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座らない。
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13Feb
- 横浜金沢区の色相環事始め
  はじめに　数学ソフトMathematicaの関数ParametricPlot3Dでもバラを可視化できる。詳細は横浜金沢区の植物の数学Ⅱに記載した。色は赤色が目立つ。当然Mathematicaでは黄色、青色等で記述できるが、赤色に比べると冴えない物に見えてしまう。実際の薔薇も赤色を使用した。スーパーの野菜でもβカロテンの人参が緑色の胡瓜より目立つ。そこで、八景島の薔薇を撮影してきて、Mathematicaの薔薇画像がどの程度か比較検討を行った。更に、横浜金沢区の紅葉では文字通り目立つ金沢区内及び周辺で紅葉を記載した。また、道路信号機の青、黄色、赤色があり、最近はLEDが使用される。信号機の青色は青ではなく、緑色。LEDは最初に赤色が開発された。これには理由がある。他の色に比べて材料が安く入手でききる、製造工程が簡単、品質が一定している、安価である。その後、黄色、橙色、緑色のLEDが徐々に開発された。最後に残ったのが青色だ。エネルギーバンドギャップが高く実現不可能と思われていた。実現できたのは量子物理学と新素材開発のおかげ。赤色LEDは材料が入手し易く、工程も単純で一番安価。しかし青色は高い。赤色LEDが一山いくらの世界だが、青色LEDは百倍位する。趣味で電子機器を製作していて、青色LEDを使っている。夜中はこれが輝いて眩しい。信号機も実際に青色LEDを使用したら眩しくて直視できない。従って緑色LEDが使われる。この方がコストが遥かに安い。黄色は橙色。また、手術医の衣も白ではなく、赤の補色に当る緑、青色の衣を着用している。そもそも色に関しては、人間が色認識を獲得した歴史から述べなければならない。赤だ、青だ、紫色だと云ってもそれぞれの可視光の波長が目から脳へ伝達されて色が認識される。人間の色認識は生物進化の過程で獲得した。6、000万年に猿に進化して得られた。餌の果実が食べ頃になるのは、色認識が必須である。そうでないと、未だ熟していない果実は有毒物質が含まれている、まずいので食べられない。生物進化過程で得た物もあるが、代償で失った物もある。この場合色認識を得た代わりにフルクトースは体内で生成する事は出来なくなった。フルクトース（果糖）は果実から得る事になった。食べ物として摂取されたデンプン、スクロース等は各種酵素による分解によってグルコース（ブドウ糖）となり、生物のエネルギー源となる。ただ、現代人はこれを取り過ぎて病気になる。グルコースは血液、脳脊髄液、リンパ液中に少量、糖尿病患者の尿中に多量に存在する。ここでは色相環について記述する。参考文献　生物学辞典　東京化学同人シリーズ物　横浜金沢区のデジタル倭姫・薔薇編　横浜金沢区の植物の数学Ⅱ　横浜金沢区の紅葉色相環hue circle：色相を具体的に示す為に、色相が系統的に異なる色票を環状に並べたもの。色覚color vision：　色感覚colorsense,color sensationとも云う。光の波長の違い（色の違い）により生じる感覚、あるいはそれを感知する機能。脊椎動物中、最も色覚が発達しているのは霊長類、鳥類、硬骨魚類等で、これらの動物の網膜を微小電極を使って調べてみると、それぞれ赤や緑や青の波長域に最大感度を示す3種類の錐体が網膜に存在する事が明らかにされている。しかし、動物の中にはハツカネズミやハムスター、コヨーテ、アシナシトカゲ、アフリカツメガエルのように色覚がない事が確かめられたものや、リスのように二原色からなる色覚をもっている事が確かめられたものもある。また、無脊椎動物では昆虫類の中にチョウやハチのように色覚をもつものがある。昆虫類の色覚は脊椎動物より短波長側にずれていて、視細胞はそれぞれ緑や青や紫外部の波長域に最大感度を示す3種類に分けられる。ヒトでは、長波長の赤と短波長の青を混ぜると紫purpleという色として感じられ、これは緑と補色関係になるが、ミツバチでも紫外線と緑を混ぜると「ミツバチすみれ」と呼ばれる色になり、これは青と補色関係にある事が行動実験で確かめられている。我々が見ている自然界の花、例えば白い色の花でも、紫外線の反射、吸収の程度が異なるものは、昆虫には異なる色の花として見えているに違いない。密を出す花の中央部は、紫外線をよく吸収し、昆虫はこれに誘われて密を探すのでみつ標と呼ばれる。　　　　　　　　　　　　　　　ヒトの色覚：ヒトの色覚の場合、青（波長420nm）、緑（531nm）、赤（558nm）の光に最も強く反応する3種の錐体細胞の受容した刺激が、網膜内の双極細胞や神経節細胞での反対色増強の修飾作用を経た後、大脳視覚野に伝わり色覚が生じる。感知される色合いを色相と呼び、x軸に赤、y軸に緑の相対的な強度を示した色度図によって定量的に表現できる。ヒトは波長が約400～800mμの光（可視光線）が網膜を刺激すると色を感じる。色を感じるのは、網膜にある2種類の視細胞、杆体、錐体の内錐体の方である。錐体は網膜の中心部に分布し、明るい所で感じる。従って、色覚は明るい所では良好であるが、暗い所では不良となる。色覚は、色調、明度および飽和度の3要素に分ける事ができる。色調は可視光線の波長の差によって生ずるもので、長い波長から赤、橙、黄、緑、青、青紫となり、青紫と赤の間に紫を加えて連続させたものを色相環という。紫は、実在の波長と対応しない感覚上の色であり、この色によって色相環が成りたっている。色相環で向かいあっている色は互いに補色になっている。光の放射の多少によって明るい色と暗い色とになるが、この各色彩に対する自覚的な明るさを明度という。明るい所では黄緑がもっとも明るく、黄昏時には青緑がもっとも明るく感じる。この現象をプルキンエ現象Purkinje’s phenomenonと呼んでいる。単純光線に白、灰色、黒などの無彩色を混ぜると白っぽくなったり、黒っぽくなったりする。このように色が薄められたような感じを不飽和になったと云い、色調の純粋度の程度を飽和度と云う。色覚の学説としては、網膜の錐体には、赤、緑、紫の色によりそれぞれもっとも強く興奮する三つの要素があり、その興奮する割合によって色の感覚が生ずるというヤング=ヘルムホルツの三要素説が有力である。色覚の検査方法としては、異常の検出には仮性同色表である色盲検査表、異常の型の分類にはアノマロスコープおよび異常の程度の判定には色相配列検査であるパネルD‐15、100hue検査などがある。異常の程度の判定には、色の名を答えさせるランターン試験もある。色覚の異常としては、先天性色覚異常は色覚の発育不全と考えられており、後天性色覚異常は、網膜や視神経の疾患により錐体の機能が低下した場合に見られる。　画像情報では色相環はcolor wheelと云う、そのものずばりの単語である。数学ソフトMathematicaでcolor wheelを記述した。In[]:DensityPlot[Arg[x+I y],{x,y}\[Element]Annulus[{0,0},{0.75,1}],Exclusions→None,ColorFunction→Hue,ImageSize→1420,PlotPoints→100,MaxRecursion→3,Frame→False]Out[]:環状の対角にある色が補色に当る。赤の対角は青と緑の境目を指している。信号機と手術医の衣は科学の常識で、迷信、俗説では無く、理にかなっている。1.薔薇　　素材に使うバラの写真を撮りに八景島へ出掛けた。横浜金澤七福神巡りのゴールは三角ピラミッドの八景島であり、毎年水族館カレンダーを貰ってくる、計14枚。それから、八景島には、豆桜に始まり、薔薇、紫陽花と年5回は訪れている。横浜金沢区のデジタル小町桜で使用した小袖に横浜金沢区で撮影した薔薇を貼り付けた（テキスチャレンダリング）。小町桜に比べて誰も知らない倭姫の名前を付けた。八景島のバラ園を歩いていると、プリンセスPrincessの名を冠したバラが多い。そっちがプリンセスなら、こっちは倭姫だ。日本武尊ヤマトタケル（倭建）が叔母に当たる伊勢神宮・斎宮の倭姫ヤマトヒメ（倭比売）から草薙剣（くさなぎのつるぎ）を拝領した。倭比売は景行天皇の妹。斎宮は天皇の娘が担当する伊勢神宮の神官で天皇の皇位継承に大きな影響力を持っていた。しかし景行天皇の時代には伊勢神宮は存在していなかった。伊勢神宮の形ができたのは壬申の乱以降。古事記は物語で歴史的資料である。神官は元々、神と人との間に介在して神意を人々に伝達する役柄であった。時代が下って今は、絵馬を売ったり、七五三行事、境内の掃除等を行っている。これらは本来の仕事ではない。本来は憑依を司どる者である。中国では巫（ふ）（女性）および覡（げき）（男性）の語を用いる。日本でもこれに準じ、一般的に、巫は巫女と記載される。邪馬台国の女王卑弥呼に代表されるシャーマンを主体とする流れが，歴史を貫いて現在に及んでいる。東北地方のイタコ、ゴミソと南西諸島のユタがシャーマン的性格･役割を有すると見られている。多くは女性であり、特にユタは長女が代々役割を継承する。家の男はサポート役である。実際の薔薇は赤色で、色相環で補色に当る緑色の小袖。　バラRose薔薇　バラは八重咲きの花でこれを近似する。数学ソフトMathematicaIn[]:rose[x_,theta_]:=Module[{phi=(Pi/2) Exp[-theta/(8 Pi)],u=1-(1/2) ((5/4) (1-Mod[3.6 theta,2 Pi]/Pi)^2-1/4)^2,y,r},y=1.95653 x^2 (1.27689 x-1)^2 Sin[phi];r=u (x Sin[phi]+y Cos[phi]);{r Sin[theta],r Cos[theta],u (x Cos[phi]-y Sin[phi])}]ParametricPlot3D[rose[x,theta],{x,0,1},{theta,-2 Pi,15 Pi},PlotPoints→{100,2304},PlotStyle→{Red,Specularity[White,800]},Mesh→{10,8},PlotTheme→{"NoAxis","Zmesh"},Lighting→"Neutral"]Out[]:※水平方向※垂直方向バラ八景島　2024年5月17日上記の写真にrose水平方向を重ねた。2.紅葉赤色の紅葉を記述した。色相環の観点からすれば、赤だけでは無く、緑、黄色も欲しい。小倉山　峰の紅葉葉　心あらば　今一度の　行幸待たなむ　　　　　　　　　　　　　　　藤原忠平　　　（拾遺和歌集）　菅原道真は左大臣藤原時平の策動で、太宰権帥に左遷され、心なずも大宰府に流され、この地で亡くなる。享年59歳（903年）。その後、時平の家系は断絶し、時平の弟忠平が藤原氏の氏の長者を継承し、藤原道長、藤原定家を輩出した。藤原忠平の政治、文学等の評価は兄が消えたの自動的にお鉢が回って来ただけで、高く無いと云われているが、そうでは無い。この歌は如何にも大貴族の大らかさ、豪快さが伝わってくる。北野天満宮は元々藤原忠平の別荘であった。菅原道真と懇意であったので、菅原道真を祀る社を提供した。それが今日迄続く北野天満宮である。円海山　2019年12月8日円海山　2013年11月29日富岡東　2022年12月19日　※紅葉特有の葉の切込が見られる。ドウダンツツジEnkianthus perrulatus灯台躑躅　山地の主に蛇紋岩地帯に自生するツツジ科の落葉低木。輪状に分枝する多くの小枝をだして横に広がり、高さ1~2m。葉は枝先に輪生状に互生し、長さ2~4cm、幅1～1.5cmの倒卵形。先は尖り、縁に細鋸歯がある。春、若葉の下に長さ7~8mmの壺形の白色の花を散形状に吊り下げる。花冠は長さ約8mm、先は浅く5裂する。おしべ10本。葯の先に2本の角状突起があり、先端で開孔する。堕果は上向きに付き、。狭長楕円形で長さ約8mm、5裂する。和名は（灯台ツツジ）の意で，枝の分かれ方が結び灯台の脚に似るのでいう。葉の幅が広い物をヒロハドウダンツツジvar,japonicusと云う。ドウダンツツジの仲間は紅葉が美しい。楓の紅葉と時期が重なるのが絶妙のタイミング。樹形がまとまりよく伸びるので、公園等でよく刈込まれているが、自生状態の方が見栄えがする。用途：庭木。分布：本州（房総半島南部、天城山以西）、四国、九州。金沢緑地　2022年12月14日完
11Feb
- 横浜金沢区の鳥媒花
  はじめに　ここでは、花の花粉を運ぶ事を媒花と云う。花の花粉を運ぶ代表例はミツバチが有名である。これを虫媒花と云う。生物環境の科学では虫の出現しない早春に花の花粉を運ぶものを鳥媒花と云うが、一般的には馴染みが無い。早い時期なので、梅、早咲きの河津桜、豆桜等に来るメジロが対象になる。市街地の金沢区でもメジロは見かけるので、撮影は容易である。万葉集に記載された鳥では多い順に霍公鳥（ホトトギス）153首、雁（ガン）67首、鶯（ウグイス）51首、鶴（ツル）47首、鴨（カモ）43首、千鳥（チドリ）23首である。ホトギスが群を抜いて多い。多い理由は憶測でしかないが。1.よく通る声で鳴き、遠くまで聞こえる。2.鳴き声に特徴があり、他の鳥と区別できる。3.鳴く時期に、季節感がある。スズメのようにのべつくまなく始終鳴いている訳ではない。ホトトギス：初夏に早朝暗い内から、よく通る声で鳴き出す。暗い内から鳴く事が重要で、万葉人は、闇の中の声は異界との接点であるとの認識を持った。ホトトギスの姿は地味で見る事はない。見えない事が重要で、より鳴き声が強調される。カモ、ガン：晩秋、初冬に渡って来る。田んぼ、池で結構大きな声で鳴く。小さいのが鴨、大きいのが雁で、北帰行は雁が編隊を組んで北へ帰る姿を云う。今は見られなくなった。ウグイス：春、初夏に鳴き出す。これを初音と云う。姿は見せない。従ってより声が強調された。花札で梅に鶯。地味で俗に言う鶯色で全く目立たない。梅、早咲き桜の河津桜、豆桜の密を吸いに来るメジロはよく目立つが、万葉集に一首もない。当たり前過ぎて詠む対象にならなかったか。メジロ Japanese White-eye　花の蜜を好む。黄緑色で目のまらりが白い小さな鳥。東アジアの温帯から亜熱帯に分布し、日本ではほぼ全国で留鳥として繁殖するが、北日本には少ない。西南日本では各地の鳥を含め、至る所に多い。島に棲む鳥は数亜種に分けられる。生活：平地から山地迄の色々な林に棲息するが、よく茂った常緑広葉樹林を最も好む。小枝から小枝へと活発に移動しながら葉の茂みの中の昆虫や蜘蛛を捕らえて餌にする。秋冬には木の実もよく食べ、木の花の密もよく吸う。破椿の花には大量の密があり、メジロやヒヨドリがこの密を吸うと鳥の顔に沢山の花粉が付き、それが他の花に運ばれる（媒介）。ヒヨドリは密を吸っているメジロをけちらしにやって来る、花の蜜は貴重な資源の証でもある。繁殖期にはつがいで縄張りを持ち、股になった声だから、蘇類や枯草で作った椀形の巣を蜘蛛の巣で吊り下げる。産卵期は5~6月、卵数は4~5個、抱卵日数は11~12日位、巣立ち迄の日数は11~13日位である。巣立ち雌は体をくっつけて枝の上に並んで留まる。つがいも体を接して枝に留まり、お互いに羽づくろいをする事がある。秋から冬にかけては10~30羽位の群れで行動し、しばしばカラ類（シジュウカラ等）の混群と合流する。花粉の事始め：種子植物の葯から産出される粒状の雄性配偶体。従って、2細胞以上からなる多細胞体を指し、胞子特有の外壁を持つのが特徴である。個々の粒子を花粉粒（pollen grain）、花粉粒の集合物を花粉と呼んで区別する場合もある。花粉粒の大きさ、形、外壁の模様（彫紋）は種や属によって異なる。長径は5~200μm程度で、色はカロテノイドやフラボノイドを含む為に、黄色が多いが、白、赤、緑色等もある。外壁は、主成分のスポロポレニンが分解されにくい為に、化石となって残るので、花粉から元の植物を推定する事ができる。しいては植物の棲息していた年代が分かり、当時、他にどんなものがいたかも分かる。これを花粉考古学と云う。また、含有成分に糖、タンパク質、脂質、ビタミン等が豊富に含まれている為に、昆虫等の食糧となるだけではなく、ヒトの栄養食品としても商品化されている。一方で、花粉症の原因となる花粉アレルゲンも含まれている。アレルゲン：アレルギーの原因となる抗原をアレルゲンという。非自己 non‐self の物質は全て抗原として作用する可能性があるが、特に I 型アレルギーの病因的抗原としては、吸入性抗原として室内塵（その主要抗原としてのダニ）、花粉（木の花粉としてはスギの花粉、草の花粉としてはイネ科の植物、ブタクサ、ヨモギ、カナムグラなど）、カビ類（カンジダ、アスペルギルス、アルテルナリア、ペニシリウム、クラドスポリウムなど）、動物の毛あか、植物繊維などがある。食事性抗原では、卵白、牛乳、ラッカセイ、そば、サバ、サンマ、たけのこ、ナスなどがある。薬物抗原としては、ペニシリン、セファロスポリン、アスピリンなどが重要である。　参考文献　山渓セレクション　日本の桜　　山と渓谷社　山渓カラー名鑑　　日本の樹木　山と渓谷社　山渓カラー名鑑　　日本の野鳥山と渓谷社　生物学辞典　　　　　　　　　東京化学同人　日本古典文学大集2　万葉集一　　小学館　日本古典文学大集3　万葉集二　　小学館　日本古典文学大集4　万葉集三　　小学館　日本古典文学大集5　万葉集四　　小学館シリーズ物　横浜金沢区の桜　横浜金沢区の樹木紅梅金沢区　2021年2月3日白梅金沢区　2021年2月3日ウメ Prunus mume 梅　庭や畑で栽培されるが、時に暖地で野生化している。梅が伝来したのは650~700年頃である。万葉の時代は梅と言えば全て白い花と相場が決まっていた。紅梅は未だ中国から入っていない。万葉集に梅の歌が122首収められいる。かなりの数だ。それも色々な場面で詠まれている。梅は中国の詩文に古くから掲載されている。従って万葉人にとって、梅の歌は教養のステータスシンボルであった。奈良時代前にはすでに植栽され、紫宸殿の前庭に植えられていたが、947年（天暦1）のころにはサクラと替わった。また万葉集にウメが詠まれた歌が、鎌倉時代の新古今和歌集では、本歌取りでサクラに替えた例があり、ウメからサクラへと日本人の好みの変化が起こったらしい。　菅原道真と梅　平安時代に紅梅がようやく入って来た。　うつくしや　紅の色なる　梅の花　阿呼が顏にも　つけたくぞある　この歌（うつくしや）は伝説による。阿呼は菅原道真の幼名で、5歳の時、自分の家の庭に咲いている紅梅を見て、この歌を詠んだ。当に、栴檀は双葉より芳し。849年の事。その後、北野天満宮等に梅が植えられている。　東風吹かば　にほひ起こせよ　梅の花　あるじなしとて　春を忘るな　　　　　菅原道真　　　　　　（拾遺集）　東風は春に吹く東の風。左大臣藤原時平の策動で、太宰権帥に左遷され、心なずも大宰府に流され、この地で亡くなる。享年59歳（903年）。その後、時平の家系は断絶し、時平の弟忠平が藤原氏の氏の長者を継承し、藤原道長、藤原定家を輩出した。北野天満宮は元々忠平の別荘であった。菅原道真と懇意であったので、菅原道真を祀る社を提供した。それが今日迄続く北野天満宮である。　源氏物語に梅の枝に止まった鶯の初音の話があるが、これは作り物の鳥。　初音　とし月を待つにひかれてふる人に今日うぐいすの初音聞かせよ　　　　明石上　待つ事に誘い寄せられて、過ごして居る老人（私）に、元日の今日は、鶯の初音ーあなたの初（はつ）の御便り（音）を聞かせて下さい。「まつ（松）にひかれて」の「松」は「小松」で「姫君」に、又「松」に「待つ」を、「ふる」に「経る」と「古」を掛けた。「ひかれ」は小松の縁語。「姫君」は光源氏と明石上の娘。明石姫君は八歳。将来、明石姫君を中宮に推挙する為に養母を紫上とした。仮の形の養女にするのではなく、幼い頃から中宮に必要な教養、知性を教え込んだ。これは光源氏の布石。紫上は藤壺中宮の姪。そう云う事で、明石上は母親でありながら、我が子に滅多に逢えない。俳句では馬鹿の一つ覚えで、初音=鴬とある。源氏物語ではそのような上辺の事では無く、このように奥深い人間関係が隠されている。よって、千年読み語り継がれている。源氏物語の補足：横浜金沢区の植物の万葉集　Vol.13に記載した。紫色は、また、平安時代に〈ゆかりの色〉と呼ばれた。それの由来を《古今和歌集》の〈紫のひともとゆゑにむさし野の草はみながらあはれとぞみる〉に求める説明が普通に行われているが、紫色のもつ位階･身分の尊貴性と、〈ゆかり〉（血縁とか，仏教語の縁とか，なんらかの必然的な繋がりとかの意味で用いられた）の思想性との一致は、《源氏物語》の中にその典型が見い出される。桐壺帝（光源氏の父君）、桐壺更衣（光源氏の母君）、藤壺女御後中宮（源氏が生涯にわたり思慕しつづけた桐壺帝の后）、紫上（源氏の最愛の妻、但し本妻ではない。本妻は葵上と女三の宮）は、全て紫色に関わりがあり、かつ血縁的にも容貌的にも深い関わりをもっている。源氏物語の最重要人物は、全て光源氏の母親である桐壺更衣の親族である、藤壺中宮、紫上、浮舟になる。当時の天皇を頂点とした身分制社会では、血統が全てであり、当然の事である。源氏物語は日本文学ではあるが、皇族、貴族の○○の但し書きが付く。当時、学校等は無いから、庶民は読み書きができないし、当然源氏物語の存在すら知るすべもない。〈紫のゆかり〉あるいは〈ゆかりの色の紫〉という思想は，やはり平安摂関宮廷知識人が抱懐した世界観や価値意識の反映と見るのが最も適切と思われる。最重要人物の二人、藤壺中宮と紫上はルイスキャロルの小説である鏡の国のアリスのキラルに相当する。アリスが猫に向かって鏡の中のミルクを飲めないかもと云う。これを源氏物語に当てはめると、光源氏が藤壺中宮をどんなに恋焦がれていても手にする事はできない。一方、紫上は鏡に入っていない。ルイスキャロル（Lewis Carroll）1832-1898はペンネームで本名はドジソン CharlesLutwidge Dodgsonでオックスフォード大学（Univercity of Oxford）の論理数学者。本職の論理数学を駆使して、本名からルイスキャロルを編み出した。　梅に鶯は花札の世界だけ。梅の木に来るのは、メジロ、ジョウビタキ等。メジロは花の蜜を吸いにくる。同時に嘴周辺が花粉まみれになり、花粉の送粉者で、木と鳥の共生関係。