かの時、食用にした伝説もある。花期：6月中旬~7月上旬。生育地：山地。分布：本州（近畿地方以北）。八景島　2026年6月22日完
09May
- Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅳ
  Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅲからの続きb.混合解の解析（線形代数）　混合物（例えばLycopeneを含む混合物）中のβ-caroteneを求める場合）線形回帰又はBeer-Lambertベール・ランバートの法則に基づく行列逆行列を用いる事ができる。(*Example:Solving for concentrations from mixture spectra*)(*A1,A2 are absorbance at two different wavelengths*)例題:混合物スペクトルから濃度を求める。A1、A2は2つの異なる波長での吸光度で、eps 11、eps 12、eps 21、eps 22はモル吸光係数です。In[]:sol=Solve[{A1==eps11*c1+eps12*c2,A2==eps21*c1+eps22*c2},{c1,c2}]Out[]:{{c1→((-A2 eps12+A1 eps22)/(eps12 eps21-eps11 eps22)),c2→((A2 eps11-A1 eps21)/(eps12 eps21-eps11 eps22))}}2.3.量子化学的手法でβ-caroteneスペクトルのGaussianガウス近似で、特にその紫外可視吸収スペクトルをシミュレーションする。　MathematicaでGaussianガウス近似を用いてβ-caroteneの紫外可視スペクトルをシミュレーションする場合、通常、400～500 nm付近に強いピークを持つS0→ S2遷移の特性振動バンドをモデル化する必要がある。一般的なアプローチは、実験スペクトル（acetoneアセトンやhexaneヘキサンなどの溶媒中では450～470 nm付近にピークを示すことが多い）を、0-0、0-1、0-2振動遷移を表すガウス関数の和として表現する事です。ガウス近似法：吸収スペクトルA(λ)の単純なガウス近似は、MathematicaのPlot関数とSum関数を用いて複数のピークを組み合わせる事で構築できる。β-carotene・スペクトルのMathematicaコード例：パラメータ:ピーク位置(nm)、高さ、幅peaks = {{450, 1.0, 20}, {425, 0.5, 20}, {480, 0.2, 25}};IN[]:gaussian[x_,center_,height_,width_]:=height*Exp[-((x-center)^2/(2*width^2))];plot=Plot[Sum[gaussian[x,p[[1]],p[[2]],p[[3]]],{p,peaks}],{x,350,600},PlotRange->All,Frame->True,FrameLabel->{"Wavelength (nm)","Absorbance"},PlotStyle->Thick,Filling->Axis]Out[]:補足：精度を高めるための主要構成要素　振動構造:「ショルダー」ピーク（通常、約425 nm、約450 nm、約480 nm）を正確に反映するには、モデルに少なくとも3つのガウス関数を含める必要がある。波長対エネルギー:ガウス曲線はエネルギーに対して対称ですが、簡略化の為に波長に対して適用される事が多く、形状が僅かに歪む可能性がある。広がりパラメータ:ガウス関数の幅は、一般的に均一な溶媒相互作用と不均一な広がりによって決定され、より高い精度を得る為にフォークトプロファイルで表される事がよくある。ピークの帰属:全トランス-β-caroteneの主吸収ピークは、一般的に450～453 nm付近に位置し、溶媒によって顕著なシフトが見られる。分子データとの連携より高度なモデリングでは、研究者はGaussian 03/16（多くの場合TD-DFT/B3LYP/6-31G(d)）の量子化学データを用いて、S0→ S2遷移の比エネルギー(Ei)と振動子強度(fi)を計算する。これらの値は、Mathematica Gaussian和における中心と振幅として使用される。屈折率の影響：溶媒効果（例：hexaneヘキサンとacetoneアセトン）はピークをシフトさせる可能性があり、ピーク位置の計算において考慮する必要がある。異性化：β-caroteneの15-シス異性体と13-シス異性体は、それぞれ異なるスペクトル形状を示す事に注意して下さい。特に1100-1300 cm-1のラマン領域において顕著であり、これが全体の吸光スペクトルに影響を与える可能性がある。2.4.β-caroteneの概ね吸収ピークの可視化　Mathematicaでは、VisibleSpectrum（例えば「可視光」範囲の色を生成する為）とカスタム吸収曲線を組み合わせる事で、β-caroteneの吸収スペクトルと対応する色を視覚化できる。β-caroteneの概ね吸収ピークpeak=450。　吸収ピーク：科学的な応用において、β-caroteneは可視領域（約450～500 nm）に3つの特徴的なピークを示す。これらは振動準位（0-0、0-1、0-2遷移）を表している。色の知覚：青色と緑色の光（400～500 nm）を吸収する為、反射光はオレンジ色/赤色になる。主要スペクトルデータλmax（シクロヘキサン中）：約456 nm λmax（アセトン中）：約453 nm一般的な吸収範囲：400～500 nm。In[]:peak=450;spectrum=Total[Table[PDF[NormalDistribution[p,15],x],{p,peaks}]];Plot[spectrum,{x,350,600},PlotStyle->{Red,Thick},PlotLabel->"Simulated Beta-Carotene Absorption Spectrum",AxesLabel->{"Wavelength (nm)","Absorbance (a.u.)"},Filling->Axis,PlotRange->All]peak=450;Plot[1-0.7 Exp[-((x-peak)^2/(2*30^2))],{x,380,750},ColorFunction->Function[{x,y},ColorData["VisibleSpectrum"][x]],ColorFunctionScaling->False,Filling->Axis,PlotLabel->"Approximate Beta-Carotene Absorption Spectrum",AxesLabel->{"Wavelength (nm)","Transmission"}]Out[]:2.5.Lycopeneの概ね吸収ピークの可視化　Lycopeneは天然に存在する赤色色素で、トマト、スイカ、グレープフルーツなどの赤色を担う主要なCarotenoidカロテノイドとして広く知られている。その鮮やかな赤色は、11個の二重結合が交互に並んだ高度に共役した構造（ポリエン構造）に由来する。この構造は青色光と緑色光を強く吸収し、補色である赤色光を透過・反射させる。　Lycopeneの吸収スペクトルピーク吸収（λmax）：Lycopeneの紫外可視（UV-Vis）スペクトルは、特徴的な3つのピークを示し、通常は可視光領域の青緑色に現れる。最大吸収は、アセトン中では446、474、504 nm付近、ヘキサン：アセトン：エタノール混合溶媒中では472、502 nm付近に見られる。波長領域：主な吸収は400～550 nmの間にある。溶媒依存性：正確なピーク波長は、使用する溶媒（例：ヘキサン、アセトン、ベンゼン）によって僅かに変化する場合がある。共役長：11個の共役二重結合を持つLycopeneは、共役結合の少ないCarotenoidカロテノイドです。例：β-caroteneは、赤色に変化する。In[]:peaks={446,474,504};spectrum=Total[Table[PDF[NormalDistribution[p,15],x],{p,peaks}]];Plot[spectrum,{x,350,600},PlotStyle->{Red,Thick},PlotLabel->"Simulated Lycopene Absorption Spectrum",AxesLabel->{"Wavelength (nm)","Absorbance (a.u.)"},Filling->Axis,PlotRange->All]peak=446;Plot[1-0.7 Exp[-((x-peak)^2/(2*30^2))],{x,380,750},ColorFunction->Function[{x,y},ColorData["VisibleSpectrum"][x]],ColorFunctionScaling->False,Filling->Axis,PlotLabel->"Approximate Lycopene Absorption Spectrum",AxesLabel->{"Wavelength (nm)","Transmission"}]peak=474;Plot[1-0.7 Exp[-((x-peak)^2/(2*30^2))],{x,380,750},ColorFunction->Function[{x,y},ColorData["VisibleSpectrum"][x]],ColorFunctionScaling->False,Filling->Axis,PlotLabel->"Approximate Lycopene Absorption Spectrum",AxesLabel->{"Wavelength (nm)","Transmission"}]peak=504;Plot[1-0.7 Exp[-((x-peak)^2/(2*30^2))],{x,380,750},ColorFunction->Function[{x,y},ColorData["VisibleSpectrum"][x]],ColorFunctionScaling->False,Filling->Axis,PlotLabel->"Approximate Lycopene Absorption Spectrum",AxesLabel->{"Wavelength (nm)","Transmission"}]Out[]:2.6.可視光スペクトルIn[]:DensityPlot[x,{x,380,750},{y,0,50},ColorFunction->ColorData["VisibleSpectrum"],ColorFunctionScaling->False,AspectRatio->Automatic,PlotRangePadding->10,FrameTicks->{{None,None},{Automatic,None}}]Out[]:2.7.色空間In[]:ChromaticityPlot[Frame -> False, Axes -> True]Out[]:3.人参のβ-caroteneの分子構造を可視化する。　これはMathematicaVer.14.3で利用可能になったMathematicaに実装されているMoleculeValuePlot関数を使う。これは一般的な線画だけでなく、強力なツールでカラー画像も可能になった。