若枝は緑色で無毛。葉は互生し、長さ4~9cmの倒卵形～楕円形で、先端は尖る。縁に細かい重鋸歯があり、両面と葉柄に微毛がある。花は2~3月、葉に先立って開き、通常白色だが、紅色、淡紅色のものもある。香りがある。花弁と萼片は5個。雄蕊は多数で、花弁より短い。雌蕊は1個で、子房に蜜毛がある。果実は直径2~3cmのほぼ球形で、表面に蜜毛が生え、片側に浅い溝がある。6月頃、黄色に熟す。果肉は酸味が強い。核はやや扁平な楕円形で、核面には穴が多い。果実を梅干しや梅酒にする他、仁を薬用に使う。中国において、ウメが早春の花として観賞され，詩歌の題材とされるようになったのは後世のことで、古くはその果実に関心があり、スモモ、アンズ、モモなどとともに野生の実が採取され、また詩経（国風）の僅有梅の詩に歌われたように，春の歌垣に際し、男女がウメの実を投げて配偶者を求め、また愛情のあかしとして贈答する風習があった。果実は保存食となり、またその酸味が調味料として用いられたので塩梅（あんばい）の語もある。熟れかけの実を籠に盛り、煙突の煙でいぶして薫製にしたものを烏梅として薬用にする。青梅は塩漬にした後に日に乾かしたものを白梅または梅脯（ばいほ）という。ウメは中国語のメイから転訛したとか、鳥梅から転訛だとか、朝鮮語のマイに由来するとかの俗説がある。中国では人の名前に梅が付くと女を表す。京劇の女形の名優：梅蘭芳。用途：庭木、公園樹、盆栽、花材、器具・彫刻材。分布：中国中部（四川省から湖北省）原産。ボケ Chaenomeles speciosa 木瓜高さ1～1.5mほどになるバラ科の落葉低木。中国原産で、日本には平安時代に渡来し、広く庭木として植えられているが、九州などには野生化している。。中国名は貼梗木瓜。地下茎はひかない。互生する葉は楕円形または長楕円形で、細かい鋸歯があり、枝には刺がある。雌雄同株。新年早々の1~2月、径2～3cm，深紅色の花が咲き、花数及び蕾が多数付くものもある。花弁は長楕円形から円形、雄蕊は多数、雌蕊の花柱は5本。果実は長さ8~10cmの楕円形で、8~9月に黄緑色から黄色に熟し、芳香があり（木瓜（もつか））の名で消化器系の病気に使われ、また酒石酸やリンゴ酸を含み、香りも良いので砂糖煮や果実酒にも使われる。但し、果実の付くのは極少数で大半は果実が付かない。秋、果実が黄色味がかると一つ減り、二つ減り、最後は無くなる。知っている人は知っている、知らない人は知らない。千年前から漢方薬として重宝されている。多くの園芸品種（金盃等）がある。用途：庭木、盆栽、花材。分布：中国原産。河津桜海の公園　2021年2月21日カワズザクラPrunus X kanzakura cv. Kawazu-zakura 河津桜　原木は野生状態で発見され、後に静岡県河津町に移植された。伊豆半島先端の石廊崎方面にも植栽されている。片親がカンヒザクラである事は確実。鱗片の外面の先端近くにも毛があるのは、カンヒザクラからきた形質である。もう一方の親は不明であるが、オオシマザクラであるとする説もある。高さ5~8mになり、樹皮は紫褐色で光沢がある。成葉は楕円形または楕円状倒卵形で、長さ10~12cm、幅6~7cm。先端は尾状鋭尖形、基部は普通心形、ときに円形。鋸歯は単鋸歯で多少重鋸歯が混じり、先端は鋭形でぼう状に伸びる事はない。鋸歯の先端の小腺体は紅紫色で小さい。葉の質は厚く、表面は帯黄濃緑色で光沢があり、裏面はやや白色を帯びた淡黄緑色で、主脈は淡紅紫色を帯びる事がある。葉柄は長さ約2cmで淡黄緑色、ときに紅紫色を帯びる。蜜腺は盤状で、葉柄の上端に1~2個ある。花序は散房状、ときにやや散形状で、4~5花からなる。苞は小さく長さ1.5~5mm。花柄は長さ1~1.3cm、小花柄は長さ約2cm。萼筒は筒状鐘形で紅紫色。萼片は長卵形で先端はやや鋭尖形、少数の細かい鋸歯がある。花は直径約3cm。花弁は5個。淡紅紫色、広卵形または円形で先端に切れ込みがある。蕾は濃紅紫色。花期は2月中旬～2月下旬。用途：庭木、公園。分布：伊豆半島、南関東。茜八重金沢緑地　2020年3月1日アカネヤエ Prunus incisa cv. Akane-yae 茜八重　御殿場で見つかった桜で、金沢区内では珍しい。高さ5~8mと丈が低く、樹皮は暗灰色でざらつく。成葉は倒卵形で先端は鋭形、または鋭尖形、基部は円形。鋸歯は深く切れ込む欠刻状重鋸歯。両面とも毛があり、葉柄には斜上毛が多い。蜜腺は葉柄の上端か葉身の基部にある。若芽はやや褐色を帯びた黄緑色。花序は散形状で1~2花からなり、、下向きにはならない。花弁は5~10個で淡紅色。先端の切れ込みは浅い。雌蕊は1個で、柱頭はもっとも長い雄蕊の葯とほぼ同位置にある。豆桜の重弁化した一型であるが、花が終わりに近くなると、萼筒、萼片、雄蕊及び花弁の基部が紅紫色に変わり、いわゆる花心が濃紅紫色になるという特徴が表れて来る（写真2枚目）。幹に大島桜の銘板があるが、これはテストでは25点の採点。この桜は2月下旬開花。一方大島桜は3月下旬開花。このブログ（横浜金沢区の桜）に記載したように大島桜は里桜を含め大きなグループを形成している。従ってこの桜は大島桜とは無縁ではないが、大島桜ではない。鉛筆代（板）として25点の採点。花期は2月下旬～3月初旬。用途：庭木。分布：本州（関東地方西南部）。豆桜八景島　2022年3月11日マメザクラ Prunus incisa 豆桜　木が全体に小型なので豆桜といわれている。関東，甲信地方から静岡県東部の山地に生えているが，富士，箱根地方に多いので，富士桜または箱根桜ともいわれている。和名の豆桜は小形の桜の意味。高さ3~8mと丈が低く、樹形整い、また挿し木でもよく付くので、盆栽や庭木としても広く植えられている。樹皮は暗灰色でざらつく。成葉は互生し、長さ2~5cm、幅1.5~3cm、楕円形または倒卵形で、先端は鋭尖形、基部は円形または鈍形。鋸歯は欠刻状重鋸歯で、先端は鋭形または鋭尖形。鋸歯の先端の小腺体は目立たない。表面は緑色で全面に伏毛があり、裏面は淡緑色でとくに脈上に斜上毛がある。蜜腺は葉身の基部にある。葉柄には斜上する毛が多い。花序は散形状で1~2花からなる。花は若芽が開く前に開花し、下を向いて咲く。鱗片は小さく長さ3~4mmで、紅紫色。苞は小さく長さ3~4mmで緑色。花柄はほとんどなく、小花柄は長さ8~15mmでやや斜上する開出毛がある。萼筒は暗紅紫色、筒形で長さ約5mm、無毛かまたは上部に少し毛がある。萼片は広卵形で紅紫色、縁は全縁で縁毛があり、外面は無毛かまたは下部に少し毛がある。花弁は5個で、白色または淡紅紫色、長さ1cm前後。雄蕊は萼筒とほぼ同長かまたは萼筒より長い。雌蕊は1個で花柱は無毛。柱頭は最も長い雄蕊の葯とほぼ同位置にある。果実は直径約8mm、黒熟し甘味がある。3月上旬~3中旬、直径葯2cmの花が散房状に1~3個咲く。用途：庭木、鉢植え、盆栽、花材。分布：本州（千葉県南部、関東地方西南部、山梨県、長野県八ヶ岳周辺、静岡県東部）。純白な花弁に，鮮緑色の萼をつけた緑萼桜（りよくがくざくら）や八重咲き，菊咲きなどの品種があり，本州の中部より西の山地には変種のキンキマメザクラ（近畿豆桜）var. kinkiensis(Koidz.)Ohwi が分布している。オカメ八景島　2022年3月12日オカメ Prunus campanulata x P.incisa 　英国の桜研究家Ingramが寒緋桜と豆桜を交配して作出した品種。豆桜によく似ているので、普通は区別がつかない。名前の由来が不明、お亀、岡目？　大木にならないので小庭園に向く。枝は斜上し、横に広がらない。樹皮は暗紫褐色で光沢がある。成葉は長さ5~7cm、幅2.3~2.8cm、菱形を帯びた長楕円状倒披針形、先端は漸鋭尖形で、やや尾状に伸び、基部は漸尖形またはやや鈍形。鋸歯は鋭い欠刻状重鋸歯で多少単鋸歯が混じる。表面は濃緑色で全体にまばらに毛がある。裏面は淡緑色で、ときに脈上に多少毛があるほかは無毛。葉柄は細かくまばらに斜上毛がある。花序は散形状で普通2花からなる。鱗片は小さく長さ約5mm、紅紫色で内面に長毛があり、外面の先端にやや短い縮毛がある。苞は小さく長さ約3mm。花柄は長さ約5mm、小花柄は長さ約2cmでともに無毛。萼筒は長鐘形、長さ約1cmで濃紅赤色。萼片は卵状三角形で長さ約3mm、濃紅紫色、全縁。花はやや鐘形で、下向きに咲く。花弁は5個で、紅紫色、長楕円形で先端は深く切れ込む。雌蕊は雄蕊より高く突き出る。花柱は無毛。3月上旬~3中旬、直径葯2cmの花が散房状に1~3個咲く。用途：庭木、鉢植え。分布：本州（関東地方西南部）。横浜緋桜富岡総合公園　2021年3月15日ヨコハマヒザクラ Prunus jamasakura cv. Knrokuen-kumagai X campanulata 横浜緋桜　加賀の兼六園の桜ケンロクエンクマガイと寒緋桜の雑種。高さ5~7m。樹皮は紫褐色で、かなり黒色を帯びる事が多い。枝は斜上する。花時にはまだ葉は開かない。成葉は倒卵状楕円形または倒卵状で、長さ約11cm、幅約6cm。先端は鋭尖形、基部は円形、ときに僅かに心形。鋸歯は細かい重鋸歯で、ときに単鋸歯が混じる。鋸歯の先端は鋭尖形。葉の質は厚く、表面は帯黄暗緑色、裏面はかなり白色を帯びた淡黄緑色。葉柄は長さ約1.5cmで普通暗紅紫色。蜜腺は暗紅紫色の盤状で、葉柄の上端より少し下に普通2個付く。花序は散房状で2~3花からなる。鱗片は外面の先端部にも縮毛がある。萼筒は鐘形。萼片は卵状三角形で全縁。花弁は5個、楕円形で長さ約1.5cm、紅紫色、ときに旗弁がある。花期は3月中旬。山桜金沢緑地　2023年3月16日ヤマザクラPrunus jamasakura 山桜　日本の野生桜の代表で、山地に広く自生し、古くから人々に愛好されている。ソメイヨシノが出現しなかった明治以前の観桜の主役はもっぱらヤマザクラであった。奈良県吉野が特に有名で、蔵王権現の御神木になっている。天武天皇の御代から植林され、和歌文学の大立者西行法師によって詠われている。　花をみし昔の心あらてめて　吉野の里にすまんとぞおもふ　山家集下ノ上　吉野山やがて出でじとおもふ　身を花散りなばと人やまつらむ　　　　　山家集下ノ上　高さ15~25mになり、樹皮は暗褐色。新芽は赤、茶色、黄色、緑色など変異が多い。成葉は長楕円形または長楕円状披針形で、長さ5~9cm、3~4cm、先端は尾状鋭尖形、基部は円形または鈍形、ときにごくわずか心形。鋸歯は細かく、単鋸歯または重鋸歯で先端は鋭尖形、ときにやや芒状。表面は濃緑色で、ごくわずかに光沢があり、始めはまばらに毛がある事が多い。裏面はかなり白色を帯びた淡黄緑色。葉柄は1~1.5cmで、上端から約3mm下に紅紫色の蜜腺が2個ある。花序は普通散房状、ときに散形状で2~3花からなる。鱗片は長さ約1cm、普通紅紫色で粘らない。苞は長さ3~5mm。花柄は長さ1~1.5cm、小花柄は長さ1.5cm。萼筒は長鐘形で長さ5mm、萼片は長さ4~5mm、披針形で長さ全縁。花弁は5個で、長さ約1.5cm、普通楕円形で先端は凹形、色は白色、淡紅色、淡紅紫色など変異が多く、ときに先端がやや濃いものもある。雄蕊は35~40個で無毛。雌蕊の先端はやや突き出し、花柱は無毛。果実は直径約1cmのほぼ球形で5~6月に紫黒色に熟す。3月下旬~4月上旬、直径2.5~3.5cmで白色または淡紅白色の花が散房状に2~5個咲く。用途：庭木、街路樹、盆栽。樹皮は色つやがよいので，タバコ入れ，小箱などの外側にはるのに用いられ，秋田県角館の樺皮細工(かばざいく)は有名である。樹皮はまた去痰剤として薬用にもしている。ヤマザクラの仲間のサクラ材はやや硬い散孔材で良質なので，器具、彫刻、楽器、家具、建築材になり，版画の版木にはサクラ材が最高である。最近はサクラ材の量が少なくなったので，カバノキ科のカンバ材がサクラ材といわれ，流通している。分布：本州（宮城、新潟県以西）、四国、九州、朝鮮南部。大島桜金沢緑地　2022年3月25日オオシマザクラPrunus Iannesiana,var,mspciosa 大島桜　伊豆諸島に自生するほか、房総半島や伊豆半島では古くから栽培され、野生化している。潮風に抵抗力があるので、海が近くても育つ。高さ8~10mになり、樹皮は暗灰色。枝は切られなければ、横に広がる。成葉は楕円形または卵形、倒卵形で、長さ9~13cm、幅5~7cm。先端は尾状鋭尖形、基部は円形ときに浅心形。鋸歯は重鋸歯で、先端は長く糸状に伸びる。表面は濃緑色、裏面は淡緑色。葉柄は長さ2~3cmで、上端から少し下に1~2個の蜜腺がある。花序は散形状または散房状で、2~4花からなる。鱗片は長さ約1~1.5cmで普通やや紅紫色を帯び、少し粘る。苞は緑色で長さ5~9mm。萼筒は長鐘形で長さ7~8mm。萼片は披針形。、全く鋸歯ないものや、著しい鋸歯があるもの等、個体によって変異が多い。花弁は普通5個、ときに6~15個、長さは普通約2cm、形は長楕円形、楕円形、倒卵形等変異が多く、色も白色のものが多いが、微淡紅色のものや、まれに淡紅紫色のものもあり、先端や外面がやや濃い色のものも見られる。雄蕊は普通1個だが、まれに2個のものもある。花には普通芳香がある。果実ほ黒く熟し、始め酸味があり、後に甘味が多くなる。個体によっては苦味の強いものと全く苦味のないものがある。後に甘味が増して、苦味がない果実は食べられる。葉は塩漬けにして桜餅を包むのに使う。花が終わり、新葉で大福を包むと手軽に食べられる。花期は3月下旬～4月上旬。用途：庭木、公園、街路・防風樹、器具材、薪炭、接ぎ木の台木。分布：伊豆諸島、南関東。寒緋桜金沢区　2014年3月22日カンヒザクラPrunus Camanulate 寒緋桜　高さ5~7m。樹皮は紫褐色で、かなり黒色を帯びる事が多い。成葉は長楕円形または長楕円状倒披針形で、長さ4~12cm、幅2~5cm。先端は鋭尖形またはやや尾状の鋭尖形、基部は心形または円形。鋸歯は細かく平低、単鋸歯で少し重鋸歯が混じる。表面は濃黄緑色、裏面は淡緑色で、主脈と葉柄は紅紫色を帯びることが多い。蜜腺は紅紫色で葉柄の上端近くに1~2個ある。花序は散形状で普通3花からなる。鱗片の内面には全面に絹毛があり、外側の上半部にも毛がある。苞は長さ2~3mm。花柄は長さ約5mm、小花柄は長さ約1cm。花は普通鐘形で下垂する。萼筒は長さ約9mm、長鐘形で濃紅紫色。萼片は長さ約4mm、卵状三角形で全縁。花弁は5個、長さ約1cm、普通卵状楕円形で先端に切れ込みがある。花弁の色は濃紅紫色のものが多いが、ときに淡紅紫色～白色のものもある。花は下向きに咲く。雄蕊の花糸は始め純白色、後に濃紅紫色に変わる。果実は紅色～暗紅紫色に熟す。核の先端は普通尖り、表面には浅い稜紋がある。花期は3月中旬。用途：庭木、公園、街路樹、盆栽、花材。分布：中国南部・台湾原産。完
06Feb
- 横浜金澤七福神巡り14回達成
  横浜金澤七福神巡り14回達成シリーズ物　富岡総合公園の軍遺構　横浜金沢熊野三山巡り推考はじめに　横浜金沢区の樹木、横浜金沢区の野草、横浜金沢区の植物の数学、横浜金沢区の植物の万葉集等を記述してきたが、肝心な金沢区の行事参加の記録が抜け落ちていた、と云っても大したものではない。ブログのプロフィールに書いたように、食べない、買わない、座らない、と云う事でひたすら歩く事が主題である。具体的には1.横浜金澤七福神巡り2012年～2026年連続14回参加した、2021年は残念ながらコロナで中止になってしまった。富岡八幡宮、長昌寺と伝心寺、龍華寺、瀬戸神社は接近しているので、怠け者には有難い。ゴールは三角ピラミッドの八景島であり、毎年水族館カレンダーを貰ってくる、この話は何処かで書いた。10周年、15周年のシールも貰ったが、15周年のシールは辛気臭く、貧乏神のようだ、一方10周年の方は凛々しい。取り敢えず今の目標は4*4=16枚の綺麗な形で、石にかじりついても実現したい。七福神事始め：福徳をもたらす神として信仰される7神。えびす（夷、恵比須）、大黒天、毘沙門天（びしやもんてん）、布袋（ほてい）、福禄寿、寿老人、弁才天の7神を云うが、近世には福禄寿と寿老人が同一神とされ、吉祥天もしくは猩々（しようじよう：中国の伝説上の獣）が加えられていた事もある。福徳授与の信仰は、狂言の「夷大黒」「夷毘沙門」等にも見られ、室町時代には既に都市や商業の発展に伴って広まっていたものと思われる。また、複数の神仏への巡拝も古くから行われていたが、「竹林の七賢人」等になぞらえて、七福神として描かれ、信仰されるようになった。福禄寿、寿老人は南極星の精であるとされ、中国の道教に由来する。また、弁才天はインドの水の女神で、音楽と弁舌の神であり、吉祥天女とも混同された。同じくインドの神に由来するのが、毘沙門天と大黒天で、共に仏法守護の神である。大黒天は厨（くりや）の神として大きな袋を持つ姿から、大国主神とも習合し、農業神として広く民間に受容された。布袋は後梁の実在の禅僧契此（かいし）であるが、福徳円満の姿から福神に加えられたのであろう。えびす神は西宮の主神で事代主（ことしろぬし）神ともされ、あるいは蛭子（ひるこ）が海から漂着して祀られたものともされる。海辺漁民の信仰から、海運守護もしくは商業神としてまつられるようになった。この中で、えびす･大黒の2神併祀の風が広まり、更に他の神々を加えて、七福神信仰が起こったものである。また、それに伴い荒々しい姿のえびす、大黒、毘沙門なども柔和で円満な姿で描かれるようになった。江戸では、正月に七福神詣をしたり、宝船に乗った七福神の絵が初夢を吉夢にする為に枕の下に敷かれたりした。また、各地に七福神を歌いこんだ民謡が残され、或いは芸能にも残されている。福島県安達郡白沢村では、正月7日に稲荷神に導かれた七福神が家々を訪れ、養蚕の守護を祈願する行事等もある。中国の七賢：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　中国、三国魏の末期、放達の行為で知られた7人の自由人、即ち、阮籍（げんせき）、含康（けいこう）、山濤（さんとう）、王戎（おうじゆう）、向秀（しようしゆう）、阮咸（げんかん）、劉伶（りゆうれい）。一般に「竹林の七賢」と呼ばれるのは、含康の郷里の山陽（江蘇省淮安県）の竹林に集まって酒を酌み交わし、談論にふけったからである。彼らは等しく酒を愛した。歩兵校尉の役所に美酒が蓄えられていると聞くと求めてその職についた阮籍、酒を事ほぐ「酒徳頌」を書いた劉伶はとりわけ酒徒として名高い。また等しく音楽を愛した。阮籍は「楽論」を著し、含康は「琴の賦」の作者であると共に「広陵散」と呼ばれる琴曲の名手として聞こえ、阮咸も音楽理論によく通じていた。また等しく老荘の哲学の信奉者であって、飲酒と音楽も老荘の「自然」の境地を楽しむ為のものであったと考えられる。このように一見すれば誠に高踏的な七賢の遊びにも、しかし魏王朝を簒奪（さんだつ）しようとする司馬氏の目論見が現れた魏･晋交代期の険しい政局に対する憤りと憂いが隠されていた事を認めなければならない。注：三国志、魏王：曹操、軍師：司馬懿仲達。事実、含康は政局の犠牲者として刑死の運命をまぬがれなかった。少なくとも韜祁（とうかい）の為にやむにやまれぬ行為であった事を認めなければならない。その間の事情は、阮籍が放達者の仲間に加わりたいと申し出た我が子の阮渾（げんこん）を、お前には「放達を為す所以（ゆえん）」が分かっていないから、と窘めている事からもうかがわれるであろう。七賢のなかには仲間から「俗物」と嘲られている王戎が含まれている等、7人が実際にグループを結んだのかどうか疑わしい点がない訳ではない。しかし東晋以後、戴逵（たいき）の「竹林七賢論」を始めとして七賢を論じた文章が次々に書かれた。また1960年に南京で発見された東晋時代の墓室の磚画（せんが）にも、七賢に春秋時代の賢人の栄啓期を配した8人の姿が画かれている。2.横浜金沢検定中級（銀バッチ）と上級（金バッチ）に合格した。出題内容は横浜市金沢区役所発行の「横浜金沢魅力帳」から出される。この本は2冊所有している。一言で云えば、ワープロ文字変換単純ミスが多い。例：富岡八幡宮の拝殿が覆殿になっている。大学生、高校生に依頼すれば、こんな事は無い。まずこの本を参考にして、神社仏閣、史跡等をグループで歩き回り、それから筆記試験を行った。本の丸暗記だけでは無く、現地を実際を見て回ったので、記憶として残っている。その結果試験後に、合格はおぼろげながらに見えていた。3.横浜金沢歩く会ここも金沢区内をひたすら歩く。完歩するとぼたんちゃんのバッチが貰える。※氏名、番号は消している。総括：更に、この様な金のかからない行事を区役所はどんどんやって欲しい。富岡八幡宮　2013年11月9日湯立神楽　湯立神楽は神聖な湯花に触れて祝福を得ようとするもので、伊勢神宮外宮の御師（おし）と呼ぶ外勤神職団によって広められ、伊勢流と呼ばれているが、今は伊勢に無く、秋田県平鹿郡の保呂羽山波宇志別神社の霜月神楽や愛知県の花祭等に残されている。湯釜を据えて神々を勧請し、数々の浄めの舞を舞い、ときに見物人に湯花を振りかける物である。　神官は元々、神と人との間に介在して神意を人々に伝達する役柄であった。時代が下って今は、絵馬を売ったり、七五三行事、境内の掃除等を行っている。これらは本来の仕事ではない。本来は憑依を司どる者である。中国では巫（ふ）（女性）および覡（げき）（男性）の語を用いる。日本でもこれに準じ、一般的に、巫は巫女と記載される。邪馬台国の女王卑弥呼に代表されるシャーマンを主体とする流れが、歴史を貫いて現在に及んでいる。東北地方のイタコ、ゴミソと南西諸島のユタがシャーマン的性格・役割を有すると見られている。多くは女性であり、特にユタは長女が代々、役割を継承する。家の男はサポート役である。完
01Feb
- Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.4
  Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.3Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.2からの続きはじめに　Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めでは文字通り正多面体の素数を取り上げた。その後、Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始めで5次方程式の例題を実際に解いた。今回はその序章とも云うべき正多面体の鏡映、正多面体群の基礎を記述した。橋本教授の本は正多面体の鏡映を原本以上に要領よく纏め挙げているので、それを使わせて貰いました。それに、Mathematicaで正多面体の画像を記述した。参考文献二十面体に関する解説Vorlesungen über das Icosahedron Felix Klein正多面体と素数　橋本義武　著　　放送大学　出版正二十面体と5次方程式　F.クライン「著」　関口　次郎「訳」　シュプリンガー・フェアラーク東京（株）　シリーズ物　Mathematicaで描く正多面体と素数の事始め　Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始め Mathematicaで正多面体の三角関数を解く2.3.3.立体の鏡映reflectionxyz空間W= ℝ3の原点Oを通る平面Mを取る。空間Wの各点Pを、Mに関してPと面対称な位置にある点Qに移す操作を、平面Mに関する鏡映reflectionと云い、TMで表す。Mは線分PQの中点でPQと垂直に交わる。これはTMTM=eを満たす。互いに直交する平面M1,M2に対し、TM1TM2=TM2TM1である。平面Mと直交する、直線をlとすると、lを軸とする回転Rと、Mに関する鏡映TMは、RTM=TMRを満たす。空間Wの各点Pを、Oに関してPと点対称な位置にある点Qに移す操作を、点Oに関する鏡映reflectionと云い、C=Coで表す。これはCC=eを満たす。Oは線分PQの中点である。任意の回転g∊GW,Oに対し、gC=Cgである。また、任意のの平面に関する鏡映Tに対し、TC=CTである。空間WのOを固定する回転と鏡映の操作の幾つかに積を考え、その全ての集合をDW,Oで表す。任意のg∊GW,Oに対し、gC=Cgである。DW,Oの任意の元は、Cg(g∊GW,O)と書ける。Coffee Break1884年に出版された有名な著書「二十面体に関する解説Vorlesungen über das Icosahedron、和訳名：正二十面体と5次方程式」の著者Felix Kleinフェリックス　クラインの誕生日は1849年4月25日で、びっくりする偶然にも年月日が素数の2乗でした。（25=52）日、（4=22）月、（49=72）年。クラインはそれに喜びを感じていた。Mathematicaの関数PrimeQを使い、素数かどうかを判断する。反数がTrueの場合は素数である。興味深い事に全て素数になっている。IN[]:y=49m=4d=25bir=Table[{y,m,d}]sqrt=Table[{Sqrt[y],Sqrt[m],Sqrt[d]}]prime=Table[{PrimeQ[Sqrt[y]],PrimeQ[Sqrt[m]],PrimeQ[Sqrt[d]]}]TableOfValues1=Prepend[{bir,sqrt,prime},{"西暦下２桁","月","日"}]Grid[TableOfValues1]TableOfValues2=MapThread[Prepend,{TableOfValues1,{"誕生日","年月日","Sqrt","PrimeQ"}}]Grid[TableOfValues2,Frame→All]Out[]:2.3.4.正多面体polyhedronと鏡映reflectionDW,Oに属する操作の内、Oを重心とする正多面体Rを自分自身にぴったり重ねる操作全ての集合をDRで表す。ここでも正二十面体Icosahedronの鏡映reflectionが最重要課題である。2.3.4.1.正四面体Tetrahedronの鏡映reflection正四面体の場合、DTeに属する操作の回転以外のものは、（1）1辺EとOを通る平面に関する鏡映が6個。（2）向かい合う辺Eの中点を通る直線lと、lとOで直交する平面Mに対し、lを軸として± 1/4回転してから鏡映TMを施すと云う操作が(6/2)*2=6個。この操作は4解で元に戻る。となり、全部で6+6=12個である。これは|GTe|に一致する。よって|DTe|=2|GTe|=24である。なお、CはDTeに属していない。2.3.4.2.正八面体Octahedronの鏡映reflection正八面体の場合、DOcに属する操作の回転以外のものは、（1）向かい合う辺Eの中点を通る直線にOで直交する平面に関する鏡映6個。（2）向かい合う頂点Vを通る直線にOで直交する平面に関する鏡映が3個。（3）向かい合う頂点Vを通る直線lと、lとOで直交する平面Mに対し、lを軸として± 1/4回転してから鏡映TMを施すと云う操作が3*2=6個。（4）向かい合う面Fの中心を通る直線lと、lとOで直交する平面Mに対し、lを軸として± 1/6回転してから鏡映TMを施すと云う操作が(8/2)*2=8個。（5）Cが1個。となり、全部で6+3+6+8+1=24個である。これは|GOc|に一致する。よって|DOc|=2|GOc|=48である。2.3.4.3.正二十面体Icosahedronの鏡映reflection正二十面体の場合、DIcに属する操作の回転以外のものは、（1）向かい合う辺Eを含む平面に関する鏡映が30/2=15個（2）向かい合う面Fの中心を通る直線lと、lとOで直交する平面Mに対し、lを軸として±1/6回転してから鏡映TMを施す操作が（20/2）*2=20個（3）向かい合う頂点Vを通る直線lと、lとOで直交する平面Mに対し、lを軸として±3/10回転してから鏡映TMを施す操作が（12/2）*2=12個（4）向かい合う頂点Vを通る直線lと、lとOで直交する平面Mに対し、lを軸として±1/10回転してから鏡映TMを施す操作が（12/2）*2=12個(5）Cが1個となり、全部で15+20+12+12+1=60となる。これは|GIc|に一致する。よって|DIc|=2|GIc|=120である。図4：球面体のIcosahedral tiling正二十面体タイリング。Riemann sphereリーマン球面を120個の球面三角形（赤60個、緑60個）でtilingタイリングしたものである。驚くべき事にこれから以下のF.Kleinの恒等式T2+ H3− 1728f5=0が導かれる。T2= 1728f5− H3これが有名なF.Kleinの恒等式であり、これが0である事を証明する。詳細はMathematicaで正二十面体と五次方程式の事始めを参照して下さい。Iは虚数。T2+ H3− 1728f5=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)Y=0.178352+0.0718131*I (126)Print["f=",Y(Y10+11Y5− 1)]f=−0.178721−0.0713975*I (127)1728f5=0.14764155892446035−0.43168255559187085*I (139)J=4h1*h2=H3/1728 f5=−0.324158−2.04659*I (125)H3=(−0.324158−2.04659*I)*(1728f5)=−0.9313363939066023-0.16222838422366165*IH=((−0.324158−2.04659I )*(1728f5))1/3=0.5387454243554497−0.8203576369160005*IPrint[“h1-h2”=,Sqrt[1728f5−H5]/(24f2Sqrt[3f])]h1−h2=1.37135*0.746138*IPrint["T=",(24f2*Sqrt[3f])*(h1−h2)] (20)T=1.046683474869123 -0.1287180785011924*IT2=1.0789779528310626−0.26945417136820926*IPrint["T2+H3-1728f5=",T2+H3−1728f5]T2+H3-1728f5=2.7755575615628914-19≈0 QED正多面体Rに対し、|DR|は旗の個数B(R)に一致する。正八面体、正二十面体の場合、DRの任意の元は、Cg(g∊GR)と書ける。完
- Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.3
  Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.3Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.2からの続きはじめに　Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めでは文字通り正多面体の素数を取り上げた。その後、Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始めで5次方程式の例題を実際に解いた。今回はその序章とも云うべき正多面体の鏡映、正多面体群の基礎を記述した。橋本教授の本は正多面体の鏡映を原本以上に要領よく纏め挙げているので、それを使わせて貰いました。それに、Mathematicaで正多面体の画像を記述した。参考文献二十面体に関する解説Vorlesungen über das Icosahedron Felix Klein正多面体と素数　橋本義武　著　　放送大学　出版正二十面体と5次方程式　F.クライン「著」　関口　次郎「訳」　シュプリンガー・フェアラーク東京（株）　シリーズ物　Mathematicaで描く正多面体と素数の事始め　Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始め Mathematicaで正多面体の三角関数を解く2.3.2.3.正二十面体群Icosahedron group正二十面体の場合、GR=GIcを正二十面体群Icosahedron groupと云う。その元は（1）向かい合う辺Eの中点を通る直線を軸とする1/2回転が30/2=15個（2）向かい合う面Fの中心を通る直線を軸とする±1/3回転が（20/2）*2=20個（3）向かい合う頂点Vの中心を通る直線を軸とする±1/5回転が（12/2）*2=12個（4）向かい合う頂点Vの中心を通る直線を軸とする±2/5回転が（12/2）*2=12個（５）単位元eが1個となり、全部で|GIc|=15+20+12+12+1=60となる。Tes⊂Ocsと見做す場合、GTe⊂GOcとなる事が分かる。Tes⊂Icsと見做す場合、GTe⊂GIcとなる事が分かる。GOc⊂GIcとはならない。GIcは1/4回転を含まないからである。ここで正多面体群に素数が潜んでいる話をする、これは前出の本の後半に出てくる、学習者には乞うご期待。❘GR❘+v(R)+e(R)+f(R)-1が素数の2乗になっている。Mathematicaの関数PrimeQを使い、素数かどうかを判断する。反数がTrueの場合は素数である。興味深い事に全て素数になっている。In[]:GR=12v=PolyhedronData["Tetrahedron","VertexCount"]e=PolyhedronData["Tetrahedron","EdgeCount"]f=PolyhedronData["Tetrahedron","FaceCount"]mT=Table[{PolyhedronData["Tetrahedron","Name"],GR+v+e+f-1}]GR=24v=PolyhedronData["Octahedron","VertexCount"]e=PolyhedronData["Octahedron","EdgeCount"]f=PolyhedronData["Octahedron","FaceCount"]mO=Table[{PolyhedronData["Octahedron","Name"],GR+v+e+f-1}]GR=60v=PolyhedronData["Icosahedron","VertexCount"]e=PolyhedronData["Icosahedron","EdgeCount"]f=PolyhedronData["Icosahedron","FaceCount"]mI=Table[{PolyhedronData["Icosahedron","Name"],GR+v+e+f-1}]TableOfValues1=Prepend[{mT,mO,mI},{"Name","❘GR❘+v(R)+e(R)+f(R)-1"}]Grid[TableOfValues1]TableOfValues2=MapThread[Prepend,{TableOfValues1,{"和名","正四面体","正八面体","正二十面体"}}]Grid[TableOfValues2,Frame->All](*Sqrt*)GR=12v=PolyhedronData["Tetrahedron","VertexCount"]e=PolyhedronData["Tetrahedron","EdgeCount"]f=PolyhedronData["Tetrahedron","FaceCount"]mT=Table[{PolyhedronData["Tetrahedron","Name"],Sqrt[GR+v+e+f-1]}]GR=24v=PolyhedronData["Octahedron","VertexCount"]e=PolyhedronData["Octahedron","EdgeCount"]f=PolyhedronData["Octahedron","FaceCount"]mO=Table[{PolyhedronData["Octahedron","Name"],Sqrt[GR+v+e+f-1]}]GR=60v=PolyhedronData["Icosahedron","VertexCount"]e=PolyhedronData["Icosahedron","EdgeCount"]f=PolyhedronData["Icosahedron","FaceCount"]mI=Table[{PolyhedronData["Icosahedron","Name"],Sqrt[GR+v+e+f-1]}]TableOfValues1=Prepend[{mT,mO,mI},{"Name","Sqrt[❘GR❘+v(R)+e(R)+f(R)-1]"}]Grid[TableOfValues1]TableOfValues2=MapThread[Prepend,{TableOfValues1,{"和名","正四面体","正八面体","正二十面体"}}]Grid[TableOfValues2,Frame->All](*PrimeQ*)GR=12v=PolyhedronData["Tetrahedron","VertexCount"]e=PolyhedronData["Tetrahedron","EdgeCount"]f=PolyhedronData["Tetrahedron","FaceCount"]mT=Table[{PolyhedronData["Tetrahedron","Name"],PrimeQ[Sqrt[GR+v+e+f-1]]}]GR=24v=PolyhedronData["Octahedron","VertexCount"]e=PolyhedronData["Octahedron","EdgeCount"]f=PolyhedronData["Octahedron","FaceCount"]mO=Table[{PolyhedronData["Octahedron","Name"],PrimeQ[Sqrt[GR+v+e+f-1]]}]GR=60v=PolyhedronData["Icosahedron","VertexCount"]e=PolyhedronData["Icosahedron","EdgeCount"]f=PolyhedronData["Icosahedron","FaceCount"]mI=Table[{PolyhedronData["Icosahedron","Name"],PrimeQ[Sqrt[GR+v+e+f-1]]}]TableOfValues1=Prepend[{mT,mO,mI},{"Name","PrimeQ[Sqrt[❘GR❘+v(R)+e(R)+f(R)-1]]"}]Grid[TableOfValues1]TableOfValues2=MapThread[Prepend,{TableOfValues1,{"和名","正四面体","正八面体","正二十面体"}}]Grid[TableOfValues2,Frame→All]Out[]:続編：Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.4
- Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.2
  Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.2Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.1からの続きはじめに　Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めでは文字通り正多面体の素数を取り上げた。その後、Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始めで5次方程式の例題を実際に解いた。今回はその序章とも云うべき正多面体の鏡映、正多面体群の基礎を記述した。橋本教授の本は正多面体の鏡映を原本以上に要領よく纏め挙げているので、それを使わせて貰いました。それに、Mathematicaで正多面体の画像を記述した。参考文献二十面体に関する解説Vorlesungen über das Icosahedron Felix Klein正多面体と素数　橋本義武　著　　放送大学　出版正二十面体と5次方程式　F.クライン「著」　関口　次郎「訳」　シュプリンガー・フェアラーク東京（株）　シリーズ物　Mathematicaで描く正多面体と素数の事始め　Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始め Mathematicaで正多面体の三角関数を解く2.2.2.平面上の回転正多面体Polyhedronの対称性DualPolyhedronを考える前に、正多角形の対称性を調べて置く。実数θに対し、平面上の点Oを中心に図形をθラジアンだけ回転させる操作を考える。この場合、・どちら向きにθだけ回す回転なのかを定めておく必要がある。これを定める事を、平面に向き（orientation）を与えると云う。平面の向きをsで表し、sと逆の向きを-sで表す。1つの点を中心とする回転の向きを定めれば、平行移動により、他の点を中心とする回転の向きも自動的に定まる。xy平面に於いて、x軸の正の部分をy軸の正の部分にπ/2だけ回す向きを、正の向きと云う。普通、x軸の正の部分を右に、y軸の正の部分を上に描くので、正の向きの事を反時計回りの向きとも云う。平面Mno点Oを中心に図形をsの向きにθラジアンだけ回転させる操作を、RM,O,s(θ)で表す事にする。M,O,sを固定して考えている文脈では、これをR(θ)と略記する。この場合、R(θ+2π)=R(θ),RM,O,-s(θ)=RM,O,s(-θ)である。平面M上の点全体の集合を同じくMで表すと、回転R(θ)はMからMへの1対1対応を与える。特に、（1）R(θ)(O)=O（2）点Oを中心とする円をSとすると、R(θ)はSを自分自身にぴったり重ねる。即ち、SからSへの1対1対応を与える。e=R(0)を単位元と呼ぶ。これはMからMへの恒等写像を与える。数学では定義の名は大事である。2.2.3.回転の操作の集合平面M上の点Oを中心とする回転の操作全ての集合をGM,OあるいはS1で表す。S1の元R(θ)と書ける。（1）操作R(θ)を行い、続いて操作R(θ′)をする事をR(θ′)R(θ)で表す。これを操作の積productと呼ぶ。（2）R(θ′)R(θ)=R(θ′+ θ)R(θ)∊S1である。即ち、集合S1は積について閉じている。（3）結合則　(R(θ1)R(θ2)R(θ3))=(R(θ1)R(θ2)R(θ3))　が成立する。（4）可換則　R(θ1)R(θ2)=R(θ2)R(θ1)　が成立する。（5）　e=R(0)∊S1と置くと、任意のR(θ)∊S1に対して、　eR(θ)=R(θ)　R(θ)e=R(θ)　が成立する。（6）回転　R(θ)∊S1の操作を元に戻す操作をR(θ)-1で表すと、　R(θ)-1=R(-θ)であり、　R(θ)-1R(θ)=e　R(θ)R(θ)-1=e　　が成立する。R(θ)-1をR(θ)の逆inverseと云う。集合S1は、操作の逆を取る事について閉じている。　（7）ρ=R(θ)と置く場合、ρ2= ρρ,ρ3=ρρρのようにして、正の正数κに対し、ρκを定義する。ρ0=eとし、　ρ-κ=(ρ-1)κと定義する。（8）整数mに対し、R(θ)m=R(mθ)∊S1である。2.2.4.正多角形の回転正n角形を平面上で回転させて自分自身にぴったり重ねる操作全ての集合をCnで表すと、Cn={R((2π/n)κ) | κ=0,1,…,n-1}である。ρ=R(2π/n)と置き、上で定義した演算を用いると、ρn=eであり、Cn={e, ρ,ρ2,...ρκ-1}と表す事ができる。この場合、Cn⊂S1であり、次が成立する。（1）e∊Cn（2）a,b∊Cngならばab∊Cn（3）a∊Cnならばa-1∊Cn2.2.5.正多角形と鏡映平面上の直線lを固定する。平面上の各点Pを、lに関してPと線対称な位置にある点Qに移す操作を、直線lに関する鏡映reflectionと云い、Tlで表す。この場合、lは線分PQの垂直二等分線である。平面上の点全体の集合をMで表すと、直線lに関する鏡映TlはMからMへの1対1対応を与える。回転と鏡映の操作の積も考える事ができる。これはMからMへの写像の合成と見る事ができる。点P∊Mが直線i上にある事は、Tl(P)=Pである事に同値である。鏡映Tlを2回繰り返すとどの点も元に戻り、操作e即ち単位元になる。即ち、TlTl=eが成立する。平面上の点Oを中心とするθ回転の操作をR(θ)とする。Oを通る直線lをθ回転したものを、R(θ)(l)={R(θ)(P) | P∊l}と置く。鏡映Tlに続いて回転R(θ)を行う場合、直線m=R(θ/2)(l)上の点は動かない。よってR(θ)Tlはmに関する鏡映になる。即ち、R(θ)Tl=Tmよって、R(θ)Tl=TmTl即ち、回転は2つの鏡映の積で表せる。また、回転R(θ)に続いて鏡映Tlを行う場合、直線m′=R(-θ/2)(l)上の点は動かない。よってTlR(θ)はm′に関する鏡映になる。即ち、TlR(θ)=Tm′よって、R(θ)TlR(-θ)=TR(θ/2)(l)R(-θ)=TR(θ/2)R(θ/2)(l)=TR(θ)(l)平面M上の点Oを固定する回転・鏡映全ての集合をD=DM,Oとすると、（1）S1⊂D　特に、e∊D（2）操作a,b∊Dに対し、a,b∊D（3）操作a∊Dに対し、これを元に戻す操作をa-1で表すと、　R(θ)-1=R(-θ)　Tl-1=Tlより、a-1∊Dである。Dの内、Oを中心とする正n角形を自分自身にぴったり重ね合わせる操作全体の集合をD2nとする。点Oと正n角形の頂点vあるいは辺eの中点を通る直線をlとし、ρ=R(2π/n), τ=Tl　と置くと、D2n={e,ρ,…,ρn-1,ρτ,…, ρn-1τ}=Cn∪{gτ |g∊Cn}と書ける。また次が成立する。（1）e∊D2n（2）a,b∊D2nならばab∊D2n（3）a∊D2nならばa-1∊D2n2.3.正多面体の対称性2.3.1.立体の回転xyz空間W= ℝ3の原点Oを通る直線lと、Oでiに直交する平面M=l⊥を取り、Mに向きsを与える。sと逆の向きを-sで表す。実数θに対し、直線lを軸としての向きに立体をθラジアンだけ回転させる操作をRl,s(θ)で表す。Rl,s(θ+2π)=Rl,s(θ),Rl,-s(θ)=Rl,s(-θ)である。e=Rl,-s(θ)と置く。これはl,sに依存しない。またTl=Rl,s(π)と置く。これはsに依存しない。点O∊Wを通る直線を軸とする回転全ての集合をGW,Oで表す。回転の操作R,R′∊GW,Oに対し、積RR′を考える事ができる。これは、まず回転R′をして次に回転Rをする操作である。命題2.1.（1）Rl,s(θ)Rl,s(θ′)=Rl,s(θ+θ′),TlTl=e（2）Oを通る直線l,l′に対し、TlTlはl,l′に直交する直線を軸とする回転である。また、任意の回転はこのように表せる。定理2.1.任意のR,R′∊GW,Oに対し、RR′∊GW,O証明　R= Rl,s(θ),R′=Tl′の場合に示せばよい。　直線l,l′を含む平面をMとし、l′とMで直交する平面をM′とする。Rl,s(θ/2)によってM′を移した平面をM+とする。直線M′∩M+上の点P+≠Oに対し、P-=Tl′(P+)と置くと、M′が、lを軸、l′を母線とする円錐にl′で接している事から、Rl,s(θ),(P-)=P+が分かる。従って、RR′(P+)=Rl,s(θ)Tl′(P+)=Rl,s(θ)(P-)=P+よって、RR′は直線OP+を軸とする回転である。2.3.2.正多面体の回転点Oを中心とする正多面体R⊂Wに対し、Rを回転させて自分自身にぴったり重ねる操作全ての集合をGRで表し、これを正多面体群polyhedron groupと呼ぶ。これはGW,Oの部分集合である。正多面体群は本文の主役であるが、未だ序章に過ぎない。更に広大な世界が待っている。正多面体群は正多面体5個の内、以下の3個だけである。本文では正二十面体群Icosahedron groupを最重要課題と位置付けている。2.3.2.1.正四面体群Tetrahedral group正四面体の場合、GR=GTeを正四面体群Tetrahedral groupと云う。その元は（1）向かい合う辺Hの中点を通る直線を軸とする1/2回転が6/2=3個。（2）頂点VとOを通る直線を軸とする±1/3回転が4*2=8個。（3）単位元eが1個。となり、全部で|GTe|=8+3+1=12である。2.3.2.2.正八面体群Octahedron group正八面体の場合、GR=GOcを正八面体群Octahedron groupと云う。その元は（1）向かい合う頂点Vを通る直線を軸とする1/2回転が6/2=3個。（2）向かい合う辺Hの中点を通る直線を軸とする1/2回転が12/2=6個。（3）向かい合う面Fの中心を通る直線を軸とする±1/3回転が(8/2)*2=8個。（4）向かい合う頂点Vを通る直線を軸とする±1/4回転が(6/2)*2=6個。（5）単位元eが1個。となり、全部で|GOc|=3+6+8+6+1=24である。続編：Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.3
- Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.1
  Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.1はじめに　Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めでは文字通り正多面体の素数を取り上げた。その後、Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始めで5次方程式の例題を実際に解いた。今回はその序章とも云うべき正多面体の鏡映、正多面体群の基礎を記述した。橋本教授の本は正多面体の鏡映を原本以上に要領よく纏め挙げているので、それを使わせて貰いました。Blogではカラー画像を容易に扱えるので、Mathematicaで作成した正多面体のカラー画像をアップロードし、可視化した。これは書籍より遥かに安価な手段である。参考文献二十面体に関する解説Vorlesungen über das Icosahedron Felix Klein正多面体と素数　橋本義武　著　　放送大学　出版正二十面体と5次方程式　F.クライン「著」　関口　次郎「訳」　シュプリンガー・フェアラーク東京（株）　シリーズ物　Mathematicaで描く正多面体と素数の事始め　Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始めMathematicaで正多面体の三角関数を解く2.正多角形と正多面体の対称性≪キーワード≫写像、1対1対応、対称性、回転、鏡映、正多面体群2.1.1対1対応と対称性2.1.1.写像と1対1対応数学の威力は、別に場所で現れた2つの対象を同一視する事に於いて発揮される。そのような思考を意味のブレないように記述するのが集合の間の1対1対応One-to-one correspondenceの概念である。1対1対応は、それより広い概念である写像mappingの一種として位置付られている。集合Xの各元に集合Yの元f(x)を対応させる事を、XからYへの写像f:X→Y(map,mapping)を与えると云う。写像f,g:X→Yが互いに等しいとは、・任意のx∊Xに対しf(x)=g(x)となる事である。これをf=gで表す。元x∊Xにx∊Xを対応させる写像idx:X→Xを恒等写像identityと云う。また、Xの部分集合Sに対し、x∊Sにx∊Xを対応させる写像i:S→Xを包含写像inclusionと云う。数学は厳格に定理を定義する。写像f:X→YとA⊂Xに対し、写像f|A:A→Yをf|A(x)=f(x)(x∊A)によって定める事ができる。これをfのAへの制限Restrictionsと云う。写像f:X→Yとg:Y→Zに対し、x∊Xにg(f(x))∊Zを対応させる写像をf,gの合成compositionであると云い、g∘fで表す。写像f:X→Yとφ:Y→Xが、条件・任意のx∊X,y∊Yに対し、f=f(x)とx=φ(y)は同値を満たす場合、φはfの逆写像inverse mappingであると云う。fの逆写像をf-1で表す。写像f:X→Yの逆写像が存在する場合、fは1対1対応One-to-one correspondenceであると云う。恒等写像は1対1対応である。恒等写像の逆写像は自分自身である。一般の写像がどのように1対1対応からずれているのかと云うと、大きく分けてそのずれには2種類のものがある。即ち、写像f:X→Yに於いて（1）y∊Yに対し、f(x)=yとなるx∊Xが1つだけではない。（2）y∊Yに対し、f(x)=yとなるx∊Xが存在しない。と云うずれである。1対1対応なら、f(x)=yとなるx∊Xが各y∊Yに対して丁度1つづつ存在する。定義2.1.（1）写像f:X→Yが単射injectionであるとは、・任意のx,x′∊Xに対し、x≠x′ならばf(x)≠f(x′)が成り立つ事である。（2）写像f:X→Yに対し、Yの部分集合　　　f(X)={F(x) |x∊X}をfの像imageと云う。（3）写像f:X→Yに対し、f(X)=Yである場合、fは全射surjectionであると云う。（4）写像f:X→Yが単射であり且つ全射である場合、fは全単射bijectionであると云う。これは1対1対応である事と同値な条件である。単射と単射の合成は単射である。全射と全射の合成は全射である。全単射と全単射の合成は全単射である。写像f:X→Yに対し、f(X)⊂Y′⊂Yならば、fをXからY′への写像と見做す事ができる。単射f:X→Yが与えられた場合、Xとf(X)を同一視して、XがYの部分集合であるかのように扱う事がある。2.1.2.図形の合同と対称性図形XがYに合同congruenceであるとは、Xを平行移動したり回転させて裏返したりして、Yにぴったり重ねる事ができると云う事である。これをX≡Yで表す。こうして、図形の「形」と云う概念を、「形を変えない操作」を列挙する事によって間接的に定める。即ち、平行移動・回転・裏返し　と云う操作のリストを明記する場合、「その操作によってかわらない本質」として、「形」と云う概念が定まっていると考えるのである。平行移動・回転・裏返し　を合わせて、合同変換Congruent transformationと云う。図形Xを動かして図形Yにぴったり重ねる場合、Xの点とYの点の間の1対1対応が得られる。｛図形が図形に合同である」と云う関係は、次の条件を満たす。（1）（反射律）X≡X（2）（対称律）X≡YならばY≡X（3）（推移律）X≡Y且つY≡ZならばX≡Z一般に、反射律・対称律・推移律を満たす関係を同値関係equivalence relationと云う。3つの条件にわざわざ名前が付いている事から察せられるように、これは極めて重要な概念である。図形の対称性symmetryとは、平行移動したり、回転したり、裏返したりして自分自身とぴったり重ねる操作の事である。これから、対称性の数学に付いて考えていく。二等辺三角形は、裏返して自分自身と重なる対称性（線対称性）を持つ。平行四辺形は、1点を中心に半回転して自分自身と重なる対称性（点対称性）を持つ。円は、中心の周りの回転によって自分自身と重なる対称性（回転対称性）と、中心を通る直線に関する線対称性を持つ。赤丸は図形の重心である。正確にはRegionCentroidと云う。普通は中心Centerが使われるが、これは通称で正しくない、ここは数学なので厳密に定義した。In[]:(*三角形*)ℜ=AASTriangle[Pi/2.6,Pi/2.6,1];Graphics[{LightBlue,EdgeForm[Pink],ℜ,Red,Point[RegionCentroid[ℜ]},ImageSize->500]ℜ=AASTriangle[Pi/2.6,Pi/2.6,1];(*円形*)RegionCentroid[Disk[{Subscript[c,x],Subscript[c,y]},r]]ℜ=Disk[{2,3},2];Graphics[{LightBlue,EdgeForm[Pink],ℜ,Red,Point[RegionCentroid[ℜ]]},ImageSize->500]RegionCentroid[ℜ](*四角形*)ℜ=Rectangle[{0,1},{3,3}];Graphics[{LightBlue,EdgeForm[Pink],ℜ,Red,Point[RegionCentroid[ℜ]]},ImageSize->500]RegionCentroid[ℜ](*平行四辺形*)ℜ=Parallelogram[{0,0},{{1,0},{0.6,0.6}}];Graphics[{EdgeForm[Directive[Thick,Pink]],LightBlue,ℜ},ImageSize->500]Graphics[{LightBlue,EdgeForm[Pink],ℜ,Red,Point[RegionCentroidℜ]]},ImageSize->500]RegionCentroid[ℜ](*菱形*)ℜ=ResourceFunction["Rhombus"][{0,0},1,30 Degree]Graphics[{EdgeForm[Directive[Thick,Pink]],LightBlue,Opacity[0.2],ResourceFunction["Rhombus"][{0,0},1,30 Degree]},ImageSize->500]Graphics[{LightBlue,EdgeForm[Pink],ℜ,Red,Point[RegionCentroid[ℜ]]},ImageSize→500]Out[]:図1　図形の重心2.2.正多角形の対称性2.2.1.対称性から図形を見る。長方形の隣り合う辺の中点を結ぶと菱形ができる。菱形の隣り合う辺の中点を結ぶと長方形になる。この場合、長方形と菱形の対称性は同じになる。即ち、２つの直線に関して線対称であり、1つの点に関して点対称である。このように、見かけは異なっていても対称性が同じである図形がある。正多面体の場合も、正四面体自身Tetrahedron、立方体Cubeと正八面体Octahedron、正十二面体Dodecahedronと正二十面体Icosahedronはそれぞれ対称性がある。図2　図形の対称性Coffee Breakクラインの壺Felix Kleinフェリックス　クライン彼の名に因んで名付けられた片側が閉じた曲面であるクラインの壺。クラインの壺はユークリッド空間では構成できない。円筒をループさせてもう一端と結合したものとして描くのが最も適切である。しかし、この曲面は不連続なしには自身を貫通できない為、3次元空間では連続面ではない。非ユークリッド空間でもクラインの壺を構成する事は可能である。In[]:surf[u_,v_]:={(3+Cos[u/2]Sin[v]-Sin[u/2]Sin[2v])Cos[u],(3+Cos[u/2]Sin[v]-Sin[u/2]Sin[2v])Sin[u],Sin[u/2]Sin[v]+Cos[u/2]Sin[2v]}ParametricPlot3D[surf[u,v],{u,0,2Pi},{v,0,2Pi},PlotStyle→FaceForm[Red,Green],Boxed→False,Axes→False]Out[]:正多面体R=Te,Cu,Oc,Do,Icに対し、Rを回転ratationさせて自分自身にぴったり重ねる操作全ての集合をGRで表す。この記号を本文を通じて用いる。この様な回転は、前章で定義したRの外接球面S上の点の集合Rsa（a=0,1,2）をそれぞれ自分自身にぴったり重ねる。即ちGRに属する回転は、RsaからRsaへの1対1対応を与える。Cus0=Ocs2,Cus1=Ocs1,Cus2=Ocs0と見る事ができるので、GCu=GOcとなる。Dos0=Ics2,Dos1=Ics1,Dos2=Ics0と見る事ができるので、GDo=GIcとなる。この章の目標は、集合GTe,GOc,GIcに属する回転の操作にどのようなものがあるかを列挙する事である。多面体の双対性Polyhedron DualityDual compounds of Platonic solidsIN[]:Table[Graphics3D[{EdgeForm[{Thin,Blue}],FaceForm[{Pink,Opacity[0.6]}],DualPolyhedron[f[1]],f[1]},Boxed->False],{f,{Tetrahedron,Tetrahedron}}]正四面体自身TetrahedronOut[]:立方体Cubeと正八面体OctahedronIN[]:Table[Graphics3D[{EdgeForm[{Thin,Blue}],FaceForm[{Pink,Opacity[0.6]}],DualPolyhedron[f[1]],f[1]},Boxed->False],{f,{Cube,Octahedron}}]Table[Graphics3D[{EdgeForm[{Thin,Blue}],FaceForm[{Pink,Opacity[0.6]}],DualPolyhedron[f[1]],f[1]},Boxed→False],{f,{Octahedron,Cube}}]Out[]:正十二面体Dodecahedronと正二十面体IcosahedronIN[]:Table[Graphics3D[{EdgeForm[{Thin,Blue}],FaceForm[{Pink,Opacity[0.6]}],DualPolyhedron[f[1]],f[1]},Boxed->False],{f,{Dodecahedron,Icosahedron}}]Table[Graphics3D[{EdgeForm[{Thin,Blue}],FaceForm[{Pink,Opacity[0.6]}],DualPolyhedron[f[1]],f[1]},Boxed→False],{f,{Icosahedron,Dodecahedron}}]Out[]:図3　正多面体の対称性　更に、正多面体の双対性を追求するためにMathematicaで正多面体の三角関数を解くの表を記述した。Mathematicaで描いた多面体が正多面体かどうかの判断は双対性を調べる事になる。それには一松　信教授の三角関数の表を於いて他はない。正十二面体と正二十面体の頂点座標は黄金比ϕで記述したので辺の長さは2になる。似て非なる星型多面体も載せて、正多面体との相違を明らかにした。この表で興味深い事が多々ある。1.双対な多面体はχの値が同じになる。また、双対な多面体はφとψの値が入れ違いになる。2.二面角DihedralAnglesが面数と共に増加し、比例関係にある。また正四面体と正八面体の二面角の値が、お互いに補角である(180°=70.52877937°+109.4712206°）。3.φ +ψ +χの和が何故が切りのいい値になる（90°、135°、180°）。ここも双対な多面体は同じ値になる。4.双対な多面体は、以下の入れ違いの関係にあり、正十二面体の二面角DihedralAngle:116.5650512° と正二十面体のCentral Angle:63.43494882° の和は180° になる、また正二十面体の二面角DihedralAngle:138.1896851°と正十二面体のCentral Angle:41.8103149°の和は180°になる。同様に正六面体の二面角DihedralAngle:90° と正八面体のCentral Angle:90° の和は180° になる、また正八面体の二面角DihedralAngle:109.47122063400002°と正六面体のCentral Angle:70.5287793655094°の和は180°になる。正四面体は自身が双対で二面角DihedralAngle:70.5287793655094°とCentral Angle:109.47122063400002°の和は180°になる。5.体積V/（表面積S*外接半径）が同じ値であり、面数と共に増加し比例関係にある正多面体は双対である。6.内接半径/外接半径％が同じ値であり、面数と共に増加し比例関係にある正多面体は双対である。7.ペトリー多角形（Sqrt[(Cos[Pi/a])^2+(Cos[Pi/b])^2]）が同じ値であり、面数と共に増加し比例関係にある正多面体は双対である。8.上記1.から7.の項目全てを満たさなければ正多面体の双対とは云えない、部分的に一部分が合ってもそれは双対ではない。従って古来より、正多面体は五個しかない。続編：Mathematicaで描く正多面体と素数の事始めPartⅡVol.2
03Jan
- Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅳ
  Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.ⅣMathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅲからの続き5.2.例題2f(x)=x4+2x3-3x2+4Sqrt[5]x-5=0f(z)= z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5上式を1回微分する。Print["f′(z)=",D[z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5, z]]f′(z)= 4 Sqrt[5]-6 z+6 z2+4 z3f(z)=z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5上式を2回微分する。Print["f″(z)=", D[z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5, {z,2}]]f″(z)=-6+12 z+12 z2f (z)=z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5上式を3回微分する。Print["f‴(z)=", D[z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5, {z,3}]]f‴(z)=12+24 z3回微分は0になる。Solve[ 12+24 z==0,z]z=-1/2他の係数を評価する、Print["f(z)=",N[z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5]]Print["f′(z)=",N[4 Sqrt[5]-6 z+6 z2+4 z3]]Print["f″(z)= ",-6+12 z+12 z2]Print["f‴(z)=",12+24 z]f(z)=-10.40963595499958f′(z)=12.94427190999916f″(z)=-9f‴(z)= 0z=-1/2を例題１式:f(z)=z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5、及び1回微分式:f′(z)= 4 Sqrt[5]-6 z+6 z2+4 z3、2回微分式:f″(z)= -6+12 z+12 z2、3回微分式:f‴(z)=12+24 z に代入する。Print["f(z)=",z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5]f(z)=-10.40963595499958=dPrint["f′(z)=",4 Sqrt[5]-6 z+6 z2+4 z3]f′(z)=12.94427190999916=cPrint["f″(z)=",-38-6 z+12 z2]f″(z)=-9=2bPrint["f‴(z)= ",-6+24 z]f‴(z)=0f(t)=t4+f‴(z)t3/3!+f″ (z)t2/2!+f′ (z)t+f(z)f(t)=t4+f‴(z)t3/3!+2b*t2/2!+c*t+df(t)=t4+0+2*(-9/2)t2/2!+12.94427190999916t-10.40963595499958f(t)=t4+0+2b*t2/2!+c*t+df(t)=-10.40963595499958+12.94427190999916 t-4.5 t2+t4f(t)=d+c*t+b* t2+t4f(z)=-10.40963595499958=df′(z)=12.94427190999916=cf″(z)=-9=2bf‴(z)=0f(z)=z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5f(z)=f(-1/2)=z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5=-10.40963595499958=df′(z)=f′(-1/2)=4Sqrt[5] -6 (-1/2)+6(-1/2)2+4 (-1/2)3= 12.94427190999916=cf″(z)=f″(-1/2)=-6+12(-1/2)z+12 (-1/2)2= -9=2bPrint["f(z)=",N[z4+2z3-3z2+4Sqrt[5]z-5]]Print["(f′(z)=",N[4Sqrt[5] -6 z+6 z2+4 z3]]Print["(f″(z)=",-6+12 z+12 z2]Print["f‴(z)=",12+24 z]f(z)=-10.40963595499958f′(z)=12.94427190999916f″(z)= -9f‴(z)= 0すると、簡約された4次方程式は次のようになる。f(t)=t4+f‴(z)t3/3!+f″ (z)t2/2!+f′ (z)t+f(z)=0f(t)=t4+0+-9t2/2!+12.94427190999916t-10.40963595499958f(t)=-10.40963595499958+12.94427190999916 t-4.5 t2+t4b=-4.5c=12.94427190999916d=-10.40963595499958b2/16-d/4=(-4.5)2/16-(-10.40963595499958)/4=3.868033988749895c2/64=12.944271909999162/64=2.618033988749895ω3+bω2/2+(b2/16-d/4)ω-c2/64=0ω3-4.5ω2/2+3.868033988749895ω-2.618033988749895=0resolvent cubic equationsレゾルベント3次方程式の係数について、HermiteQuinticSolve[x3-4.5x2/2+3.868033988749895x-2.618033988749895==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3-4.5x2/2+3.868033988749895x-2.618033988749895==0,x]//ChopKleinSolve[x3-4.5x2/2+3.868033988749895x-2.618033988749895==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3-4.5x2/2+3.868033988749895x-2.618033988749895==0==0,x]{{x->0.6250000000000001 -1.492450665432494*I},{x->0.6250000000000001 +1.492450665432494*I},{x->1}}何れも使用可だが、取り敢えず最初の解を取る。ω=1Print["u=",±Sqrt[ω]]u=±1uは正の1を取る。u=+1Print["s=",4u]Print["v=",b/2+2u2-c/(8u)]Print["r=",b/2+2u2-c/(2u)]s=4b=-4.5c=12.94427190999916d=-10.40963595499958v=-1.868033988749895r=-6.72213595499958Print["2u+s=",2u+s]Print["2v+r=",2v+r]2u+s=62v+r=-10.45820393249937ここで、t に関する解は次のようになる。Print["t1=",(-(2u+s)+Sqrt[(2u+s)2-4*3*(2v+r)])/(2*3)]t1=(-4.5+Sqrt[4.52-12*(-5.0625)])/6Print["t2=",(-(2u+s)-Sqrt[(2u+s)2-4*3*(2v+r)])/(2*3)]t2=(-4.5-Sqrt[4.52-12*(-5.0625)])/(2*3)Print["t3=",(-(2u-s)+Sqrt[(2u-s)2-4*1*(2v-r)])/(2*1)]t3=(-(-1.5)+Sqrt[(-1.5)2-4*(-15.4375)])/2Print["t4=",(-(2u-s)-Sqrt[(2u-s)2-4*1*(2v-r)])/(2*1)]t4=(-(-1.5)-Sqrt[(-1.5)2-4*(-15.4375)])/2最後に、解をxの元の値に変換するには、x=z+t そして、z=-1/2t1=1.118033988749895t2= -3.118033988749895t3= 1 +1.4092792404274568*It4= 1 -1.4092792404274568*IPrint["x1=",z+t1]Print["x2=",z+t2]Print["x3=",z+t3]Print["x4=",z+t4]解x1=0.6180339887498949x2= -3.618033988749895x3=0.5 +1.4092792404274568*Ix4=0.5 - 1.4092792404274568*ICoffee breakAdriaen van Roomenアドリアーン・ファン・ルーメンは「Ideae mathematicae数学の思想」（1593年）の中で、45次方程式x45− 45x43+ 945x41− 12300x39+ … − 3795x3+ 45x = Aを解く課題を「世界中の数学者」への挑戦という形で出した。Netherlandsネーデルラントの大使はフランス国王アンリ4世にフランスの数学者の質の低さについて言及し、フランス人はRoomenルーメンの問題を解く事ができないと述べた。そこで、アンリ4世はFrançois Vièteフランソワ・ヴィエトにその問題を提示した。ヴィエトは直ぐに、この式がsin(θ)をx = sin(θ/45)で表したものである事を認識し、23個の正解を見出した。当時は未だ、負の根は考慮されていなかった。三角法を適用する事により、彼はタルタリアの三次方程式の解を、正多角形を含む三角法の解へと簡約した。この技術の向上は、ここでも記法の向上の直接的な結果であった。、ヴィエトの解は1595年に出版され、その小冊子の巻末で、彼は3つの与円に接する円を描くというApollonian Problemアポロニアン問題を提示した。ファン・ルーメンは2本の双曲線を用いてこの問題を解き、1596年にその結果を発表した。ヴィエトは1600年に定規とコンパスを用いたApollonian Problemアポロニウス問題の解法を発表し、ファン・ルーメンに大きな感銘を与えた。ファン・ルーメンはヴィエトの数学的才能に深く感銘を受け、健康回復の為フランスを訪れ、パリに到着すると、ヴィエトがPoitouポワトゥーにいると聞き、彼と話をする為に当地へ向かった。二人はそこで1ヶ月間共に過ごし、肝胆相照らす中になった。※肝胆相照：韓愈768年‐824年「中国、唐代中期の文学者、思想家、政治家」　　　　　　　　　　　　　HermiteQuinticSolve[x4+2x3-3x2+4Sqrt[5]x-5==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x4+2x3-3x2+4Sqrt[5]x-5==0,x]//ChopKleinSolve[x4+2x3-3x2+4Sqrt[5]x-5==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x4+2x3-3x2+4Sqrt[5]x-5==0,x]{{x->-3.6180339887498953},{x->0.5000000000000001 -1.409279240427457*I},{x->0.5000000000000001 +1.409279240427457*I},{x→0.6180339887498948}}解x1=0.6180339887498948x2= -3.6180339887498953x3=0.5000000000000001 +1.409279240427457*Ix4=0.5000000000000001 – 1.409279240427457*I完
- Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅲ
  Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.ⅢMathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅱからの続き4. 4次多項式与えられた簡約形式の 4 次多項式に対して、f(x)=x4+bx2+cx+d=0同等の多項式は次の形式になる。[2(x2+ux+v)]2-[1(x2+sx+r)]2=3f(x)=0 (4)式(4)において、p =4、q =1なので、f(x)にp-q = 4-1 =3を乗じて等価性を維持する。解は次のように分解する事で簡単に得られる。A2-B2=(A-B)(A+B)=0A-B=0A+B=0orA± B=0以下の式を取る。A=2(x2+ux+v)B=2(x2+sx+r)2(x2+ux+v)解xは一般的な形式になります。1(x2+sx+r)=0(2±1)x2+(2u±s)x+(2v±r)=0解xは一般的な形式になる。x=(-(2u±s)±Sqrt[(2u±s)2-4(2±1)(2v±r)])/(2*(2±1)) (5)The four values of x will be:x1=(-(2u+s)+Sqrt[(2u+s)2-4(2+1)(2v+r)])/(2*(2+1)) (6)x2=(-(2u+s)-Sqrt[(2u+s)2-4(2+1)(2v+r)])/(2*(2+1)) (7)x3=(-(2u-s)+Sqrt[(2u-s)2-4(1)(2v-r)])/(2*(1)) (8)x4=(-(2u-s)-Sqrt[(2u-s)2-4(1)(2v-r)])/(2*(1)) (9)同値多項式u、v、s、rの未定係数は以下のように決定される。同値多項式を展開し、元の多項式と等しくすると、次のようになる。[2(x2+ux+v)]2-[1(x2+sx+r)]2=3f(x)=0 [2(x2+ux+v)]2-[1(x2+sx+r)]2=3x4+(8u-2s)x3+(4u2+8v-s2-2r)x2+(8uv-2sr)x+4v2-r23f(x)=3x4+0x3+3bx2+3cx+3d=0Equating the coefficients term by term gives the following equations:係数を項毎に等しくすると、次の式が得られる。8u-2s=0 (10)4u2+8v-s2-2r=3 (11)8uv-2sr=3c (12)4v2-r2=3d (13)式(10)からs = 4uが得られる。s = 4uを式(11)と式(12)に代入し、vとrをuについて同時に解くと、次の式が得られる。v=b/2+2u2-c/(8u)r=b/2+2u2-c/(2u)式(13)のvとrの表現をuに代入して整理すると次のようになる。u6+bu4/2+(b2/16-d/4)u2-c2/64=0 (14) 式（14）において新たな変数ωを定義し、ω=u2ω3+bω2/2+(b2/16-d/4)ω-c2/64=0 (15)式(24)はresolvent cubic equationsレゾルベント3次方程式であり、本論文で示した方法やその他の確立された方法を用いて解く事ができる。レゾルベント3次方程式には3つの根があり、それらの根は全て4次方程式と同じ解を与える事に注意する必要がある。3次方程式は少なくとも1つの実根を持つ必要がある為、レゾルベント3次方程式に複素根が含まれる場合にも使用できる。それ以外の場合、以下の例に示すように、レゾルベント3次方程式の全ての根が実根である場合は、それらの根のどれを使用しても、元の4次方程式と同じ解が得られる。段階的に解く方程式は以下の通りです。ω3+bω2/2+(b2/16-d/4)ω-c2/64=0u=±Sqrt[ω]s=4uv=b/2+u2-c/(8u)r=b/2+u2-c/(2u)上記の手順で等価な4次方程式u、v、s、rの係数が決定されると、元の簡約4次方程式の解は上記の式(6)～式(9)で示されるように算出される。5.例題例題は一般4次方程式の実根と複素根が含まれる二つの式を使った。今回は例題を一気に解く事は出来ず、Step by Stepで解いて行く。与えられた4次方程式は、関数評価法 (Tiruneh, 2020) を用いて簡約する事ができる。この関数評価法は、二項展開からも以下のように導出できる。変数 z及び t を次のように定義する。x=z+tz の値は、結果として得られる 4 次多項式方程式が変数 t に関して簡約された形になるように選択される。二項展開を使用すると、元の方程式は次のように z と t に関して表す事ができる。f(t)=t4+f‴(z)t3/3!+f″(z)t2/2!+f′(z)+f(z)=0t3 の係数は簡約形式ではゼロになる必要がある為、次のようになり、よって3回微分は0になる。f‴(z)=05.1.例題1f(x)=x4-x3-19x2-11x+30=0f(z)=z4-z3-19z2-11z+30上式を1回微分する。Print["f′(z)=",D[z4-z3-19z2-11z+30, z]]f′(z)= -11-38 z-3 z2+4 z3f(z)=z4-z3-19z2-11z+30上式を2回微分する。Print["f″(z)=", D[z4-z3-19z2-11z+30, {z,2}]]f″(z)= -38-6 z+12 z2f (z)=z4-z3-19z2-11z+30上式を3回微分する。Print["f‴(z)=", D[z4-z3-19z2-11z+30, {z,3}]]f‴(z)=-6+24 z3回微分は0になる。Solve[ -6+24 z==0,z]z=1/4z=1/4を例題１式:f(z)=x4-x3-19x2-11x+30、及び1回微分式:f′(z)= -11-38 z-3 z2+4 z3、2回微分式:f″(z)= -38-6 z+12 z2、3回微分式:f‴(z)=-6+24に代入する。Print["f(z)=",z4-z3-19z2-11z+30]f(z)=6669/256=26.05078125=dPrint["f′(z)=",-11-38 z-3 z2+4 z3]f′(z)= -165/8= -20.625=cPrint["f″(z)=",-38-6 z+12 z2]f″(z)= -155/4= -38.75=2bPrint["f‴(z)= ",-6+24 z]f‴(z)=0f(z)=f(1/4)=(1/4)4-(1/4)3-19(1/4)2-11(1/4)+30=26.05078125=df′(z)=f′(1/4)=-11-38 (1/4)-3(1/4)2+4 (1/4)3= -20.625=cf″(z)=f″(1/4)=-38-6 (1/4)+12(1/4)2= -38.75=2bすると、簡約された4次方程式は次のようになる。f(t)=t4+f‴(z)t3/3!+f″ (z)t2/2!+f′ (z)t+f(z)=0f(t)=t4+0-38.75t2/2!-20.625t+26.05078125f(t)=26.05078125 -20.625 t-19.375 t2+t4f(t)=d +c*t+b*t2+t4b=-19.375c=-20.625d=26.05078125b/2=-19.375/2=-9.6875b2/16-d/4=(-19.375)2/16-26.05078125/4=16.94921875c2/64=6.646728516resolvent cubic equationsレゾルベント3次方程式の係数について、ω3+bω2/2+(b2/16-d/4)ω-c2/64=0ω3-9.6875ω2+16.94921875ω-6.646728516=0上式のωを解く。HermiteQuinticSolve[x3-9.6875x2+16.94921875x-6.646728516==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3-9.6875x2+16.94921875x-6.646728516==0,x]//ChopKleinSolve[x3-9.6875x2+16.94921875x-6.646728516==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3-9.6875x2+16.94921875x-6.646728516==0,x]{{x->0.5625000000535714},{x->1.5624999999375004},{x->7.562500000008929}}何れも使用可だが、取り敢えず最初の解を取る。ω=0.5625000000535714Print["u=",±Sqrt[ω]]U=±0.75uは正の0.75を取る。u=+0.75Print["s=",4u]Print["v=",b/2+2u2-c/(8u)=-19.375/2+2*(0.75)2-(-20.625)/(8*(0.75))]Print["r=",b/2+2u2-c/(2u)=-19.375/2+2*(0.75)2-(-20.625)/(2*(0.75))]s=3v=-5.125r=5.1875Print["2u+s=",2*(0.75)+3]Print["2v+r=",2*(-5.125)+5.1875]2u+s=0.452v+r=-5.0625ここで、t に関する解は次のようになる。Print["t1=",(-(2u+s)+Sqrt[(2u+s)2-4*3*(2v+r)])/(2*3)]t1=(-4.5+Sqrt[4.52-12*(-5.0625)])/6=0.75Print["t2=",(-(2u+s)-Sqrt[(2u+s)2-4*3*(2v+r)])/(2*3)]t2=-4.5-Sqrt[4.52-12*(-5.0625)])/(2*3)=-2.25Print["t3=",(-(2u-s)+Sqrt[(2u-s)2-4*1*(2v-r)])/(2*1)]t3=(-(-1.5)+Sqrt[(-1.5)2-4*(-15.4375)])/2=4.75Print["t4=",(-(2u-s)-Sqrt[(2u-s)2-4*1*(2v-r)])/(2*1)]t4=(-(-1.5)-Sqrt[(-1.5)2-4*(-15.4375)])/2=-3.25最後に、解をxの元の値に変換するには、x=z+t そして、z=1/4t1=0.75t2=-2.25t3=4.75t4=-3.25解を求める。Print["x1=",z+t1]Print["x2=",z+t2]Print["x3=",z+t3]Print["\x4=",z+t4]解x1=1x2=-2x3=5x4=-3HermiteQuinticSolve[x4-x3-19x2-11x+30==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x4-x3-19x2-11x+30==0,x]//ChopKleinSolve[x4-x3-19x2-11x+30==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x4-x3-19x2-11x+30==0,x]{{x→-3.},{x→-2.},{x→1.},{x→5.}}解x1=1x2=-2x3=5x4=-3続編：Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅳ
- Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅱ
  Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.ⅡMathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅰからの続き「De numerosa potestatum」では、彼は、通常の根の抽出に似た数値方程式の根の近似方法を示している。 f（x）= k（k は正）とし、彼は必要な根を残りの部分から分離し、近似値を代入して、除算によって根の別の桁を取得できる事を示している。このプロセスを繰り返すと次の桁が得られる。このように、x5 - 5x3 + 500x = 7,905,504 では、r = 20 とし、7,905,504 - r5 + 5r3 – 500r を計算し、その結果を現代の表記法で f[r + s1] - f[r] - （s1n）nとなる値で割る。n は方程式の次数、s1 は次の桁の単位です。従って、必要な根が 243 で r が 200 とすると、s1 は 1 になる。上記の例では、 r = 20 の場合、除数は 878,295 で、商は根号の次の桁である 4 になる。x = 20 + 4 = 24 となり、必要な根号が得られる。彼による3次方程式の解は次の通りです。x3 + 3B2x = 2Z3 が与えられる。これを解くには、y2 + yx = B2 とする。この方程式の構成から、B2 は2辺のうち短い方が y で、長い方の辺との差が x である長方形である事が分かる為、（B2 - y2）/y = x となる。従って、（B6 - 3B4y2 + 3 B2y4 - y6）/y3 +（3B4 - 3B2y2）/y = 2Z3 となる。全ての項に y3 を掛け、適切に順序付けると、 y6 + 2X3y3 = B6 となる。この方程式は正の根を持つ2次方程式である為、3次根も持つ。このようにして、必要な簡約が実現される。結論：従って、x3 + 3B2x = 2Z3、 –Z3 = D3の場合、（B2 - D2）/Dは要求どおりxになる。彼は、biquadratics双二次方程式の解法に於いて、自身の簡略化原理を忠実に守っている。まずx3を含む項を消去し、x4 + a2x2 + b3x = c4という形を得る。次に、x2とxを含む項を方程式の右辺に移動し、各辺にx2y2 +y4/4を加算して、（x2 +y2 /2）2 =x2（y2 - a2）- b3x + y4/4 +c4とする。そして、この方程式の右辺が完全な平方根となるようにyを選ぶ。このyの値を代入する事で、両辺の平方根を取る事で、xに関する2つの二次方程式を得る事ができ、それぞれを解く事ができる。第6章の定理3において、彼は三次方程式におけるタルタリアの既約な場合の三角関数解を与えている。彼は、a> b/2のとき、x = 2a cos αとし、b =2a cos3αから3αを決定する事で、方程式（2 cos α）3 - 3（2 cos α）= 2 cos 3αをx3 - 3a2x = a2bの解に適用する。最後の章で、彼は代数方程式 φ（x）= 0 の第 1 要素を第 2 次から第 5 次まで線型因子 x - xk に分解する。※これらを逆三角関数で表すと強力なツールになる。cos α=x / 2acos3α=b/2acos 3α=（（2 cos α）3 - 3（2 cos α））/2α=ArcCos[x / 2a]α=ArcCos[b/2a]/3α=ArcCos[（（2 cos α）3 - 3（2 cos α））/2] /3目的：本研究の目的は、4次の多項式方程式を解く為の、より直接的かつ直感的なアプローチを開発する事であった。研究デザイン：本研究では、従来の定式化よりも直感的で直接的な定式化が可能で、容易に解ける同値多項式置換法を採用した。方法：4次方程式の解析解を求める為の2つの代替手順を提示し、実例を用いて実証した。解は、中間変数の置換を伴わない直接的な手順によって導出された。結果：4次方程式には、3次方程式と同じ分解形式が用いられる。対称形を持つ2つの2次多項式を用いる為、解の導出と方程式の解法が容易になる。結論：代替式は定式化と解法が容易であり、多項式方程式の理解と解法の為のより直感的な基礎を提供します。2. 序論二次方程式及び三次方程式の形で多項式方程式を解く方法は、紀元前2000年頃のバビロニア数学者の初期時代から現れた。ルネサンス期（1450-1630年）には、イタリアの数学者によって三次および四次多項式方程式の代数的解法が確立された。 Del Ferroデル・フェロは1505年に簡約形で与えられた三次方程 x3+ax=b 式を解いたが、その解は公表しなかった。Nicolo Brescia ニコロ・ブレシア（Tartaglia タルタリアとしても知られる）もより進んだ三次方程x3+ax2=b 式の解法を開発した。タルタリアによって築かれた基礎研究に続き、Francois Vieta フランソワ・ヴィエタ（1540-1603）は変数変換を導入する事で三次方程式の解法を一般化した。Joseph Louis Lagrange ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ（1736-181）は、三次多項式方程式を解く際に、代入法ではなく結合法を用いた。ラグランジュは、三次方程式の三つの根が、複素共役の1の三次根の1つであるωを係数とし、三次方程式の根x1、x2、x3を変数とする対称関数を形成すると考えた。根は、元の 3 次方程式の係数で表される対称関数の 2 つの組み合わせを解く事で得られる。ラグランジュの解法自体は、この方法が確立される前から暗黙的に離散Fourier transform フーリエ変換を含んでいた。ラグランジュの方法は、5 次以上の多項式の不解条件に関するGallois Theory ガロア理論の前身ともなった。Leonhard Euler レオンハルト・オイラー（1707-1783）は、簡約された四次多項式方程式の根 x1 + x2 + x3 + x4 の和が 0 に等しい事を観察した。4 つの根の値の変化に関して、この条件は 3 つの自由度しか提供しない。これは、変数 x のうちの 3 つが固定されている場合、4 番目の変数は変更できず、3 つの変数から決定する必要がある為です。この事からオイラーは、根が 3 つの変換された変数で表現できる事を示唆した。この事実を使用して、根が得られるこれらの 3 つの変数を決定する解決策の3 次方程式を解く。FathiファティとSharifan シャリファンは、3 つの変換された変数 u、v、s を使用して x= u+v+s となる四次方程式を解く新しい方法を示した。Ravindra Shripad Kulkarniは多項式方程式を解く統一的な方法を定式化し、その方法を2次、3次、4次多項式に適用できる事を実証した。真根を偽根から分離して導く新しいTschirnhaus transformation Tschirnhaus 変換法は、Ravindra Shripad Kulkarni によって提案されている。Tschirnhaus 変換の利点は、変換後の多項式が、例えば 3 次多項式では y3+A = 0、4 次多項式では y4 +ay2+b = 0 のように簡単に解ける事である。4 次方程式を解く為のより簡略化されたアプローチについては、Okoli らの最近の研究を参照する事ができる。実根、複素根、同一根、及び循環根の発生条件を含む、根号を用いた 2 次、3 次、および 4 次方程式の統一的な解法については、Ungal の論文が十分な説明を提供している。4 次方程式の解の幾つかは、何らかの親統一法の分岐と見なす事ができる、異なる形式の解決可能な 3 次方程式を伴う。この為、Shimakov シマコフの研究は、4次多項式方程式を解く為の統一的なアプローチを確立する事に光を当てている。本論文で提示する手法は、最小限の代数的操作で直接解ける一般的な等価多項式を用いて、4次方程式の代替解法を提供する。この代替手法を提示する目的は、より単純で直接的かつ直感的な多項式方程式の解法を示す事である。3次方程式はdel Ferro デル・フェロによってx3+ax=b が導入された。Niccolo Tartagliaニッコロタルタリアはより難易度の高い3次方程式、つまり「平方と立方を数に等しくする」、x3+ax2=b に辿り着いた。 4次方程式は3次方程式より次数が上がるので4次方程式の方が3次方程式より難しいと思われがちだが、そうではない。タルタリアの手法で3次方程式の解法を体得できれば4次方程式の解法は容易だ。実際4次方程式の解法では3次方程式解法で使用した指数関数と三角関数の関係式は不要なので、入力スクリプトは3次方程式の1/3位で済んでしまう。一方5次方程式解法は別次元で難易度は遥かに高い。「Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始め」と「MathematicaでTschirnhaus'transformationの五次方程式解法事始め」で一般5次方程式の解をそれぞれ出したが入力スクリプトは3次方程式の比ではない。3. 方法論関数評価を用いた一般4次方程式の解の簡略化された表現。4次多項式方程式 f(x) = 0 が与えられた場合、4次方程式に適用可能な一般式は、次の形式の同値多項式の単純な定式化から導出される。p(g(x))m-q(h(x))m=f(x)=0 (1)ここで、g(x) と h(x) は、m ≦ n となるように形成される多項式であり、n は元の多項式の次数である。係数 p と q は実定数または複素定数である。4次多項式の場合、与えられた方程式が簡約形であるとすると、f(x)=x4+bx2+cx+d=0 　　　　　　　　　　　　　　　 (2)等価多項式は次の形をとる、[2(x2+ux+v)]2-[1(x2+sx+r)]2=3f(x)=0 (3)式（3）では、p =4、q =1なので、f(x)にp-q = 4-1 =3を乗じて等価性を維持する。pとqには、p=2、q=1などの他の値も使用できる。しかし、この解には2の平方根という複雑な要素が含まれるが、p=4、q=1とする事で簡単に回避できる。以下の節では、上記の公式を用いて解を求める手順を説明する。上記の式に於いて、g(x)=x2+ux+vh(x)=x2+sx+r及びm=2続編：Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅲ
- Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅰ
  Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅰはじめに前回はMathematicaで4次方程式解法の事始めで記述したタルタリアの手法で4次方程式を解いた。今回はMathematicaで3次方程式解法の事始めPart2で使用した微分を基に、4次方程式の解法を記述した。3次方程式解法では2回微分の式が0になる。従って4次方程式では3回微分が0になる事は容易に察しが付く。代数方程式の歴史を記述している手前、数学処理ソフトの実装で、式を書いて解を出せのたった2行で済む解法だけでは無く、400年前の解法も記述した。コンピュータの無い時代に、代数方程式を色々式変形して、やっと解を出すやり方が、ここには合っている。具体的にはFrançois Vièteフランソワ・ヴィエトの数学研究から一般4次方程式の解を求める。要約4次方程式は根号によって解ける。これは、4次方程式の解が、加算、減算、乗算、除算、そして平方根と立方根を求めるという4つの基本的な算術演算を用いて得られる事を意味する。説明文だけで無く、実際の例題をMathematicaで解いて筋道を確認する。例題は一般4次方程式の実根と複素根が含まれる二つの式を使った。注：式の画像だけではなく、書ける範囲でワープロで記述した。Iは虚数。シリーズ物 Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2　Mathematicaで3次方程式の解法事始め　Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始め　MathematicaでTschirnhaus'transformationの五次方程式解法事始め　Mathematicaで楕円関数を用いた一般五次方程式の事始め　Mathematicaで4次方程式の解法事始め　Mathematicaで5次方程式解法の事始め1.Vièteヴィエト生誕：Franceフランス、Fontenay-le-Comte、Poitou（now Vendéeヴァンデ）、1540年死亡：Franceフランス、Paris パリ、1603年12月13日上席公務員、数学者。フランソワ・ヴィエトの父はエティエンヌ・ヴィエトで、フランス西部の海岸沿いの町ラ・ロシェルの東約50kmにあるフォントネー＝ル＝コントの弁護士でした。母はマルグリット・デュポンです。François Vièteフランソワ・ヴィエトを彼と記す。彼はフォントネー＝ル＝コントの学校に通い、その後フォントネー＝ル＝コントの東約80kmにあるポワティエに移り、University of Poitiers ポワティエ大学で教育を受けた。父の職業を考えると、ヴィエトが大学で法律を学んだのも不思議ではない。1560年に法学の学位を取得した後、彼は法曹界に入ったが、4年間しかその道に留まらず、転職を決意した。彼の人生は一言で云えば当時のフランスでの宗教戦争及び政治紛争に巻き込まれ、本職は上席公務員だが、寸暇を惜しんで、畑違いの数学及び天文学を研究した。従って、彼の紹介には当時のフランス情勢をも語らず得ない。1564年、彼はアントワネット・ドーブテールに仕える職に就いた。彼はアントワネットの娘カトリーヌの教育監督を任された。カトリーヌは後にカトリーヌ・ド・パルトネーとなった（パルトネーはフォントネー＝ル＝コントとポワティエのほぼ中間地点にある）。カトリーヌの父は1566年に亡くなり、アントワネット・ドーブテールは娘と共にラ・ロシェルに移った。ヴィエトも雇い主とその娘と共にLa Rochelleラ・ロシェルに移った。彼の生きた時代は、フランスに於ける大きな政治的、宗教的不安の時代であった。シャルル9世は1560年にフランス王となり、その後まもなく、1562年にフランス宗教戦争が始まった。これらの戦争はプロテスタントとローマカトリック教徒の間の戦争であったと言うのは極端に単純化し過ぎているが、さまざまな派閥間の戦闘は世紀の終わり近くまで断続的に続いた。1570年、彼はLa Rochelle ラ・ロシェルを去り、Paris パリへ移った。プロの科学者や数学者として雇われた事はなかったが、彼は既に数学と天文学のテーマに取り組んでおり、最初の数学書は1571年にパリで出版された。彼がパリにいる間、シャルル9世は1572年8月23日、フランスのプロテスタントの中で勢力を増していたユグノーの虐殺を認可した。これは彼にとって非常に困難な時期であったに違いない。なぜなら、プロテスタント運動には積極的では無かったものの、彼自身がユグノーであったからである。シャルル9世はこの事件の後、長くは生きられず、この虐殺は生涯シャルル9世を苦しめたようである。しかし、1573年10月24日、シャルル9世は彼をRennes レンヌに拠点を置くブルターニュ政府の役職に任命した。彼はRennesレンヌに移り、そこで顧問官の職に就いた。彼は1580年3月Paris パリに戻るまでRennes レンヌに留まった。シャルル9世は1574年5月30日に崩御し、その死後アンリ3世が国王となった。アンリ3世は1576年にプロテスタントのユグノーに譲歩し、ローマ・カトリック教徒は軍事行動によって自らの利益を守るため神聖同盟を結成した。この緊迫した雰囲気の中で、1580年3月25日、彼はアンリ3世によって王室枢密顧問官に任命され、パリの議会に所属した。1584年、アンリ3世の弟が亡くなり、プロテスタントのナバラ王アンリが王位継承者になると、神聖同盟は強化された。プロテスタントがフランスを支配する事を恐れた神聖同盟は、カトリック教徒の為により激しく戦った。王室にはさまざまな政治的目的を持つ派閥があり、1584年にユグノーとして知られていた彼の立場は維持できなくなり、政敵によって宮廷から追放された。パリを離れ、彼は故郷のフォントネー・ル・コントの北西約130kmの海岸沿いにあるBeauvoir-sur-Mer ボーヴォワール・シュル・メールに向かった。ボーヴォワール・シュル・メールで過ごした5年間、彼は数学の研究に専念する事ができた。多くの点で、彼の敵は数学に恩恵をもたらした。何故なら、正式な職務の無いこの期間に、彼の最も重要な数学研究が行われたからです。1587年、ナバラ王アンリがアンリ3世の軍隊を破った。1588年5月12日、神聖同盟の拠点であったパリの民衆が蜂起し、アンリ3世はシャルトルへ逃亡した。この段階でアンリ3世は彼を呼び寄せ、1589年4月にTours トゥールに設置された議会に彼を復帰させた。アンリ3世はナバラ王アンリと和解し（力を合わせる事が都合が良かった為）、1589年に一緒にパリを奪還しようとした。しかし、その年の8月1日、アンリ3世はジャコバン派の修道士に暗殺された。ローマ・カトリックの対抗宗教改革の擁護者であったスペイン国王フェリペ2世は、フランスに資金と軍隊を派遣する事で神聖同盟を支援した。アンリ3世が暗殺された後、フェリペは娘のイザベラ・クララ・エウヘニアにフランス王位を主張した。1589年10月28日付の暗号で書かれたフェリペへの手紙は、次期国王アンリ4世となるナバラ王アンリの手に渡った。アンリ3世の暗殺後、彼はアンリ4世に仕えた。彼は今やプロテスタントの王を支えるプロテスタントとして、より確固たる立場にあった。彼はRennes レンヌに6年間留まり、1580年3月25日、パリの尋問官（高等法院付属の役職）兼王室枢密顧問官となった。1584年末から1589年4月まで、彼は政敵によって宮廷から追放され、Beauvoir-sur-Mer ボーヴォワール＝シュル＝メールで過ごした。アンリ3世がパリを離れ、政府をトゥールへ移転せざるを得なくなったとき、彼は宮廷に呼び戻され、 Toursトゥールで高等法院の顧問官となった。スペインとの戦争中、この頃までに彼は数学的才能はフランスでよく知られており、アンリ4世の最も忠実な支持者の一人として、敵であるスペイン国王フェリペ2世に送られるメッセージの解読を彼に依頼したのは当然の事でした。暗号内容は同音異義語の置き換えが行われた通常のアルファベットと、2つまたは3つの文字のグループ、あるいは下線または点線で示された2つの数字のグループで表される413の用語のコードリストで構成されていた。2桁のグループの上にある線は、そのグループを無視できる事を示していた。彼が複雑な暗号を解読するのには時間を要した。最初はメッセージの一部しか解読できず、アンリ4世にその一部を転送したが、最終的に彼は1590年3月15日に完全に解読されたメッセージをアンリ4世に送った。彼はプロの数学者ではなかったものの、数学に関する講義を行った。例えば1592年にはTours トゥールで講義を行い、定規とコンパスだけで円を正方形にしたり、角を三等分したり、立方体を2倍にしたりできるという当時の主張について論じた。これらの講義で彼は、その年の初めに発表された「proofs 証明」が誤りである事を示した。1592年、アンリ4世はパリを掌握しておらず、スペインの支援を受けたフランスの神聖同盟の反対に遭っていた。アンリ4世は1593年7月にカトリックに改宗したが、これはおそらく宗教的理由というよりも政治的な理由からであった。彼も国王の例に倣い、カトリックに改宗した。アンリ4世の改宗は確かに効果があり、抵抗は弱まり、1594年3月22日にパリを占領した。アンリ4世は1595年1月にスペイン国王フェリペ2世に宣戦布告し、神聖同盟とそのスペイン同盟国による抵抗を一掃し続けた。暗号解読の期間中、彼は再び数学の問題を解いて国王を助けた。1593年にRoomen ルーメンは45次方程式を解く問題を提示した。Netherlands ネーデルラントの大使はアンリ4世にフランスの数学者の質の低さについてコメントし、フランス人はRoomenルーメンの問題を解く事ができないと述べた。アンリ4世は彼にその問題を提示した。彼は根底に三角法の関係がある事に気付いてそれを解いた。彼はRoomenルーメンに、与えられた3つの円に接する円を描く問題（Apollonian Problem アポロの問題）を提示し、ルーメンは双曲線を使用してそれを解き、1596年にその結果を発表した。その後、彼とルーメンは肝胆相照らす中になった。彼は1597年までパリでアンリ4世に仕え、その後故郷のFontenay-le-Comte フォントネー＝ル＝コントに戻った。2年後、再びパリに戻り、アンリ4世に仕えたが、1602年12月14日にアンリ4世によって解任された。そして、ほぼ1年後に亡くなった1603年12月13日。彼の最初の科学的著作は、パルテネーのカトリーヌへの講義でしたが、そのうちの 1 つだけがフランス語の翻訳で残っている。それは、「Principes de cosmographie, tirés d’un manuscrit de Viette,et traduits en françois 宇宙論の原理、ヴィエットの研究、フランソワの貿易」（パリ、1637 年）です。この小冊子には、球面、地理学の要素、天文学の要素に関するエッセイが収められているが、出版される事はなかった彼の初期の研究の一部は、数理天文学の主要な著作「Ad harmonicon coeleste 」の執筆に向けられた。これは出版される事はなかったが、自筆を含む4つの原稿が現存し、Libri によって再発見された。彼はPtolemyプトレマイオスとコペルニクスの惑星理論の幾何学にのみ興味があり、その理論が実際の物理的現実を表現しているかどうかの問題は考慮しなかったと述べられている。