ここでは、MoleculeValuePlot関数の豊富な種別の内、人参のβ-caroteneとトマトのLycopeneだけを記述した。Wolfram Mathematica v14 .3の様々な機能を調べていく中で、新しいMoleculeFeatureDistance関数で数値化が可能になった。人の食生活を構成する栄養素やその他の化学物質は、ビタミンD2とD3、オメガ3脂肪酸とオメガ6脂肪酸のように、ペアで表すのに適している。molecule fingerprint distance分子フィンガープリント距離とも呼ばれるこの機能により、Wolfram Mathematica v14 .3は2つの分子間の類似度を計算できる。0から1のスケールで、距離が小さいほど類似度が高く、距離が大きいほど類似度が低い事を示す。これは、食品と栄養を研究する全ての関係者にとって貴重な新しいツールになるであろう。　Carotenoidカロテノイド色素は、色鮮やかな果物や野菜に含まれている。β-caroteneは、殆どの食事で最も豊富なCarotenoidです。ビタミンAの前駆体であり、腸と肝臓でビタミンAに変換される。1881年に初めて認識されたビタミンAは、視力、正常な成長、生殖、免疫に重要です。人参、薩摩芋、マンゴーはβ-caroteneの良い供給源です。Lycopeneはトマトやトマト加工品に豊富に含まれており、鮮やかな色を与えています。Lycopeneは強力な抗酸化物質であり、前立腺がんを含む特定の発がんリスクを軽減する可能性がある。　β-carotene分子は両端に環状構造を持つ一方、Lycopene分子は非環状（環状構造を持たない）です。Lycopeneは環状構造を持たない為、ビタミンAを生成する事はできない。しかし、β-caroteneと同様に、Lycopeneも分子全体に二重結合を持っており、これがこれらのCarotenoidが生み出す鮮やかな色素の原因となっている。3.1.人参のβ-caroteneとトマトのLycopeneの2つの分子間の距離In[]:MoleculeFeatureDistance[Entity["Chemical","BetaCarotene"],Entity["Chemical","Lycopene"]]Out[]:0.7111113.2.人参のβ-caroteneとトマトのLycopeneの分子構造3.2.a.人参のβbeta-caroteneの分子構造In[]:MoleculePlot[Entity["Chemical","BetaCarotene"]]Out[]:3.2.b.トマトのLycopeneの分子構造In[]:MoleculePlot[Entity["Chemical","Lycopene"]]Out[]:3.3.人参のβ-caroteneとトマトのLycopeneのカラー分子構造3.3.a.人参のβ-caroteneのカラー分子構造In[]:MoleculeValuePlot[Molecule[Entity["Chemical","BetaCarotene"]],"GasteigerPartialCharge"]Out[]:3.3.b.トマトのLycopeneのカラー分子構造In[]:MoleculeValuePlot[Molecule[Entity["Chemical","Lycopene"]],"GasteigerPartialCharge"]Out[]:完
- Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅱ
  Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅰからの続き1.2.5.一次元散乱　数値計算法は、束縛状態の場合と同様に、一次元散乱状態に対しても有効です。ここでは、定常状態に基づくアプローチと波動パケットに基づくアプローチという、全く異なる2つの散乱解析手法について説明します。1回照射法によるエネルギー固有状態1次元空間に局在化したポテンシャル障壁またはポテンシャル井戸があると仮定し、明確な運動量κを持つ右向きの粒子を入射させる。ポテンシャルは、確率Rで運動量 −κの粒子を反射するか、確率T = 1 − Rで運動量kの粒子を透過すると予想される。（簡略化の為、ポテンシャルには「段差」が無いと仮定する。従って、透過運動量は入射運動量と同じです。但し、この仮定を緩和するのは容易です。）要約すると、ポテンシャルの非自明な部分から離れた領域における波動関数は次のようになる。ψ(x) = (Aeiκx+ Be−iκ xas x →-∞　　　Ceiκxas x →+∞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9)反射確率はR = |B|²/|A|²となります。　この波動関数はあらゆる場所でTISE（time-independent Schrödinger equation）時間依存しないシュレーディンガー方程式を満たす必要がある為、未知の振幅は、任意のκに対してTISEを数値積分する事ができる。コツは、右側から始める事です。右側ではは単純な既知の形式を持ち、は一度だけ"shoot"を実行し、ポテンシャルを左方向に積分して漸近領域に到達すると、係数AとBを実質的に読み取る事ができる。右側の適切な境界条件は、ψ= 1およびψ′ = κで、どちらも同じ（十分に大きな）xで、Cの大きさは任意に1とする。この方法を説明する為に、単純な長方形の障壁を使用する。高さは、任意のエネルギー単位で50です。In[]:v[x_] := If[x > 0 && x < 1, 50, 0];xMax = 3;Plot[v[x], {x, -xMax, xMax}, Exclusions -> None,AxesOrigin -> {-xMax, 0}]Out[]: TISEを解くには、適切な境界条件を設定したNDSolveを使用するだけで済む。複素波動関数はNDSolveにとって全く問題にならないが、それをプロットするには少し手間が掛かる。In[]:energy = 40;κ = Sqrt[2 energy];solution =NDSolve[{psi’’[x] == -2 (energy - v[x]) psi[x], psi[xMax] == 1,psi’[xMax] == I*κ}, psi, {x, -xMax, xMax}];Plot[Abs[psi[x]]^2 /. solution, {x, -xMax, xMax},PlotRange -> {0, All}, Filling -> Axis,ColorFunction -> Function[x, Hue[Arg[psi[x]/.solution]/(2Pi)]],ColorFunctionScaling -> False, PlotPoints -> 500]Out[]:　示された数値では、障壁の左側に大きな振幅の干渉パターンが得られ、古典的に禁制な障壁では指数関数的に減衰し、右側では（比較すると）振幅が無視できる程小さくなる。次に、障壁の幅を1ではなく0.1にしてもう一度試して見て下さい。すると、トンネル効果の確率が顕著になる事が分かる。左側の平均波振幅と比較して干渉縞が大きい程、反射確率は高くなる。この考え方を厳密にして式を導出するのは比較的簡単な演習です。R = |B|²/|A|²=((|ψ|max-/|ψ|min)/(|ψ|max+/|ψ|min))²ここで、「max」と「min」は、左側の領域における|ψ|のピークと谷を指す。Mathematicaスクリプトでは、これは次のようになる。In[]:max = FindMaximum[Abs[psi[x]] /. solution,{x, -.8 xMax, -.2 xMax}][[1]];min = FindMinimum[Abs[psi[x]] /. solution,{x, -.8 xMax, -.2 xMax}][[1]];reflection = ((max - min)/(max + min))^2Out[]:0.9996659893453111（Mathematicaの数値最適化関数に、やや恣意的な探索区間を指定した。これらの関数はそれぞれリストを返し、その最初の要素は極値の位置です。）1.2.6.Mathematicaに実装された関数を使用してTISE（time-independent Schrödinger equation）の解を可視化する。Ⅰ.シュレディンガー(Schrödinger)演算子を使用する。　シュレディンガー(Schrödinger)演算子をパラメータh，ポテンシャルVで指定する。In[]:h=1/2;V[x_]:=x2ζ=-h2*u''[x]+V[x]*u[x];細分化されたメッシュ上で小さい方から10個の固有値と固有関数を求める{vals,funs}=NDEigensystem[ζ,u[x],{x,-3,3},10,Method->{"PDEDiscretization"->{"FiniteElement",{"MeshOptions"->{MaxCellMeasure->0.05}}}}];valsOut[]:{0.10000016225988244`,0.30000113385045746`,0.5000040417329519`,0.7000101643270652`,0.9000207683332286`,1.1000371088172065`,1.3000604292934639`,1.5000919618072917`,1.7001329270156669`,1.9001845342669028`}hでスケールされ，それぞれの固有値でオフセットされた固有関数10個を可視化する。In[]:Show[Plot[Evaluate[h*funs+vals],{x,-3,3}],Plot[V[x],{x,-3,3}],PlotRange->{{-3,3},{0,2}},AxesOrigin->{-3,0},ImageSize->Large]Out[]:Ⅱ.SchrodingerPDEComponentを使用する。　SchrodingerPDEComponentは，ニュートンの第2法則に類似した非相対論的量子力学であり，量子力学における波動関数の時間発展を記述する。a.換算プランク定数でスケールされそれぞれの固有値でオフセットされた固有関数を可視化する。In[]:Show[Plot[Evaluate[1/10*funs+vals],{x,-3,3}],Plot[x^2,{x,-3,3}],Sequence[PlotRange->{{-3,3},{0,2}},AxesOrigin->{-3,0}],ImageSize->Large]Out[]:b.固有関数を可視化して固有値にラベルを付ける。In[]:Plot[funs,{x,-3,3},Sequence[PlotRange->All,AxesLabel->{x,Ψ},PlotLegends->en],ImageSize->Large]Out[]:Ⅲ.NDEigensystemを使用する。　NDEigensystemは，固有モードソルバとしても知られるものであるが，領域上で微分方程式の固有値と固有ベクトルを求める数値固有ソルバである．a.シュレディンガー(Schrödinger)演算子をパラメータ，ポテンシャルで指定する。In[]:h=1/2;V[x_]:=x2\[ScriptCapitalL]=-h2*u''[x]+V[x]*u[x];細分化されたメッシュ上で小さい方から10個の固有値と固有関数を求めるIN[]:{vals,funs}=NDEigensystem[\[ScriptCapitalL],u[x],{x,-3,3},10,Method->{"PDEDiscretization"->{"FiniteElement",{"MeshOptions"->{MaxCellMeasure->0.05}}}}];vals{vals,funs}=NDEigensystem[\[ScriptCapitalL],u[x],{x,-3,3},5];valsOut[]:{0.1,0.300001,0.500004,0.70001,0.900021,1.10004,1.30006,1.50009,1.70013,1.90018}b.hによってスケールされ，それぞれの固有値によってオフセットされた固有関数を可視化する。In[]:Show[Plot[Evaluate[h*funs+vals],{x,-3,3}],Plot[V[x],{x,-3,3}],PlotRange->{{-3,3},{0,5}},AxesOrigin->{-3,0},ImageSize->Large]Out[]:c.シフトを定義して固有値問題を解く。In[]:{en,funs}=NDEigensystem[{H[0],DirichletCondition[ψ[r]==0,True]},ψ[r],{r,0,100},4,Method->{"Eigensystem"->{"Arnoldi","Shift"->λ0},"SpatialDiscretization"->{"FiniteElement",{"MeshOptions"->{"MaxCellMeasure"->0.001}}}}];電子ボルトで入手された固有値を見る。In[]:en UnitConvert[Quantity[1,"RydbergEnergy"],"Electronvolts"]Out[]:{-0.850356eV,-1.51174eV,-3.40142eV,-13.6057eV}これらは最も負である固有値に対応する．しかし，順序は逆順であり，固有状態をソートし直す必要がある．SortByを使って固有状態をソートする。In[]:{en,funs}=SortBy[{en,funs}\[Transpose],Re]\[Transpose];確率密度をプロットする。In[]:Plot[Evaluate[funs^2],{r,0,30},PlotLegends->en UnitConvert[Quantity[1,"RydbergEnergy"],"Electronvolts"],PlotRange->All]Out[]:d.NDEigensystemを使って1次元時間独立シュレディンガー方程式を数値的に解く方法In[]:V[r_]=-(1/r)-(1.0415223038416566` E^(-0.9990999998788636` r))/rWith[{shift=10,d=30,n=5},{ev,ef}=NDEigensystem[{shift f[r]+V[r] f[r]-1/2 f''[r],DirichletCondition[f[r]==0,True]},f[r],{r,0,d},n,Method->{"SpatialDiscretization"->{"FiniteElement",{"MeshOptions"->{"MaxCellMeasure"->0.001}}},"Eigensystem"->{"Arnoldi"}}];evShifted=ev-shift]With[{n=4,d=30,amplitudes={-1,5,20,30}},Plot[Evaluate[Table[evShifted[[i]]+amplitudes[[i]] 1/r ef[[i]],{i,n}]],{r,0,d},PlotRange→{-4,4},Epilog→{Gray,Dashed,Table[Line[{{0,evShifted[[i]]},{d,evShifted[[i]]}}],{i,n}]}]]Out[]:{-1.33732035927342`,-0.18643394348523046`,-0.07104738501501373`,-0.03483728099528349`,-0.0011951714032178984`}e.NDEigensystemを使って一次元時間独立シュレディンガー方程式を解く。　　この可視化の目的は，バリアの高さと井戸の長さが固有状態に与える影響を確認する事である。井戸の長さを伸ばすと各波動関数のエネルギーがどのように減少するかが分かる．一方で，バリアの高さを増すとエネルギーの固有値も大きくなる。ポテンシャルバリア，井戸の幅，あるいは固有状態の数の任意の値について固有状態を計算する関数を定義する。In[]:solver[V0_,d_,n_]:=NDEigensystem[{With[{V00=V0,d0=d},\[ScriptCapitalH]//Evaluate],DirichletCondition[Ψ[z]==0,True]},Ψ[z],{z,-4 d,4 d},n,Method->{"PDEDiscretization"->{"FiniteElement",{"MeshOptions"->{"MaxCellMeasure"->0.01 d}}}}];Manipulateを設定する。Manipulate[Block[{en,funs},{en,funs}=solver[V0,d,n];Row[{ListPlot[en->en,Sequence[Filling->Bottom,PlotLabel->"Energy eigenstates",ImageSize->Small,PlotRange->{0,1.}]],Show[Plot[With[{V00=V0,d0=d},V[z]//Evaluate],{z,-2 d,2 d},Sequence[PlotRange->All,AxesLabel->{"z","V0,Ψ"},Exclusions->None]],Plot[Evaluate[0.25 funs+en],{z,-2 d,2 d},PlotRange->All],ImageSize->Large]}]],{{V0,0.75},0.5,1},{{d,10},5,25},{{n,4},{2,3,4,5}},SaveDefinitions->True]Out[]:Ⅳ.Plotを使用する。ポテンシャル井戸内の固有関数IN[]:f[n_,x_]:=Abs[((1/Pi)^(1/4) HermiteH[n,x])/(E^(x^2/2) Sqrt[2^n n!])]^2Plot[Evaluate@Append[Table[f[n,x]+n+1/2,{n,0,7}],x^2/2],{x,-4,4},Filling->Table[n->n-1/2,{n,1,8}]]Out[]:1.3.TDSE（time-dependent Schrödinger equation）　時間依存シュレーディンガー方程式の数値解を出す。1.3.1.波束の時間発展散乱計算で定常状態を用いると、実際に何かが出入りしているようには見えない為、学習者にとっては混乱を招く可能性がある。より直感的な代替手段として、time-dependent Schr¨odinger equation時間依存シュレーディンガー方程式（TDSE）を、局所的な右向きの波束を初期状態として解く方法がある。それでは、その方法を説明する。自然単位系では、TDSEは次のようになる。i(∂ψ/∂t)=(-1/2)(∂2ψ/∂t2)+V(x)ψ　　　　　　　　　　　　　(11)空間二階微分に対して「二階中心差分近似」を用いて、xを等間隔の値のリストに離散化する。i(∂ψ/∂t)=(-1/2)(ψ(x+dx)+ψ(x-dx)-2ψ(dx))/(dx)2+V(x)ψ(x)　(12)ここで、dxは隣接するx値間の（非微小な）間隔です。この式を簡略化する為に、dx=1となる単位系を用いる。少し整理すると、TDSEは次のようになる。i(∂ψ/∂t)=-(ψ(x+1)+ψ(x-1))/2+(1+V(x))ψ(x)　　　　　　　　(13)時間を離散化する必要がある。つまり、∂ψ/∂tを離散近似で置き換える。最も簡単な方法は、次のように記述する事です。∂ψ/∂t≈ψ(x, t+dt) −ψ(x, t-dt)/dt　　　　　　　　　　　　　　(14)式13の右辺の各ψは、t（t+dtや他の時刻ではなく）で評価されるという前提で計算されます。しかし、この近似は未来時刻t+dtは考慮するものの、過去の時刻t-dtを考慮しない為、前方バイアスがかかっており、不正確です。中心差分近似を用いる方が遥かに正確です。∂ψ/∂t≈(ψ(x, t+dt) −ψ(x, t-dt))/(2dt)　　　　　　　　　　　　(15)これは近未来と直近の過去を対称的に扱うものです。この近似式を式13に代入し、ψ (x,t+dt)について解くと、完全に離散化されたTDSEのバージョンが得られる。ψ(x, t+dt) =ψ(x, t−dt) + i dt (ψ(x+1, t) +ψ(x−1,t) − 2(1+V(x))ψ(x, t) 　　　(16)式16は、我々が中心差分法と呼ぶTDSE（時間依存シュレディンガー方程式）の解法の核となる部分です。手順としては、離散化された格子上の全てのx点についてループ処理を行い、この式を用いてψ(x,t+dt)を計算し、時間を進めて同じプロセスを繰り返し、次の時間増分、更に次の時間増分、といった具合にψを計算していくす。あと少しだけ詳細を補足する必要がある。dtの値を大きくすると計算は速くなるが、dtを大きくし過ぎると、処理が不安定になる。小さな誤差が時間と共に指数関数的に増大し、最終的にψが巨大で意味不明な値になる。許容できる最大のdtの値はV(x)に依存する。我々の単位では、この最大値は常に0 .5未満です。そして実際には、dt=0.45が殆どの場合うまく機能する。式16は、計算対象の空間区間の両端では適用できない。何故なら、その場合、式16は両端からdxだけ離れたx値を参照する事になるからです。従って、通常のアプローチは、両端で常にψ=0と設定する事です。これにより、システムは実質的に無限に広がる正方形の井戸の中に埋め込まれる。そして、式16は内部の点でのみ使用する。　始める。勿論、初期波動関数ψ (x,0)を与える必要がある。しかし、式16を初めて使用する為には、時刻ゼロの1ステップ前のψ (x,-dt)も知る必要がある。簡単な解決策は、式14を用いて、dtを負の値として計算する事です。この近似はあまり正確ではないが、一度しか使用しない為、その影響は最小限です。それでは、中心差分法をMathematicaを用いて実装した例を示す。まず、空間格子のサイズを定義し、ポテンシャルエネルギー値の表を作成し、ポテンシャル関数をプロットする。In[]:xMax = 500;v = Table[If[x > 250 && x < 255, 0.05, 0], {x, 1, xMax}];ListPlot[v, Joined -> True]Out[]:　Mathematicaのリストインデックスは0ではなく1から始まるため、xの範囲を1からxMax迄とするのが最も簡単です。我々の任意のポテンシャルエネルギー関数は、グリッド間隔が1距離単位の場合にうまく機能する幅と高さを持つ長方形の障壁です。次に、時間変数、時間ステップ、及び波動関数自体を初期化する（出力は無）。In[]:t = 0;dt = 0.45;x0 = 100;p0 = 0.25;a = 30;psi = Table[Exp[-(x-x0)^2/a^2] Exp[I p0 x], {x, 1, xMax}];psiLast = psiNext = Table[0, {x, 1, xMax}];For[x = 2, x < xMax, x++,psiLast[[x]] = psi[[x]]- (I*dt/2)*(psi[[x+1]] + psi[[x-1]] – 2(1+v[[x]])psi[[x]])];続編：Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅲ
- Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅲ
  Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅱからの続き初期波動関数はガウス波束であり、ポテンシャルエネルギーがゼロとなる領域を中心とし、正の運動量を持つため右方向に移動する。p0の値は、公称波長2π/p0が格子間隔dx=1よりも十分に大きくなるように選択した。現在の波動関数psiを初期化した後、前後の時間ステップにおける波動関数（psiLastとpsiNext）をゼロに初期化した。但し、ここでは実際には終点のみを初期化すれば十分です。このコードブロックの最後にあるforループは、式15を用いてpsiLastを適切に初期化する。初期化はこれで完了ですが、時間的に順方向に計算を開始する前に、この波動関数の形状を示すグラフを作成する必要がある。このコードの部分はかなり難解ですが、結果には満足頂けると思われる。In[]:Dynamic[(psiInterp = Interpolation[psi];Plot[Abs[psiInterp[x]]^2, {x, 1, xMax},PlotRange -> {0, 1},Filling -> Axis,ColorFunction -> Function[x, Hue[Arg[psiInterp[x]]/(2Pi)]],ColorFunctionScaling -> False,PlotPoints -> 500,Epilog -> Inset[Style[StringJoin["t = ",ToString[Round[t]]], 20], {10, 0.9}, {Left, Top}]] )]Out[]:外側のDynamic関数は、p\siが変化する度に（まもなく変化する）、プロットを自動的に更新する。プロットを作成する前に、Mathematicaが補間関数と呼ぶものを作成する。これにより、Mathematicaは任意のx値（整数値だけでなく）で関数を評価できる。プロットする関数は|ψ|2で、その下の領域は通常通り位相に応じて色分けされます。エピローグでは、時間変数の現在の値を最も近い整数に丸めた値を、20ポイントのフォントでプロットの左上隅付近に表示する。これらの準備作業の後、シミュレーションコード自体は驚くほど簡潔です。In[]:While[t < 1200,For[x = 2, x < xMax, x++,psiNext[[x]] = psiLast[[x]] +I*dt*(psi[[x+1]] + psi[[x-1]] - 2*(1+v[[x]])psi[[x]])];psiLast = psi;psi = psiNext;t += dt];Out[]:　Forループは、式16を用いて各h（内部）点に於ける新しい波動関数を計算する。コードの残りの部分は、次の時間ステップの準備として、現在の波動関数を前の波動関数の領域にコピーし、次の波動関数を現在の波動関数の領域にコピーし、時間変数をインクリメントする。このコード全体は、時間変数が1200に達するまで繰り返される。これは、波動パケットが公称初期速度0 .25で数百距離単位移動するのに十分な時間です。このコードが動作するようになれば、ほぼ全ての初期波動関数と、局在化しているか否かを問わず、あらゆるポテンシャルに対応できるように修正できる。主な制約は、x値の離散格子です。これは、波動関数の運動量、ポテンシャルの変化の急激さ、そして全ての事象が発生する必要のある全空間を制限する。まずは、（標準的な）波動関数m_momentumと、障壁の幅と高さに小さな変更を加える事から始めて見て下さい。次に、緩やかな傾斜を持つ障壁、あるいは階段状のポテンシャル、または障壁を負のエネルギーを持つポテンシャル井戸に置き換えて見て下さい。1.3.2.TDSEの考察　1次元を超える。複数の空間次元における問題についてはどうでしょうか？それについては別の機会に譲り、最後に幾つか一般的な考察を述べておく。　多次元問題は重要です！実際の空間は3次元ですが、複数の粒子からなる系を扱うには、更に別の次元が必要になる。一般的な多粒子状態は量子もつれ状態、つまり単粒子状態の積に分解できない状態です。　多次元問題は難しい！空間を離散化すると、グリッド点の数、ひいては計算コストは次元数と共に指数関数的に増加する。（これが量子コンピュータの概念が非常に魅力的な理由であり、ファインマンがずっと昔に指摘した通りである。）　多次元問題を2つ以上の1次元問題に分割できるのであれば、そうすべきです。各次元で100グリッドポイントの解像度の場合、2次元問題には10,000グリッドポイントが必要ですが、2つの1次元問題であれば僅か200グリッドポイントで済みます。（ただし、分離可能なシステムは定義上、決して量子もつれ状態にならない。）　TDSEを解くための中心差分法は、2次元（またはそれ以上）にも容易に一般化できが、Mathematicaで試すには時間がかかり過ぎる。より低負荷な計算環境であれば、今日のパーソナルコンピュータで400×400の格子上で2次元シミュレーションを快適なフレームレートで実行できる。　このシューティング法は高次元には全く適用できない。何故なら、あらゆる方向に境界条件が存在する為、シューティング法を開始するのに適した場所も、シューティングするのに適した場所も無いからです。　行列法は高次元にも一般化できますが、必要な基底状態の数が多くなるため、時間がかかり過ぎる。とは云え、2次元であればMathematicaで十分に実行可能です。　我々が二次元束縛状態問題を解く際に好んで用いる方法は、やや時間がかかるものの、「擬似時間」法です。この方法では、初期試行関数を虚数時間変数を用いた時間依存シュレディンガー方程式（TDSE）に従って時間発展さる。この方法は、まだコードはMathematicaに実装されていない。1.3.3.Mathematicaに実装された関数を使用してTDSE（time-dependent Schrödinger equation）の解を可視化する。Ⅰ.時間依存シュレディンガー(Schrödinger)方程式を可視化する。solution =NDSolve[{Inactive[Div][({{-(1/2)}} . Inactive[Grad][u[t, x], {x}]), {x}] == Iu(1,0)[t,x],u[0,x] == E^(-3 I x - 1/20 x^2),DirichletCondition[u[t, x] == 0, True]}, u, {t, 0, 5}, {x, -10, 10},Method -> {"PDEDiscretization" -> {"MethodOfLines", "SpatialDiscretization" -> {"FiniteElement","MeshOptions" -> {"MaxCellMeasure" -> 0.1}}}}]高精度の解をプロットする。Plot3D[Evaluate[Abs[u[t, x]] /. solution], {x, -10, 10}, {t, 0, 5},PlotPoints -> 50, AxesLabel -> {x, t}]Out[]:Ⅱ.NDSolveを使用してTDSE（time-dependent Schrödinger equation）を可視化する。IN[]:hbarc=197.326;mu=4000.;S0=3.0;omega=0.0001;ec=0.0854;q=2.*ec;Q=5.0;V0=0.;V1=20.;a=10.;l=5.;x0=0.;xN=a+l+10.;A0=mu omega S0/(hbarc q);k=Sqrt[2 mu Q]/hbarc;potential[x_]=Piecewise[{{V1,a<=x<=a+l},{V0,x<a||x>a+l}}];eqSchUnpert={Q*u0[x]==-hbarc*hbarc/(2*mu)*D[u0[x],{x,2}]+potential[x]*u0[x]};bc={u0[xN]==beta*Exp[I*k*xN],(D[u0[x],x]/. x->xN)==Exp[I*k*xN]*beta*I*k};psi0=ParametricNDSolveValue[{eqSchUnpert,bc},u0,{x,x0,xN},{beta}];Plot[Abs[psi0[10^-4][x]],{x,x0,xN}]eqSchPert={I*D[u[t,x],t]==-hbarc*hbarc/(2 mu) D[u[t,x],{x,2}]+potential[x] u[t,x]+I*S0*omega*Cos[t*omega]*D[u[t,x],x]};icPert={u[0.,x]==psi0[10^-4][x]};bcPert={u[t,x0+S0]==psi0[10^-4][x0+S0],u[t,xN-S0]==psi0[10^-4][xN-S0]};sol1=NDSolveValue[{eqSchPert,icPert,bcPert},u[t,x],{t,0.,2},{x,x0+S0,xN-S0},Method->{"MethodOfLines","SpatialDiscretization"->{"TensorProductGrid","MinPoints"->300,"MaxPoints"->1000,"DifferenceOrder"->"Pseudospectral"}},MaxSteps->10^6];Plot3D[Abs[sol1],{t,0,2},{x,x0+S0,xN-S0},Mesh->None,ColorFunction->Hue,AxesLabel->{"t","x"}]OUT[]:Ⅱ.Time dependent Schrödinger equation in 2Dの場合Ω=DiscretizeRegion[Rectangle[{-10,-10},{10,10}],MaxCellMeasure->(1->0.5)];sol=NDSolveValue[{D[Ψ[x,y,t],t]==I/2 Laplacian[Ψ[x,y,t],{x,y}]-I ((x^2+y^2)+(x+y) Sin[t]^2) Ψ[x,y,t],DirichletCondition[Ψ[x,y,t]==0,True],Ψ[x,y,0]==Exp[-1/2 (x^2+y^2)]},Ψ,{t,0,1},{x,y}\[Element]Ω];Plot3D[Abs[sol[x,y,1]],{x,y}\[Element]Ω,Mesh->None,ColorFunction->Hue,PlotRange->All,AxesLabel->{"x","y","|Ψ|"}]NMaximize[{Abs[sol[x,y,1]],-10<=x<=10,-10<=y<=10},{x,y}]Out[]:{1.398646652762046`,{x->-0.06781756849149234`,y->-0.0638960370074363`}}2.人参のβ-caroteneを量子物理・量子化学的手法を用いてシミュレーションする。2.1.Schrödingerシュレーディンガー演算子のスペクトルを求める。　一次元領域上でシュレーディンガー方程式 ℏ∂2u/∂x2+V(x)u=λuの固有値問題を解く。制約条件のないシュレーディンガー演算子を指定する．In[]:h=1/10;V[x_]:=x^2\[ScriptCapitalL]=-h^2*u''[x]+V[x]*u[x];調整されたメッシュ上で，固有値と固有関数を小さい方から10個求める．{vals,funs}=NDEigensystem[\[ScriptCapitalL],u[x],{x,-3,3},10,Method->{"SpatialDiscretization"->{"FiniteElement",{"MeshOptions"->{MaxCellMeasure->0.01}}}}];固有値を調べる。In[]:valsOut[]:{0.10000000026039418`,0.3000000018225851`,0.5000000065086758`,0.7000000164004937`,0.9000000335790854`,1.100000060124716`,1.3000000981169204`,1.5000001496344206`,1.7000002167552424`,1.9000003015565976`}ℏでスケールされ，それぞれ対応する固有値でオフセットされた固有関数を可視化する。In[]:Show[Plot[Evaluate[h*funs+vals],{x,-3,3}],Plot[V[x],{x,-3,3}],PlotRange→{{-3,3},{0,2}},AxesOrigin→{-3,0},ImageSize→Large]Out[]:2.2.量子化学的手法でβ-caroteneのスペクトル、特にその紫外可視吸収スペクトルをシミュレーションする。β-caroteneの主要スペクトルデータ：最大吸収波長（λmax）：acetoneアセトン中では450-453 nm、hexaneヘキサン中では456 nm、その他の一般的な溶媒中では452 nm（多くの場合、450 nmと475 nmの三重線として現れる）.モル吸光係数（ⅇ）：λmaxにおいて約139,500～152,000L∘mol-1∘cm-1.最適スペクトル範囲：UV-Visで350-600 nm.Mathematicaでのシミュレーション/解析手順a.量子化学的手法（DFT/TD-DFT）Mathematica内で第一原理計算によりスペクトルを解く：方法：時間依存密度汎関数理論（TD-DFT）。関数/基底関数：B3LYPまたはωB97XD/6-311+G(d)は幾何異性体について実験データと良好な一致を示す事が示されている。目的：吸収線形状を生成する為に、S0→ S2遷移を計算する。In[]:betaSpectrum[x_]:=1.0*Exp[-((x-450)^2/(2*20^2))]+0.8*Exp[-((x-475)^2/(2*20^2))];Plot[betaSpectrum[x],{x,350,600},PlotLabel->"Beta-Carotene Spectrum Approximation",AxesLabel->{"Wavelength (nm)","Absorbance"}]Out[]:続編：Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅳ
08May
- Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅰ
  Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅰ　はじめに　スーパーの野菜売場で人参のオレンジ色・β-caroteneが目立つ。これを量子力学で解く事を主眼とする。シリーズ物　Mathematicaで電磁気の考察事始め量子力学の教科書にシュレーディンガー方程式が記載されているが、数値解を数式から出すのは難しい。ここではMathematicaに実装されているSchrodingerPDEComponent関数等を使用して数値解を出す。1.シュレーディンガー方程式1.1.シュレーディンガー方程式の可視化する。1.2.TISE（time-independent Schrödinger equation）　時間依存しないシュレーディンガー方程式の数値解を出す。これは一次元の最も簡易なシュレーディンガー方程式になる。1.3.TDSE（time-dependent Schrödinger equation）　時間依存シュレーディンガー方程式の数値解を出す。2.人参のβ-caroteneを量子化学的手法を用いてシミュレーションする。β-caroteneの色はオレンジ色だが、人はその補色に当る紫、近紫外領域を見ているので、β-カロテンの紫外可視スペクトルをシミュレーションする。3.人参のbeta-caroteneの構造を可視化する。　これはMathematicaVer.14.3で利用可能になったMathematicaに実装されているMoleculeValuePlot関数を使う。これは一般的な線画だけでなく、強力なツールでカラー画像も可能になった。日本人に馴染みの野菜：　胡瓜、茄子、人参、トマト。これらには人参のオレンジ色・β-carotene、トマトの赤色・Lycopene、茄子の青紫色・anthocyaninアントシアン等の化学物質が含まれている。1.シュレーディンガー方程式の可視化密度プロット　密度プロットは、水平軸と垂直軸に沿って2つの独立変数を表示し、各点における関数値を色分けで示す。2つ目の変数とその範囲を指定する2つ目のリストが追加される。In[]:psi320 = r2Exp[-r/3] (3 z2/r2- 1) /. r -> Sqrt[x2+ z2];rMax = 15;DensityPlot[psi320^2, {x, -rMax, rMax}, {z, -rMax, rMax}]このコードは、水素原子のエネルギー固有状態の確率密度の断面図を描画する。Plot関数と同様に、デフォルト以外のオプションを使用したい場合がよくある。IN[]:wp1d=Sin[x y]myplot=Plot3D[[wp1d],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotRange->All,PlotPoints->50,ColorFunction->Function[{x,y},Hue[Arg[wp1d]/(2Pi),1,Abs[wp1d]]],ColorFunctionScaling->False,Lighting->"Neutral",Mesh->None,ImageSize->Large]Show[myPlot,Boxed→False,Frame→None,PlotRangePadding→None,Axes→None]Out[]: 色相を関数の位相に対応するように設定した。ここでは、彩度を1、明度を関数の振幅に設定した。その為、関数値がゼロまたは無視できる程小さい部分は黒になる。ゼロを白にマッピングするには、明度を1、彩度を関数の振幅に設定する。この特定の関数は最大振幅が1なので、画像の最も明るい部分は可能な限り明るくなる。この例では、関数が無視できる領域を薄い灰色にした。In[]:wp2d=Exp[-(x2+y2)] Exp[I(8x-5y)];RegionPlot[True,{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->100,BoundaryStyle->None,ColorFunction->Function[{x,y},Hue[Arg[wp2d]/(2Pi),1,Abs[wp2d]]],ColorFunctionScaling->False]Plot3D[Abs[wp2d],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotRange->All,PlotPoints->100,ColorFunction->Function[{x,y},Hue[Arg[wp2d]/(2Pi),Abs[wp2d],0.75]],ColorFunctionScaling->False,Lighting->"Neutral",Mesh->None]myPlot=Plot3D[Abs[wp2d],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotRange->All,PlotPoints->100,ColorFunction->Function[{x,y},Hue[Arg[wp2d]/(2Pi),Abs[wp2d],0.75]],ColorFunctionScaling->False,Lighting->"Neutral",Mesh->None]Show[myPlot,Boxed→False,Frame→None,PlotRangePadding→None,Axes→None]Out[]:　In[]:wavepacket = Exp[-x^2] Exp[I*5*x];Plot[Abs[wavepacket], {x, -3, 3}, PlotRange -> All, PlotPoints -> 300,Filling -> Axis,ColorFunction -> Function[x, Hue[Arg[wavepacket]/(2 Pi)]],ColorFunctionScaling -> False]Out[]:1.2.TISE（time-independent Schrödinger equation）時間依存しないシュレーディンガー方程式の数値解を出す。これは一次元の最も簡易なシュレーディンガー方程式になる。　数式をグラフ化するだけでは物足りないでしょう。いよいよ実際の数値計算に入る。前のセクションを終えた後もMathematicaセッションを継続する場合は、Mathematicaが認識している記号ψ（psi）を初期化する。In[]:Clear[psi]1.2.1.積分と和　量子力学では、内積を計算したり重ね合わせを構築したりする際に、積分と和が頻繁に登場する。例えば、幅1の1次元無限方形ポテンシャル井戸内の粒子が、左端から1/4の位置に中心を持つ、比較的狭いガウス型波動関数を持つと仮定する。In[]:psi[x_] := Exp[-(x - .25)2/.052];Plot[psi[x], {x, 0, 1}, PlotRange -> All]Out[]:　この波動関数は正規化されていないので、NIntegrate関数を使って正規化積分を数値的に計算する。In[]:NIntegrate[psi[x]2, {x, 0, 1}]Out[]:0.06266570686576377　この式をSqrt[]関数で囲み、その逆数を取って、結果をψの定義に代入する。そして、ψが確かに正規化されている事を確認する。エネルギー測定結果の確率、或るいはこの波動関数の時間発展を計算するには、エネルギー固有基底ψn(x) =Sqrt[2]sin(nπx)に於けるその成分を知る必要がある。n = 1の成分は、次の積分で与えられる。それでは早速、最初の30個の構成要素をリストアップして見よう。In[]:NIntegrate[psi[x] Sqrt[2] Sin[Pi x], {x, 0, 1}]Out[]:{0.08807770582665808,0.12227682450392315,0.08383674732464483,5.848269842094119-15,-0.07595760681474374,-0.10037322010004811,-0.06550531691151912,1.1472387582608809-14,0.05377126547706738,0.06763403032544874,0.042013841164056445,1.6997826576356097-14,-0.031246612911741762,-0.037409885942160874,-0.022119837480353864,2.208476457266073-14,0.014904909471382859,0.016985612248850007,0.009559720166505073,2.682316174729138-14,-0.005836190283661484,-0.006330670832762118,-0.003391424342626115,3.11001224773122-14,0.0018758722085663539,0.001936832059124321,0.0009876266305455746,3.481188861481632-14,-0.0004949379562162565,-0.00048641605683838365}1.2.2. 1次元における束縛状態　1次元束縛状態の典型的な問題は、無限方形ポテンシャル井戸と調和振動子です。Mathematicaに実装された関数を使えば、最も簡単な1次元ポテンシャル井戸に対する時間によらないシュレーディンガー方程式time-independent Schr¨odinger equation（TISE）を解く事ができる。1.2.3.シューティング方法　この方法は幾つかの教科書で解説されているので、周知かもしれない。まず、エネルギーを仮定し、妥当な境界条件から始めて、ポテンシャル井戸全体に渡ってTISEを積分する。通常、x → ∞で発散する波動関数が得られる為、エネルギーの仮定値を調整し、正規化可能な波動関数が得られるまで繰り返す。具体的には、幅1、深さ50（自然単位）の有限方形ポテンシャル井戸を考えて見よう。In[]:v[x_] := If[Abs[x] < 0.5, 0, 50];xMax = 1.5;Plot[v[x], {x, -xMax, xMax}, Exclusions -> None]Out[]:　対称性を保つため、井戸の中心をx = 0に設定した。グラフを不連続点を越えて接続する為に、MathematicaのIf関数と、プロットのExclusions -> Noneオプションを使用している点に注目して下さい。　先に進む前に、Clear[psi]と入力して、Mathematicaのメモリに残っている可能性のあるpsiの以前の定義を（再度）初期化して下さい。In[]:Clear[psi]TISEを解くには、　d2ψ/dψ2= −2(E − V (x))ψ　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)NDSolve関数を使用できるが、その構文は少し複雑です。In[]:energy = 5;solution =NDSolve[{psi’’[x] == -2 (energy - v[x]) psi[x], psi[-xMax] == 0,psi’[-xMax] == 0.001}, psi, {x, -xMax, xMax}];Plot[psi[x] /. solution, {x, -xMax, xMax}]Out[]: NDSolveの最初の引数は、解くべき微分方程式と、関数及びその導関数に対する境界条件の3つの方程式のリストです。二重の==記号は、これらが変数名の代入ではなく、解くべき方程式である事を示している。プライム記号 ’ は導関数を表す。境界条件については、対象領域の左端で波動関数をゼロに、その導関数を小さく任意の定数に設定した。エネルギーの初期値は、同じ幅π²/2の無限方形井戸に近い値とした。NDSolve関数は、リスト内の置換規則に埋め込まれた所謂補間関数の形式で結果を返す為、プロット用に抽出する為に、この構造に名前（solution）を付け、/.置換構文を使用した。　このコードを実行すると、波動関数がx軸を横切り、その後マイナス無限大に発散する事が分かる。従って、正しい基底状態エネルギー（節点がゼロの場合）は5未満です。次に、より低いエネルギーを試して、小数点以下数桁まで正確にエネルギーを固定できる迄繰り返し調整して下さい。基底状態が得られたら、より高いエネルギーで最初の励起状態を取得し、これを繰り返す。最終的には、両側で正しい漸近挙動を示す波動関数を得る為に、xMaxの値を増やす必要がある事が分かる。但し、50を超えるエネルギーでは束縛状態は全く生成されない為、現時点ではあまり関心が無い。シューティング法は正確で、計算効率が良く、コーディングも簡単です。しかし、一度に得られる解は1つだけであり、エネルギーを推測するのは煩雑で自動化が難しい場合がある。1.2.4.行列法　束縛状態問題を解く別の方法として、基底関数を導入し、この基底を用いてTISEを行列形式で表現し、Hamiltonian matrixハミルトニアン行列を対角化してエネルギー固有値と固有ベクトルを求める方法がある。この方法は、一度に多くの解が得られ、波動力学と行列力学の関連性を理解するのに役立つ。基底関数としては、我々が関心のある全ての固有関数を包含するのに十分な幅を持つ（と期待する！）仮想的な無限正方形の固有関数を用いる。ψn(x) =Sqrt[2/b]sin[nπx/b]　　　　for 0 < x < b (2)ここで、bは仮想的な無限井戸の幅です。（後程この方法を有限の正方形井戸の例に適用する際には、bを井戸の幅の数倍とし、有限井戸の中心をb=2とする。）実際のポテンシャルV(x)の未知のエネルギー固有関数(x)は、これらの基底関数の線形結合として表す事ができる。 (3) そして我々の目標は未知の係数cnを見つける事です。その為にはまず、我々の基底におけるHamiltonianハミルトニアン演算子の行列要素を計算する。 TISEは行列固有値方程式となる。ハミルトニアンを2つの部分に分割すると、行列要素の計算がいくらか簡略化される。Ĥ=Ĥ0+∆V (x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)　ここで、Ĥ0は固有関数がψn(x)であるHamiltonianハミルトニアンであり、∆V (x)は実際のハミルトニアンの残りの部分です。無限方形井戸基底の場合、Ĥ0は運動エネルギー演算子であり、∆V (x)は実際のポテンシャルエネルギー関数のV (x)です。従って、行列要素は次のようになる。ここで、第1項では、ψnがH0の固有値Enを持つ固有関数である事、及びn個の関数が正規直交である事を利用している。行列として書き出すと、第1項は単純に対角行列となり、その要素は自然単位でπ2n2=(2b2)で表される無限方形ポテンシャルの固有値となる。行列法を用いて連立方程式を解く為のMathematicaコードは、先程述べた理論的な説明よりも簡潔です。まず、ポテンシャル関数を定義する。In[]:b = 4;v[x_] := If[Abs[x - b/2] < 0.5, 0, 50];Plot[v[x], {x, 0, b}, Exclusions -> None]Out[]:（AccuracyGoalオプションは、対称性により行列要素がゼロになる場合の警告を抑制する。）この時点で、必要に応じて、以下のコマンドを入力して行列を表示する事もできる。MatrixForm[Chop[hMatrix]]または、以下のコードを使用してグラフィカルに表示する事もできる。In[]:contrast = 0.01;MatrixPlot[hMatrix*contrast + 0.5,ColorFunction -> Function[f, Blend[{Green, White, Purple}, f]],ColorFunctionScaling -> False]Out[]:（ここでは非標準の色指定関数が必要になるが、必要に応じて別の色を選択したり、コントラストパラメータを調整したりしても構わない。）行列を対角化するには、Eigensystem関数<sup>4</sup>を使用するだけで済む。この関数は、固有値とそれに続く固有ベクトルからなるリストを返す。In[]:{eValues, eVectors} = Eigensystem[hMatrix];eValues{75.4964311230981`,70.00724934486014`,64.23313669998385`,59.28859107860458`,56.458123233141976`,52.43847541403626`,51.66536957999008`,40.69088790065189`,14.39718382192435`,3.5677311888328087`}　固有値は都合の悪い事に降順でソートされている。我々は有限ポテンシャル井戸の束縛状態を表す、50以下の最も低い固有値のみに関心がある。残念ながら、基底関数を10個しか使用しないと、正確な固有値は得られない。その為、コードが動作するようになったら、束縛状態の固有値がほぼ収束する迄nMaxを増やして下さい。シューティング法で求めた値と一致しますか？固有値のリストをPlotに渡す事で、エネルギー準位図を簡単にプロットできる。In[]:Plot[eValues, {x, 0, 1}, PlotRange -> {0, 50},Ticks -> {None, Automatic}]Out[]:　収束を確認するもう一つの方法は、固有ベクトルの成分を調べる事です。In[]:ListPlot[eVectors[[-1]], PlotRange -> All, Filling -> Axis]Out[]:　リストのインデックス −1はリストの最後の要素、この場合は最小の固有値を持つ固有ベクトルを示す。インデックスを −2、−3などに変更して、残りの束縛状態の固有ベクトルを調べる。実際の固有関数を確認するには、式3に従って基底関数の重ね合わせとして構築する必要がある。In[]:Plot[Sum[eVectors[[-1, n]] basis[n, x], {n, 1, nMax}], {x, 0, b}]Out[]:　束縛状態の固有関数は、シューティング法で求めたものと概ね類似していますか？もし違いがあれば説明していただけますか？nMaxの値を大きくしていくと、数値積分による行列要素の計算に時間が掛かるようになる事に気付いたかもしれない。有限の正方形ポテンシャル井戸の場合は、積分を解析的に計算する事もできますが、これは任意の形状のポテンシャルには適用できない。演習：量子バウンサーここでは、有限方形井戸ポテンシャルに対するシューティング法と行列法を説明したが、どちらの方法も任意の形状の一次元ポテンシャル井戸に適用できる。興味深い例の一つに、いわゆる量子バウンサーポテンシャルがある。V (x) = (αx for x > 0　　　　　∞for x < 0 (8)　ここでαは定数です。このポテンシャルの低エネルギー固有値と固有関数を、このセクションの方法のいずれか（または両方！）を使用して求める。α = 1となる自然単位系を使用して下さい。低エネルギー固有関数が大きなxで漸近的にゼロに近づく事ができるよう、xの値を十分に広い範囲で考慮するようにして下さい。但し、全ての固有関数はx < 0で正確にゼロになる必要がある為、負のxの値を調べる必要は全く無い。続編：Mathematicaで人参Beta-caroteneの量子力学的考察事始めVol.Ⅱ
08Mar
- Mathematicaで5次方程式の考察事始めVol.7
  Mathematicaで5次方程式の考察事始めVol.6からの続き6.4次方程式の新しい解法前述では4次方程式を手短にF.クライン形式で解を出したが、ここでは4次方程式解法の一つを取り上げた。3次方程式はdel Ferroデル・フェロによってx3+ax=bが導入された。Niccolo Tartagliaニッコロタルタリアはより難易度の高い3次方程式、つまり「平方と立方を数に等しくする」、x3+ax2=bに辿り着いた。4次方程式は3次方程式より次数が上がるので4次方程式の方が3次方程式より難しいと思われがちだが、そうではない。タルタリアの手法で3次方程式の解法を体得できれば4次方程式の解法は容易だ。ここでは、簡約5次方程式の因数分解できた4次方程式を、Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2で記述したFrançois Vièteフランソワ・ヴィエトの手法を取り入れて一般4次方程式の解を求める。具体的には微分を使う。前述した3.係数が2個欠落した5次方程式簡約5次方程式3.3.x5+5x2+6x+24=0x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0これはx4とx3の項が欠落している。a4=0a3＝0a2=5a1=6a0=24の係数になる。この5次方程式は1次方程式と4次方程式に因数分解できるので解ける。Factor[x5+5x2+6x+24](2+x) (12-3 x+4 x2-2 x3+x4)ここで3次方程式を解く。f(x)=x4-2 x3+4 x2-3 x+12=0f(z)=z4-2 z3+4 z2-3 z+12=0上式を微分する。Print["f′(z)=",D[f(z)=z4-2 z3+4 z2-3 z+12, z]]f(z)=z4-2 z3+4 z2-3 z+12上式を2回微分する。Print["f″(z)=", D[f(z)=z4-2 z3+4 z2-3 z+12, {z,2}]]f(z)=z4-2 z3+4 z2-3 z+12上式を3回微分する。Print["f‴(z)=", D[f(z)=z4-2 z3+4 z2-3 z+12, {z,3}]]f′(z)= -3+8 z-6 z2+4 z3f″(z)=8-12 z+12 z2f‴(z)= -12+24 z3回微分を0とする。Solve[- 12+24 z==0,z]z=1/2Print["f(z)=",N[z4-2 z3+4 z2-3 z+12]]Print["f′(z)= ",N[-3+8 z-6 z2+4 z3]]Print["f″(z)= ",8-12 z+12 z2]Print["f‴(z)= ",-12+24 z]f(z)=11.3125f′(z)=0f″(z)=5f‴(z)= 0f(z)=f(1/2)=11.3125f′(z)=f′(1/2)=0f″(z)=f″(1/2)=5f‴(z)= f‴(1/2)=0f(t)=t4+ (f‴ (z)/3!)*t3+(f″(z)/2! )*t2+f′(z)*t +f(z)f(t)=t4+(f″(z)/2! )*t2+f′(z)*t +f(z)Print["f(t)=",t4+(f″(z)/2! )*t2+f′(z)*t +f(z)]Print["f(t)=",t4+(f″(z)/2! )*t2+f′(z)*t +f(z)]Print["f(t)=",t4+(5/2 )*t2+0+11.3125]b/2=(5/2 )/2Print["b/2=",(5/2 )/2]Print["b=",2*(5/2 )/2]b/2=5/4b=5/2Print["b2/16-d/4=",(5/2)2/16-11.3125/4]b2/16-d/4= -2.4375Print["-(c2/64=",0]c=0b2/16= -2.4375b2/16+2.4375= d/4Print[ "d/4=",b2/16+2.4375]d/4=2.828125Print["d=",2.828125*4]d=11.3125ω3+(b/2)*ω2+(b2/16-d/4)*ω-c2/64=0ω3+(5/4)*ω2-2.4375*ω=0x3+(5/4)*x2-2.4375*x=0KleinSolve[x3+(5/4)*x2-2.4375*x==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3+(5/4)*x2-2.4375*x==0,x]{{x→-2.3067030058842137},{x→0},{x→1.0567030058842137}}ωはどれを選んでも可。ω=1.0567030058842137Print["u=",±Sqrt[ω]]u=1.0279606052199732Print["s=",4u]s=4.111842420879893Print["v=",b/2+2u2-c/(8u)]Print["r=",b/2+2u2-c/(2u)]v=3.3634060117684275r= 3.3634060117684275Print["2u+s=",2u+s]Print["2v+r=",2v+r]2u+s=6.167763631319842v+r=10.090218035305282Print["2u-s=",2u-s]Print["2v-r=",2v-r]2u-s=-2.05592121043994652v-r=3.3634060117684275Print["t1=",(-(2u+s)+Sqrt[(2u+s)2-4*3*(2v+r)])/(2*3)]t1= -1.0279606052199732+1.5187833966317295*IPrint["t2)=",(-(2u+s)-Sqrt[(2u+s)2-4*3*(2v+r)])/(2*3)]t2= -1.0279606052199732-1.5187833966317295*IPrint["t3=",(-(2u-s)+Sqrt[(2u-s)2-4*1*(2v-r)])/(2*1)]t3=1.0279606052199732 +1.5187833966317297*IPrint["t4=",(-(2u-s)-Sqrt[(2u-s)2-4*1*(2v-r)])/(2*1)]t4=1.0279606052199732 -1.5187833966317297*Iz=1/2Print["x1=",z+t1]Print["x2=",z+t2]Print["x3=",z+t3]Print["x4=",z+t4]x1=-0.5279606052199732+1.5187833966317295 *Ix2=-0.5279606052199732-1.5187833966317295*Ix3= 1.5279606052199732+1.5187833966317297*Ix4=1.5279606052199732 -1.5187833966317297*IKleinSolve[x4-2 x3+4 x2-3 x+12==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x4-2 x3+4 x2-3 x+12==0,x]{{x->-0.5279606052199732-1.5187833966317297*I},{x->-0.5279606052199732+1.5187833966317297*I},{x->1.5279606052199732 -1.5187833966317297*I},{x->1.5279606052199732 +1.5187833966317297*I}}x1=-0.5279606052199732+1.5187833966317295 *Ix2=-0.5279606052199732-1.5187833966317295*Ix3= 1.5279606052199732+1.5187833966317297*Ix4=1.5279606052199732 -1.5187833966317297*I7.5次方程式の歴史Mathematicaによる5次方程式解法の事始めを記述した、その中で16世紀のイタリアでニッコロタルタリアNiccolo Tartaglia(1500年–1557年)の3次方程式の解法が完成してから、幾多の数学者が5次方程式の解法に挑んだが、全て水泡に記した。しかしエヴァリスト・ガロアEvariste Galois1811.10.25-1832.5.31のガロアGalois理論で光明が見え、それを元にシャルル・エルミート Charles Hermite 1822.12.24 – 1901.1.14とF.クラインFelix Klein1849.4.25-1925.6.22の研究で、最後の難関5次方程式の解法であるHermite形式とF.クライン形式を我々は手に入れ、5次方程式が解かれる事が分かった。それは16世紀のニッコロタルタリアの時代からほぼ400年かかっている。今回は、それに至る5次方程式解法の土台となった楕円関数elliptic functionsの歴史を記述した。楕円関数elliptic functionsの歴史　カール・フリードリヒ・ガウスKarl Friedrich Gauss (1777-1855)とアドリアン・マリー・ルジャンドルAdrien -Marie Legendre(1772-1833)は、1800年頃に楕円積分を研究した。その後、ニールス・ヘンリク・アーベルNiels Henrik Abel 1802.8.5-1829.4.6とカール・ヤコビKarl Jacobi(1804-1851)は、楕円積分の逆関数を求めると興味深い関数が得られる事を発見した。「楕円」積分という名称は、楕円の弧長が楕円積分で与えられる事に由来している。ヤコビとアーベルは共に、これらの逆関数が二重周期性を持つ事と、そしてこれが真に特徴的な性質である事を発見した。アーベルは1827年に数学雑誌「クレレの日記mathematical journal Crelle’s Journal」に研究成果を発表した。ヤコビは1829年に楕円関数に関する最初の著書「Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticaum」を出版した。ガウスは20年前に同様の結果を発見していたが、公表しなかった。カール・ワイエルシュトラスKarl Weierstrass(1815-1897)は、複素解析と楕円関数の関係を研究した。ワイエルシュトラスはより一般的な理論も展開し、有名な楕円関数Weierstrass℘を発明した。レオンハルト・オイラーLeonhard Euler(1707-1783)とヤコビ・ベルヌーイJacobi Bernoulli (1654-1705)はシータ関数theta functionsを研究した。楕円関数を五次関数の理論に初めて用いた数学者は、シャルル・エルミートCharles Hermite(1822-1901）、レオポルド・クロネッカーLeopold Kronecker（1823-1891）、フランチェスコ・ブリオスキFrancesco Brioschi(1824-1897）、そしてポール・ゴルダンPaul Gordan（1837-1912）と複数の数学者がいた。エルミート、クロネッカー、ブリオスキは同じ手法を用い、同様のアイデアを持っていた。エルミートはこれらのアイデアを最初に発表した。五次方程式を解くこれらの方法は、ドイツの数学者フェリックス・クラインFelix Klein 1849.4.25-1925.6.22によって、1884年に出版された有名な著書「二十面体に関する解説Vorlesungen über das Icosahedron」の中で検討された。この本でクラインはエルミート法とゴルダン法を検証し、その結果をより明瞭にした。クラインは二十面体を分割する様々な方法と、それらが五次方程式を解く為にどのように用いられるかを検証した。この本は、ジョセフ・ルイ・ラグランジュJoseph Louis Lagrange 1736.1.25-1813.4.10の「代数方程式の解法に関する考察　Réflexions sur la résolution algèbrique des équations（1770-71）」と比較する事ができる。ラグランジュは五次方程式を解く為のこれまでのあらゆる試みを検討したが、当時はそもそも方程式を解く事が可能かどうかさえ確信が持てなかった。約100年後、クラインは五次方程式を解く為のこれまでの手法を全て検討した。ルートヴィヒ・キーパートLudwig Kiepert(1846-1934)は楕円関数の理論において多くの公式を発見した。ルートヴィヒ・キーパートが五次方程式を解くアルゴリズムは1883年に発表した。19世紀には、ガロア理論と特殊関数の理論の両方で多くの事が起った。群論Group theoryが発展し、現代的な形が与えられた。特殊関数を用いて五次方程式を解くためのより多くの方法が開発されている。コンピュータの発達により、反復法で多項式方程式を解く為の、より多くの、より優れたアルゴリズムが生まれている。ジョージア大学Georgia Universityのロドニー・キャンフィールドRodney Canfieldとブルース・キングBruce Kingとは1980年代にキーパートのアルゴリズムをマイクロコンピュータに実装した。商用数学ソフトMathematicaは1994年に五次方程式を解くエルミートのアルゴリズムを実装した。今はMathematicaで一般5次方程式をHermite形式とF.クライン形式で解ける。クロネッカーは、楕円関数を持つ任意の多項式の根を表す一般的な定理が存在すると考えていたが、そのような定理は見つけられなかった。しかし、1983年に梅村浩はn次方程式の一般的な公式を証明した。ワイエルシュトラスの楕円関数Weierstrass℘の研究論文は多数有り、MathematicaのURLにはそれらが多数掲載されている。いずれTschirnhausTransformation、シータ関数theta functions、.楕円関数elliptic functions、正二十面体群Icosahedron group等が5次方程式解法の手掛かりとなり得る。完
- Mathematicaで5次方程式の考察事始めVol.6
  Mathematicaで5次方程式の考察事始めVol.5からの続き5.3次方程式の新しい解法前述では3次方程式を手短にF.クライン形式で解を出したが、3次方程式解法の一つを取り上げた。3次方程式はdel Ferroデル・フェロによってx3+ax=bが導入された。Niccolo Tartagliaニッコロタルタリアはより難易度の高い3次方程式、つまり「平方と立方を数に等しくする」、x3+ax2=bに辿り着いた。ここでは、簡約5次方程式の因数分解できた3次方程式を、Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2で記述したFrançois Vièteフランソワ・ヴィエトの手法を取り入れて一般3次方程式の解を求める。具体的には微分と逆三角関数を使う。前述した3.係数が2個欠落した5次方程式簡約5次方程式3.2.x5-4x3+12x+16=0x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0これはx4とx2の項が欠落している。a4=0a3＝-4a2=0a1=12a0=16Factor[x5-4x3+12x+16](2+2 x+x2)*(8-2 x-2 x2+x3)ここで3次方程式を解く。f(x)=x3-2 x2-2x+8=0f(z)=z3-2 z2-2z+8=0上式を微分する。Print["f′(z)=",D[z3-2 z2-2z+8, z]]f (z)=z3-2 z2-2z+8上式を2回微分する。Print[f″(z)=", D[z3-2 z2-2z+8, {z,2}]]f′(z) =-2-4 z+3 z2f″(z)=-4+6 z2回微分を0とする。Solve[-4+6 z==0,z]z=2/3Print["f(z)=",z3-2 z2-2z+8]Print["f′(z)=", -2-4 z+3 z2]Print["f″(z)=",-4+6 z]f(2/3)=164/27f′(2/3)=-(10/3)f″(2/3)=0z=2/3f(z)=164/27f(2/3)=164/27f′(z)=-(10/3)f′(2/3)=-(10/3)f″(z)=0f″(2/3)=0z=2/3f(z)=164/27f′(z)=-(10/3)Print["R=",-f(z)/2]Print["R=",-(164/27)/2]Print["Q=",f′(z)/3]Print["Q=",-(10/3)/3]R =-(82/27)Q=-(10/9)z=2/3Print["θ=",ArcCos[R/Sqrt[(-Q)3]]]Print["θ=",ArcCos[N[R/Sqrt[(-Q)3]]]]θ=ArcCos[-(41/(5Sqrt[10]))]θ= 3.14159 -1.60654*IPrint["x3=",2Sqrt[(-Q)]Cos[θ/3]+z]Print["x1=",2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+2π)/3]+z]Print["x2=",2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+4π)/3]+z]x3=1.875550351188017 +1.0251175321749264*Ix1=-1.7511007023760334+1.449619028543347-16*Ix1≈-1.7511007023760334x2=1.8755503511880152 -1.0251175321749268*Ix2とx3は近似複素共役と云える。HermiteQuinticSolve[8-2 x-2 x2+x3==0,x]//N//Chop//SortNSolve[8-2 x-2 x2+x3==0,x]//ChopKleinSolve[8-2 x-2 x2+x3==0,x]//N//Chop//SortNSolve[8-2 x-2 x2+x3==0,x]{{x→-1.7511007023760334},{x->1.875550351188017 -1.0251175321749264*I},{x->1.875550351188017 +1.0251175321749264*I}}続編：Mathematicaで5次方程式の考察事始めVol.7
- Mathematicaで5次方程式の考察事始めVol.5
  Mathematicaで5次方程式の考察事始めVol.4からの続き従って、(4.1)の主5次方程式(4.1)の1つの根は、(4.11)で規定された条件を満たす限り、(4.18)から容易に抽出できる事に注意する。また、(2.18)は与えられた5次方程式(4.1)の係数(a)を1つだけ含んでいる事にも注意する。x5+ 5x2+ 6x + 24 = 0(4.1)x5+ ax2+ bx + c = 0従ってa=5b=6c=24になる。(4.9) f = (a/5)1/3/2上式からf = 0.5になる。(4.6) g = −5f上式からg = -2.5になる。(4.11) c = 12(a/5)5/3+ 2b*(a/5)1/3上式は両辺とも24になる。5次方程式の係数c=24で、右辺にa=5、b=6を代入すると24になる。(4.18)x0= −2(a/5)1/3上式から5次方程式の実根はx0=-2なる。残りの根4個は4次方程式から求められる。(4.17) (u − g)*(u4+ 10u2*f2+ 85 f4+ b) = 0ここで(u4+ 10u2*f2+ 85 f4+ b)= 0上式にf,bを代入すると、u4+2.5u2+11.3125 = 0となる。KleinSolve[x4+2.5x2+11.3125==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x4+2.5x2+11.3125==0,x](*{{x->-1.0279606052199732-1.5187833966317297*I},{x->-1.0279606052199732+1.5187833966317297*I},{x->1.0279606052199735 -1.5187833966317297*I},{x->1.0279606052199735 +1.5187833966317297*I}}*)従って解はu1,u2=±(1.027960605219973+1.5187833966317297*I)u3,u4=±(1.027960605219973-1.5187833966317297*I)Subsequently the four roots are obtained as:続いて、4つの根は次のようになる。u1,u2= ±(1.027960605… + 1.518783396...*I)u3,u4= ±(1.027960605…− 1.518783396...*I)x = u + f,上記の根から、xの根はx = u + fを通じて得られる。f = 0.5x1,x2= 0.5 ±(1.027960605...+ 1.518783396...*I)x3,x4= 0.5 ±(1.027960605...− 1.518783396...*I)(4.11) c = 12(a/5)5/3+ 2b*(a/5)1/3これは条件(4.11)を満たす。(4.18)から、x0= −2という根が得られる。残りの4つの根は、(4.17)の双4次項を0とみなし、2次方程式の公式を用いて解く事で決定できる。その為には、まず(4.9)からfを次のように決定する：f = 0.5これを解くと、2つの根が決定される：u2= −1.25 ± 3.122498999...*Ix5+a2x2+a1x+a0=0x5+5x2+6x+24=0この方程式は係数がa2=5、a1=6、a0=24になる。5次方程式の解はx0=-2x1=-0.527960605-1.518783396*Ix2=-0.527960605+1.518783396*Ix3=1.527960605-1.518783396*Ix4=1.527960605+1.518783396*Iになる。これは実根と二組の複素共役根であった。続編：Mathematicaで5次方程式の考察事始めVol.4

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