おそらくむしろ驚くべき事に、彼はCopernicus コペルニクスの理論は幾何学的に妥当ではないという結論に達した。彼は1571年に「Canon Mathematicus」の出版を刊行した。これは天文学論文の数学的入門書となる事を意図していた。「Canon Mathematicus 」は三角法を扱っており、三角関数の表を掲載し、表作成の数学的な解説に加え、平面三角形と球面三角形の両方の解き方を詳述している。「幾何学の法則の解釈」の概要は彼が「Isagogeイサゴーゲ」の中で次のように述べている。「幾何学に於ける解釈という観点から、分析術は、「辺」と「正方形」の方程式を完全に解釈するための、より規則的な手順を選択し、列挙する」。つまり、それは、対応する方程式を解くことなく、問題の方程式の係数を用いて幾何学の問題を解く便利な方法に関するものである。彼がこの論文で示す全ての解法は、定規とコンパスを用いた幾何学的作図によって行われている。例えば、命題Xの証明は方程式x2-px = q2を導き、命題XVIIの証明は方程式x4 +p2x2 = p2q2を導く。彼は1591年にTours トゥールで出版した著書「In artem analyticam isagoge」の中で、初めて体系的な代数記法を導入した。その題名は「Introduction to the analytic art 解析学入門」を意味し、代数学の本とは到底思えない為、不可解に思えるかもしれない。しかし、彼はアラビア数学を好みではなく、カルダンなどのイタリアの数学者や古代ギリシャの数学者の研究を基にして著作を著した。しかし、もし彼がアラビア数学をより深く理解していたら、彼が生み出したアイデアの多くが、既にアラビアの初期の数学者たちに知られていた事に気づいたかもしれないと言わざるを得ない。未知数xをAで表す際に、彼はA quadratus、A cubus…を用いてx2、x3…を表す事もあった。この革新は数学史上最も重要な進歩の一つと考えられており、代数学の発展への道を切り開いた。1591 年版の「Isagogeイサゴーゲ」において、彼は既に「De numerosa potestatum purarum, atque adfectarum ad exegesin resolutione tractatus 累乗の数値的分解について、訳注：解釈によって完成する論考」の骨子を述べていた。題名に出てくる「累乗の数値的分解」とは、x2 = 2916 や x2 + 7x = 60750 のような数値解を持つ方程式を解く事を意味する。この著作は 1600 年にパリで出版され、マリノ・ゲタルディが編集し、彼の同意を得た。彼は方程式論に多くの改良を加えた。しかし、厳密に言えば、彼は方程式そのものを解いたのではなく、比例の問題を解いたと言えるだろう。彼は比例の問題は方程式を解く事と同じだと明言している。しかし、彼は次元の同次性という条件に縛られていた。問題は、x3 +x=1の解を求めると、幾何学的に意味をなさない問題の解を求める事になるということだ。x3 は立方体で、xは直線であり、三次元の物体を一次元物体に加えるのは明らかに意味をなさない。そこで彼は、A3+B2A=B2Zのような方程式の解を求め、彼の慣例に従えば、Aは未知数、BとZは既知であるとする。ここでの次元は「正しい」もので、各項は次元3である。彼は、2次、3次、4次の方程式を解く方法を提示した。方程式の正の根と未知数の異なるべき乗の係数との関係を知っていました。「係数」という言葉が実際には彼に由来する事はおそらく注目に値する。彼がDe numerosa potestatumで行ったように方程式を解く数値的方法を適用した場合、彼はそれ以前のアラビアの数学者によって示された方法と同様の方法を提示した。彼は1595年に、その解答「Ad problema, quod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit Adrianus Romanus, responsum 数学の全体的問題、あるいはその考察はアドリアヌス・ロマヌスに委ねられている」を出版した。序文で彼はこう述べている。「私は数学者を自称する者ではないが、暇さえあれば数学の研究を楽しんでいる…」。ロマヌスの方程式に関して、彼は45 = 3*3*5であるから、角度を一度五等分し、次に二度三等分すればよく、この分割は対応する五次方程式と三次方程式で実行できる事にすぐに気気付いた。上記の問題では、彼は方程式3x-x3 = aを解き、根xを使って3y-y3 = xによりyを決定し、方程式5z-5z3 + z5 = yにより必要な根zを見つけた。※彼の自然科学著書の題名はかなり長い。詩の韻文を踏んでいる？続編：Mathematicaで4次方程式の解法事始めPart2Vol.Ⅱ
28Dec
- Mathematicaで算額奉納事始め
  Mathematicaで算額奉納事始めはじめに年賀状としてMathematicaで算額を記述した。年賀状なので、問題は平易な物にし、また画題は簡易な物にした。正十二面体の頂点座標は黄金比ϕを使って描画する。Mathematicaでそれら頂点座標と面リストを入力して正多面体を描画した。ネットでは正十二面体の黄金比の頂点座標を±記号を使って、数個の頂点座標を示してこれが正十二面体の頂点座標ですと云った例が見掛けるが、これは正しくない。正十二面体の頂点座標は20個有り、それに対応する面リストが必須で、これが無いと正十二面体は正確に描画できない。Mathematicaでは黄金比をϕと記す。正多面体は五個しかない、正十二面体と正二十面体には黄金比ϕ が潜んでいる。正多面体は、数学の宝の採石場で、玉を掘り当てるのは数学マニアの醍醐味である。古来より正多面体は紙とペンで研究されてきた。一昔前はHemmi計算尺、Tiger計算機から電卓、コンピュータが一般的になると、ソフトはBasic ,Fortan、Algol、Cが使われた。今は豊富な正多面体関数を包含しているMathematicaが簡易だ。シリーズ物　Mathematicaで黄金比の事始め Mathematicaで正多面体の黄金比の三角関数の表 Mathematicaで正多面体の三角関数を解くϕ= (1 + Sqrt[5])/2N[1/ϕ] = 0.6180339887498948N[ϕ] = 1.618033988749895N[ϕ2] = 2.6180339887498951.問題：二つの立体の間の体積を求める。2.略解2.1.正十二面体の体積は (15+7Sqrt[5] )a3/42.2.正六面体の体積はb33.解：一辺の長さをa= 2 にすると、正十二面体の体積は (15+7Sqrt[5] )a3/4=7.6631a3になる。一辺の長さをb= 2ϕ=(1+Sqrt[5])=3.2361 にすると、正六面体(Cube）の体積はb3になる。よって二つの立体の間の体積は7.6631a3-b3=7.6631*23-3.23613=61.3048-33.8895=27.4153になる。4.正多面体の頂点座標4.1.正十二面体正十二面体の頂点座標は黄金比ϕを使う。黄金比ϕ2,ϕ,1,0を使う。正十二面体の頂点座標は{{0, -1, -ϕ2}, {0, +1, -ϕ2}, {0, -1, +ϕ2}, {0, +1, +ϕ2}, {-1, -ϕ2, 0}, {+1, -ϕ2,0}, {-1, +ϕ2, 0}, {+1, +ϕ2,0}, {-ϕ2, 0, -1}, {-ϕ2, 0, +1},{+ϕ2, 0, -1}, {+ϕ2, 0, +1}, {-ϕ, -ϕ, -ϕ}, {-ϕ, -ϕ, +ϕ}, {-ϕ, +ϕ, -ϕ}, {-ϕ, +ϕ, +ϕ]}, {+ϕ, -ϕ, -ϕ}, {+ϕ, -ϕ, +ϕ}, {+ϕ, +ϕ, -ϕ}, {+ϕ, +ϕ, +ϕ}}になる。この場合辺の長さは2になる。RegularDodecahedronVertexData ={{0, -1, -ϕ2}, {0, +1, -ϕ2}, {0, -1, +ϕ2}, {0, +1, +ϕ2}, {-1, -ϕ2, 0}, {+1, -ϕ2,0}, {-1, +ϕ2, 0}, {+1, +ϕ2,0}, {-ϕ2, 0, -1}, {-ϕ2, 0, +1},{+ϕ2, 0, -1}, {+ϕ2, 0, +1}, {-ϕ, -ϕ, -ϕ}, {-ϕ, -ϕ, +ϕ}, {-ϕ, +ϕ, -ϕ}, {-ϕ, +ϕ, +ϕ]}, {+ϕ, -ϕ, -ϕ}, {+ϕ, -ϕ, +ϕ}, {+ϕ, +ϕ, -ϕ}, {+ϕ, +ϕ, +ϕ}}In[]:RegularDodecahedronVertexIndex ={{1, 2, 19, 11, 17}, {2, 1, 13, 9, 15}, {3, 4, 16, 10, 14}, {4, 3,18, 12, 20}, {5, 6, 18, 3, 14}, {6, 5, 13, 1, 17}, {7, 8, 19, 2,15}, {8, 7, 16, 4, 20}, {9, 10, 16, 7, 15}, {10, 9, 13, 5,14}, {11, 12, 18, 6, 17}, {12, 11, 19, 8, 20}}dp2 = RegularDodecahedron =Polyhedron[RegularDodecahedronVertexData,RegularDodecahedronVertexIndex]Graphics3D[{EdgeForm[{Thin, Blue}], FaceForm[{Pink, Opacity[0.7]}],dp2}, Boxed -> False]出力図は後記。4.2.正六面体ϕ= (1 + Sqrt[5])/22.1.黄金比ϕを使う。正六面体の頂点座標は{{-ϕ, -ϕ, -ϕ}, {-ϕ,-ϕ, ϕ}, {-ϕ, +ϕ, -ϕ}, {-ϕ, +ϕ, +ϕ},{+ϕ, -ϕ, -ϕ}, {+ϕ, -ϕ, ϕ}, {+ϕ, +ϕ, -ϕ}, {+ϕ, +ϕ, +ϕ}}になる。この場合辺の長さは2ϕになる。In[]:RegularCubeVertexData ={{-ϕ, -ϕ, -ϕ}, {-ϕ,-ϕ, ϕ}, {-ϕ, +ϕ, -ϕ}, {-ϕ, +ϕ, +ϕ},{+ϕ, -ϕ, -ϕ}, {+ϕ, -ϕ, ϕ}, {+ϕ, +ϕ, -ϕ}, {+ϕ, +ϕ, +ϕ}}RegularCubeVertexIndex = {{1, 2, 4, 3}, {1, 3, 7, 5}, {1, 5, 6, 2}, {8, 6, 5, 7}, {8, 4, 2,6}, {8, 7, 3, 4}}cp3 = RegularCube =Polyhedron[RegularCubeVertexData, RegularCubeVertexIndex]Graphics3D[{EdgeForm[{Thin, Blue}], FaceForm[{Pink, Opacity[0.7]}],cp3}, Boxed -> False]出力図は後記。これら各正多面体の頂点座標を黄金比ϕで記述した描画の副産物として、正十二面体の中に正六面体が収まる。正十二面体黄金比頂点座標ϕ2,ϕ,1,0→正六面体黄金頂点座標比ϕ。In[]:Graphics3D[{EdgeForm[{Thin, Blue}], FaceForm[{Orange, Opacity[0.3]}],cp3, FaceForm[{Pink, Opacity[0.2]}], dp2}, Boxed -> False,ViewPoint -> {10000, 10000, 10000}]正十二面体の中に正六面体が丁度収まる。頂点が飛び出たり、立体が内部でころころしない。Out[]:番外編デジタル正月飾り　植物を切り取ったり、痛めつける事がない、究極の自然に優しい正月飾りである。年末年始に咲く福寿草で目出度い黄金、木瓜と果実が付く南天を使って紅白を表し、正月飾りを仕立てた。添付品として3Dモデルの扇子と青竹を使用した。青葉、青竹は新しい成長を表す。古代エジプトでナイルの氾濫後、新しい草が芽吹く。そこにエジプト文明が開化した。キリスト教はこのプロセスを自己流に利用し、全てが流された後、そこから新しい芽を吹くという事実を、死と復活の教義に結び付けた。完
22Dec
- Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅴ
  Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.ⅤMathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅳからの続き4.3.例題3f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=x3+8.1x2-17.2x+6.4=0a=1b=8.1c=-17.2d=6.4α=-2.7f=f (α)=92.206m=13.02333333m3=2208.851246∆=-333.4585481∴ ∆<0Cos[3ψ]=-0.980947923Sin[3ψ]=0.194270875ψ=0.982026181x0=1.308196337x1=-9.902248954x2=0.494052617f (x)=x3+8.1x2-17.2x+6.4f (z)=z3+8.1z2-17.2z+6.4上式を微分する。Print["f′(z)=",D[z3+8.1z2-17.2z+6.4, z]]f (z)=z3+8.1z2-17.2z+6.4上式を2回微分する。Print["f″(z)=", D[z3+8.1z2-17.2z+6.4, {z,2}]]f′ (z)=-17.2+16.2 z+3 z22回微分はゼロ。f″ (z)=16.2 +6 z=0Solve[16.2 +6 z==0,z]z=-8.1/3=-2.6999999999999997Print["f(-8.1/3)=",z3+8.1z2-17.2z+6.4]Print["f′(-8.1/3)=",-17.2+16.2 z+3 z2]Print["f″(-8.1/3)=", 16.2 +6 z]f(-8.1/3)=92.20599999999999f′ (-8.1/3)=-39.07000000000001f″ (-8.1/3)=0f (z)=z3+8.1z2-17.2z+6.4f′ (z)=-17.2+16.2 z+3 z2R=-f(z)/2Q=f′ (z)/3R=-f(-8.1/3)/2=-92.20599999999999/2Q=f′ (-8.1/3)/3=-39.07000000000001 /3Print["R=",-92.20599999999999/2]Print["Q=",-39.07000000000001 /3]R= -46.102999999999994Q=-13.023333333333335Print["ϱ=",Q3+R2]ϱ=-83.36463703703839∴ ϱ<0f (z)=z3+8.1z2-17.2z+6.4z=-8.1/3=-2.6999999999999997z-2.6999999999999997R=- 46.102999999999994Q=-13.023333333333335Print["θ=",ArcCos[R/Sqrt[(-Q)3]]]Print["θ=",ArcCos[( -46.102999999999994)/Sqrt[(-(-13.023333333333335))3]]]θ=2.94607854398777Print["x3=",2Sqrt[(-Q)]Cos[θ/3]+z]Print["x1=",2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+2π)/3]+z]Print["x2=",2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+4π)/3]+z]解x3=1.308196337074285x1=-9.902248954403037x2= 0.4940526173287507HermiteQuinticSolve[x3+8.1x2-17.2x+6.4==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3+8.1x2-17.2x+6.4==0,x]//ChopKleinSolve[x3+8.1x2-17.2x+6.4==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3+8.1x2-17.2x+6.4==0,x]{{x→-9.902248954403037},{x→0.4940526173287557},{x→1.3081963370742813}}解x3= 1.3081963370742813x1= -9.902248954403037x2=0.4940526173287557Coffee break逆三角関数逆三角関数は和を取ると何故か切りのいい値になる。3行目もπ/2だが、これはMathematicaのバグor力不足である。Out[]:この表も切りのいい値になる。有名人の俗称が付いている。知っている人は知っている、知らない人は知らない。巨匠プラトンPlotonの正多面体等やたらと有名人の名を付けたがる。Out[]:In[]:Table_逆三角関数_π/2 arc01=Table[{TrigExpand[ArcSin[x]+ArcCos[x]]//FullSimplify}]arc02=Table[{TrigExpand[ArcSec[x]+ArcCsc[x]]//FullSimplify}]arc03=Table[{TrigExpand[ArcTan[x]+ArcCot[x]]//FullSimplify}]TableOfValues1=Prepend[{arc01,arc02,arc03},{"和"}] Grid[TableOfValues1]TableOfValues2=MapThread[Prepend,{TableOfValues1,{"逆三角関数","ArcSin[x]+ArcCos[x]","ArcSec[x]+ArcCsc[x]","ArcTan[x]+ArcCot[x]" }}]Grid[TableOfValues2,Frame->All] In[]:arc01=Table[{"Euler",ArcTan[1/2]+ArcTan[1/3]//FullSimplify}]arc02=Table[{"Machin",4ArcTan[1/5]-ArcTan[1/239]//FullSimplify}]arc03=Table[{"Clausen",2ArcTan[1/3]+ArcTan[1/7]//FullSimplify}]arc04=Table[{"Rutherford",4ArcTan[1/5]-ArcTan[1/70]+ArcTan[1/99]//FullSimplify}]TableOfValues1=Prepend[{arc01,arc02,arc03,arc04},{"俗称","和"}] Grid[TableOfValues1]TableOfValues2=MapThread[Prepend,{TableOfValues1,{"逆三角関数","ArcTan[1/2]+ArcTan[1/3]","4ArcTan[1/5]-ArcTan[1/239]","2ArcTan[1/3]+ArcTan[1/7]","4ArcTan[1/5]-ArcTan[1/70]+ArcTan[1/99]" }}]Grid[TableOfValues2,Frame->All] 4.4.例題4f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=x3+6x2+9x+3=0a=1b=6c=9d=3α=-b/3=-2m=(b2-3 c)/9=(36-27)/9=1f=(2 b3-9 b*c+27 d)/27=1∆=f2-4 m3=-3∆<0f (x)=x3+6x2+9x+3=0f (z)=z3+6z2+9z+3=0上式を微分する。Print["f′(z)=",D[z3+6z2+9z+3, z]]f′ (z)=9+12 z+3 z2f (z)=z3+6z2+9z+3上式を2回微分する。Print["f″(z)=", D[z3+6z2+9z+3, {z,2}]]2回微分はゼロ。f″ (z)=12+6 z=0Solve[12+6 z==0,z]z=-2Print["f(-2)=",z3+6z2+9z+3]Print["f′(-2)=",9+12 z+3 z2]Print["f″(-2)=", 12+6 z]f(-2)= 1f′ (-2)=-3f″ (-2)=0R=-f(z)/2Q=f′ (z)/3R=-f(-2)/2=-1/2Q=f′ (-2)/3=-3/3=-1Print["R=",-1/2]Print["Q=", -3/3]R=-1/2Q=-1Print["ϱ=",Q3+R2]ϱ=-3/4∴ ϱ<0f (z)=z3+6z2+9z+3z=-2R=-1/2Q=-1Print["θ=",ArcCos[R/Sqrt[(-Q)3]]]Print["θ=",ArcCos[( -46.102999999999994)/Sqrt[(-(-13.023333333333335))3]]]θ= (2 π)/3θ=2.94607854398777Print["x3=",2Sqrt[(-Q)]Cos[θ/3]+z]Print["x1=",2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+2π)/3]+z]Print["x2=",2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+4π)/3]+z]Print["x3=",N[2Sqrt[(-Q)]Cos[θ/3]+z]]Print["x1=",N[2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+2π)/3]+z]]Print["x2=",N[2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+4π)/3]+z]]x3=-2+2Cos[2 π/9] x1= -2-2Cos[π/9]x2=-2+Sin[[π/18]解x3= -0.467911113762044x1= -3.879385241571817x2=-1.6527036446661394HermiteQuinticSolve[x3+6x2+9x+3==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3+6x2+9x+3==0,x]//ChopKleinSolve[x3+6x2+9x+3==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3+6x2+9x+3==0,x]{{x→-3.8793852415718164},{x→-1.6527036446661396},{x→-0.4679111137620439}}解x3= -0.4679111137620439x1=-3.8793852415718164x2=-1.6527036446661396完
- Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅳ
  Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.ⅣMathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅲからの続き4.例題ここで扱う例題4個はMathematicaで3次方程式の解法事始めで解いた式を使った。4.1.例題1f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=x3-4x2+5x-2=0a=1b=-4c=5d=-2α=1.33333333F=f (α)=-0.074074074M=0.111111111M3=0.001371742判別式∆= F2− 4M3=0∴ ∆=0f (z)=z3-4z2+5z-2=0上式を微分する。Print["f′(z)=",D[z3-4z2+5z-2, z]]f (z)=z3-4z2+5z-2=0上式を2回微分する。Print["f″(z)=", D[z3-4z2+5z-2, {z,2}]]f′ (z)= 5-8 z+3 z2f″ (z)= -8+6 z2回微分はゼロ。f″ (z)= -8+6 z=0Solve[-8+6 z==0,z]z=4/3Print["f(4/3)=",z3-4z2+5z-2]Print["f′(4/3)=", 5-8 z+3 z2]Print["f″(4/3)=",-8+6 z]f(4/3)=-(2/27)f′ (4/3)= -1/3f″ (4/3)=0f(4/3)=-(2/27)f′ (4/3)= -1/3f″ (4/3)=0f (z)=z3-4z2+5z-2f′ (z)= 5-8 z+3 z2R=-f(z)/2Q=f′ (z)/3R=-f(4/3)/2=-(-(2/27))/2Q=f′ (z)/3=( -1/3)/3Print["R=",-(-(2/27))/2]Print["Q=",( -1/3)/3]R=1/27Q=-1/9判別式Print["ϱ=",Q3+R2]ϱ=0∴ ϱ=0z=4/3R=1/27Q=-1/9Print["θ=",ArcCos[R/Sqrt[(-Q)3]]]Print["θ=",ArcCos[(1/27)/Sqrt[(-(-1/9))3]]]θ= 0Print["x3=",2Sqrt[(-Q)]Cos[θ/3]+z]Print["x1=",2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+2π)/3]+z]Print["x2=",2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+4π)/3]+z]解x3=2x1=1x2=1HermiteQuinticSolve[x3-4x2+5x-2==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3-4x2+5x-2==0,x]//ChopKleinSolve[x3-4x2+5x-2==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3-4x2+5x-2==0,x]{{x->1.},{x->1.},{x->2.}}{{x->1.},{x->1.},{x->2.}}解x3=2x1=1x2=14.2.例題2f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=x3+5.2x2+7.5x-2.7=0a=1b=5.2c=7.5d=-2.7α=-1.733333333f=f (α)=-5.284592593M=0.504444444M3=0.128363051∆=27.41346667∴ ∆>0x0=0.2959x1=-2.747929+1.254942*Ix2=-2.747929-1.254942*If (x)=x3+5.2x2+7.5x-2.7f (z)=z3+5.2z2+7.5z-2.7上式を微分する。Print["f′(z)=",D[z3+5.2z2+7.5z-2.7, z]]f′ (z)=7.5 +10.4z+3z2f (z)=z3+5.2z2+7.5z-2.7上式を2回微分する。Print["f″(z)=", D[z3+5.2z2+7.5z-2.7, {z,2}]]2回微分はゼロ。f″ (z)=10.4 +6z=0Solve[10.4 +6z==0,z]{{z->-1.7333333333333334}}z=-5.2/3=-1.7333333333333334Print["f(-5.2/3)=",z3+5.2z2+7.5z-2.7]Print["f′(-5.2/3)=",7.5 +10.4z+3z2]Print["f″(-5.2/3)=", 10.4 +6z]f(-5.2/3)= -5.284592592592592f′ (-5.2/3)=-1.5133333333333336 f″ (-5.2/3)=0z=-5.2/3=-1.7333333333333334f(-5.2/3)= -5.284592592592592f′ (-5.2/3)=-1.5133333333333336 f″ (-5.2/3)=0f (z)=z3+5.2z2+7.5z-2.7f′ (z)=7.5 +10.4z+3z2R=-f(z)/2Q=f′ (z)/3R=-f(-5.2/3)/2=5.284592592592592/2Q=f′ (-5.2/3)/3=-1.5133333333333336 /3Print["R=",5.284592592592592/2]Print["Q=",-1.5133333333333336 /3]R=2.642296296296296Q=-0.5044444444444445Print["ϱ=",Q3+R2]ϱ= 6.853366666666664∴ ϱ>0z=-5.2/3=-1.7333333333333334z=-1.7333333333333334R=2.642296296296296Q=-0.5044444444444445Print["θ=",ArcCos[R/Sqrt[(-Q)3]]]Print["θ=",ArcCos[(2.642296296296296)/Sqrt[(-(-0.5044444444444445))3]]]θ= 0. +2.6866134674742885*IPrint["x3=",2Sqrt[(-Q)]Cos[θ/3]+z]Print["x1=",2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+2π)/3]+z]Print["x2=",2Sqrt[(-Q)]Cos[(θ+4π)/3]+z]解x3=0.2958581659169792 +0*Ix1= --2.747929082958489-1.2549423381729397*Ix2=-2.747929082958491+1.2549423381729392*IHermiteQuinticSolve[x3+5.2x2+7.5x-2.7==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3+5.2x2+7.5x-2.7==0,x]//ChopKleinSolve[x3+5.2x2+7.5x-2.7==0,x]//N//Chop//SortNSolve[x3+5.2x2+7.5x-2.7==0,x]{{x→-2.74792908295849`-1.2549423381729399*I},{x→-2.74792908295849+1.2549423381729399*I},{x→0.2958581659169796}}解x3= 0.2958581659169792 x1= -2.74792908295849-1.2549423381729399*Ix2= -2.74792908295849+1.2549423381729399*I続編：Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅴ
- Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅰ
  Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅰはじめに前回はMathematicaによる5次方程式解法の事始めで記述したタルタリアの手法で3次方程式を解いた。今回は微分、逆三角関数を基に、3次方程式の解法を記述した。代数方程式の歴史を記述している手前、数学処理ソフトの実装で、式を書いて解を出せのたった2行で済む解法だけでは無く、400年前の解法も記述した。コンピュータの無い時代に、代数方程式を色々式変形して、やっと解を出すやり方が、ここには合っている。具体的にはFrançois Vièteフランソワ・ヴィエトの数学研究から一般3次方程式の解を求める。要約 3次方程式は根号によって解ける。これは、3次方程式の解が、加算、減算、乗算、除算、そして平方根と立方根を求めるという4つの基本的な算術演算を用いて得られる事を意味する。説明文だけで無く、実際の例題をMathematicaで解いて筋道を確認する。例題は前回と同じ式を使った。注：式の画像だけではなく、書ける範囲でワープロで記述した。シリーズ物　Mathematicaで3次方程式の解法事始め　Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始め　MathematicaでTschirnhaus'transformationの五次方程式解法事始め　Mathematicaで楕円関数を用いた一般五次方程式の事始め　Mathematicaで4次方程式の解法事始め　Mathematicaで5次方程式解法の事始め1.Vièteヴィエト生誕：Franceフランス、Fontenay-le-Comte、Poitou（now Vendéeヴァンデ）、1540年死亡：Franceフランス、Paris パリ、1603年12月13日上席公務員、数学者。フランソワ・ヴィエトの父はエティエンヌ・ヴィエトで、フランス西部の海岸沿いの町ラ・ロシェルの東約50kmにあるフォントネー＝ル＝コントの弁護士でした。母はマルグリット・デュポンです。François Vièteフランソワ・ヴィエトを彼と記す。彼はフォントネー＝ル＝コントの学校に通い、その後フォントネー＝ル＝コントの東約80kmにあるポワティエに移り、University of Poitiers ポワティエ大学で教育を受けた。父の職業を考えると、ヴィエトが大学で法律を学んだのも不思議ではない。1560年に法学の学位を取得した後、彼は法曹界に入ったが、4年間しかその道に留まらず、転職を決意した。彼の人生は一言で云えば当時のフランスでの宗教戦争及び政治紛争に巻き込まれ、本職は上席公務員だが、寸暇を惜しんで、畑違いの数学及び天文学を研究した。従って、彼の紹介には当時のフランス情勢をも語らず得ない。1564年、彼はアントワネット・ドーブテールに仕える職に就いた。彼はアントワネットの娘カトリーヌの教育監督を任された。カトリーヌは後にカトリーヌ・ド・パルトネーとなった（パルトネーはフォントネー＝ル＝コントとポワティエのほぼ中間地点にある）。カトリーヌの父は1566年に亡くなり、アントワネット・ドーブテールは娘と共にラ・ロシェルに移った。ヴィエトも雇い主とその娘と共にLa Rochelleラ・ロシェルに移った。彼の生きた時代は、フランスに於ける大きな政治的、宗教的不安の時代であった。シャルル9世は1560年にフランス王となり、その後まもなく、1562年にフランス宗教戦争が始まった。これらの戦争はプロテスタントとローマカトリック教徒の間の戦争であったと言うのは極端に単純化し過ぎているが、さまざまな派閥間の戦闘は世紀の終わり近くまで断続的に続いた。1570年、彼はLa Rochelle ラ・ロシェルを去り、Paris パリへ移った。プロの科学者や数学者として雇われた事はなかったが、彼は既に数学と天文学のテーマに取り組んでおり、最初の数学書は1571年にパリで出版された。彼がパリにいる間、シャルル9世は1572年8月23日、フランスのプロテスタントの中で勢力を増していたユグノーの虐殺を認可した。これは彼にとって非常に困難な時期であったに違いない。なぜなら、プロテスタント運動には積極的では無かったものの、彼自身がユグノーであったからである。シャルル9世はこの事件の後、長くは生きられず、この虐殺は生涯シャルル9世を苦しめたようである。しかし、1573年10月24日、シャルル9世は彼をRennes レンヌに拠点を置くブルターニュ政府の役職に任命した。彼はRennesレンヌに移り、そこで顧問官の職に就いた。彼は1580年3月Paris パリに戻るまでRennes レンヌに留まった。シャルル9世は1574年5月30日に崩御し、その死後アンリ3世が国王となった。アンリ3世は1576年にプロテスタントのユグノーに譲歩し、ローマ・カトリック教徒は軍事行動によって自らの利益を守るため神聖同盟を結成した。この緊迫した雰囲気の中で、1580年3月25日、彼はアンリ3世によって王室枢密顧問官に任命され、パリの議会に所属した。1584年、アンリ3世の弟が亡くなり、プロテスタントのナバラ王アンリが王位継承者になると、神聖同盟は強化された。プロテスタントがフランスを支配する事を恐れた神聖同盟は、カトリック教徒の為により激しく戦った。王室にはさまざまな政治的目的を持つ派閥があり、1584年にユグノーとして知られていた彼の立場は維持できなくなり、政敵によって宮廷から追放された。パリを離れ、彼は故郷のフォントネー・ル・コントの北西約130kmの海岸沿いにあるBeauvoir-sur-Mer ボーヴォワール・シュル・メールに向かった。ボーヴォワール・シュル・メールで過ごした5年間、彼は数学の研究に専念する事ができた。多くの点で、彼の敵は数学に恩恵をもたらした。何故なら、正式な職務の無いこの期間に、彼の最も重要な数学研究が行われたからです。1587年、ナバラ王アンリがアンリ3世の軍隊を破った。1588年5月12日、神聖同盟の拠点であったパリの民衆が蜂起し、アンリ3世はシャルトルへ逃亡した。この段階でアンリ3世は彼を呼び寄せ、1589年4月にTours トゥールに設置された議会に彼を復帰させた。アンリ3世はナバラ王アンリと和解し（力を合わせる事が都合が良かった為）、1589年に一緒にパリを奪還しようとした。しかし、その年の8月1日、アンリ3世はジャコバン派の修道士に暗殺された。ローマ・カトリックの対抗宗教改革の擁護者であったスペイン国王フェリペ2世は、フランスに資金と軍隊を派遣する事で神聖同盟を支援した。アンリ3世が暗殺された後、フェリペは娘のイザベラ・クララ・エウヘニアにフランス王位を主張した。1589年10月28日付の暗号で書かれたフェリペへの手紙は、次期国王アンリ4世となるナバラ王アンリの手に渡った。アンリ3世の暗殺後、彼はアンリ4世に仕えた。彼は今やプロテスタントの王を支えるプロテスタントとして、より確固たる立場にあった。彼はRennes レンヌに6年間留まり、1580年3月25日、パリの尋問官（高等法院付属の役職）兼王室枢密顧問官となった。1584年末から1589年4月まで、彼は政敵によって宮廷から追放され、Beauvoir-sur-Mer ボーヴォワール＝シュル＝メールで過ごした。アンリ3世がパリを離れ、政府をトゥールへ移転せざるを得なくなったとき、彼は宮廷に呼び戻され、 Toursトゥールで高等法院の顧問官となった。スペインとの戦争中、この頃までに彼は数学的才能はフランスでよく知られており、アンリ4世の最も忠実な支持者の一人として、敵であるスペイン国王フェリペ2世に送られるメッセージの解読を彼に依頼したのは当然の事でした。暗号内容は同音異義語の置き換えが行われた通常のアルファベットと、2つまたは3つの文字のグループ、あるいは下線または点線で示された2つの数字のグループで表される413の用語のコードリストで構成されていた。2桁のグループの上にある線は、そのグループを無視できる事を示していた。彼が複雑な暗号を解読するのには時間を要した。最初はメッセージの一部しか解読できず、アンリ4世にその一部を転送したが、最終的に彼は1590年3月15日に完全に解読されたメッセージをアンリ4世に送った。彼はプロの数学者ではなかったものの、数学に関する講義を行った。例えば1592年にはTours トゥールで講義を行い、定規とコンパスだけで円を正方形にしたり、角を三等分したり、立方体を2倍にしたりできるという当時の主張について論じた。これらの講義で彼は、その年の初めに発表された「proofs 証明」が誤りである事を示した。1592年、アンリ4世はパリを掌握しておらず、スペインの支援を受けたフランスの神聖同盟の反対に遭っていた。アンリ4世は1593年7月にカトリックに改宗したが、これはおそらく宗教的理由というよりも政治的な理由からであった。彼も国王の例に倣い、カトリックに改宗した。アンリ4世の改宗は確かに効果があり、抵抗は弱まり、1594年3月22日にパリを占領した。アンリ4世は1595年1月にスペイン国王フェリペ2世に宣戦布告し、神聖同盟とそのスペイン同盟国による抵抗を一掃し続けた。暗号解読の期間中、彼は再び数学の問題を解いて国王を助けた。1593年にRoomen ルーメンは45次方程式を解く問題を提示した。Netherlands ネーデルラントの大使はアンリ4世にフランスの数学者の質の低さについてコメントし、フランス人はRoomenルーメンの問題を解く事ができないと述べた。アンリ4世は彼にその問題を提示した。彼は根底に三角法の関係がある事に気付いてそれを解いた。彼はRoomenルーメンに、与えられた3つの円に接する円を描く問題（Apollonian Problem アポロの問題）を提示し、ルーメンは双曲線を使用してそれを解き、1596年にその結果を発表した。その後、彼とルーメンは肝胆相照らす中になった。彼は1597年までパリでアンリ4世に仕え、その後故郷のFontenay-le-Comte フォントネー＝ル＝コントに戻った。2年後、再びパリに戻り、アンリ4世に仕えたが、1602年12月14日にアンリ4世によって解任された。そして、ほぼ1年後に亡くなった1603年12月13日。彼の最初の科学的著作は、パルテネーのカトリーヌへの講義でしたが、そのうちの 1 つだけがフランス語の翻訳で残っている。それは、「Principes de cosmographie, tirés d’un manuscrit de Viette,et traduits en françois 宇宙論の原理、ヴィエットの研究、フランソワの貿易」（パリ、1637 年）です。この小冊子には、球面、地理学の要素、天文学の要素に関するエッセイが収められているが、出版される事はなかった彼の初期の研究の一部は、数理天文学の主要な著作「Ad harmonicon coeleste 」の執筆に向けられた。これは出版される事はなかったが、自筆を含む4つの原稿が現存し、Libri によって再発見された。彼はPtolemyプトレマイオスとコペルニクスの惑星理論の幾何学にのみ興味があり、その理論が実際の物理的現実を表現しているかどうかの問題は考慮しなかったと述べられている。おそらくむしろ驚くべき事に、彼はCopernicus コペルニクスの理論は幾何学的に妥当ではないという結論に達した。彼は1571年に「Canon Mathematicus」の出版を刊行した。これは天文学論文の数学的入門書となる事を意図していた。「Canon Mathematicus 」は三角法を扱っており、三角関数の表を掲載し、表作成の数学的な解説に加え、平面三角形と球面三角形の両方の解き方を詳述している。「幾何学の法則の解釈」の概要は彼が「Isagogeイサゴーゲ」の中で次のように述べている。「幾何学に於ける解釈という観点から、分析術は、「辺」と「正方形」の方程式を完全に解釈するための、より規則的な手順を選択し、列挙する」。つまり、それは、対応する方程式を解くことなく、問題の方程式の係数を用いて幾何学の問題を解く便利な方法に関するものである。彼がこの論文で示す全ての解法は、定規とコンパスを用いた幾何学的作図によって行われている。例えば、命題Xの証明は方程式x2-px = q2を導き、命題XVIIの証明は方程式x4 +p2x2 = p2q2を導く。彼は1591年にTours トゥールで出版した著書「In artem analyticam isagoge」の中で、初めて体系的な代数記法を導入した。その題名は「Introduction to the analytic art 解析学入門」を意味し、代数学の本とは到底思えない為、不可解に思えるかもしれない。しかし、彼はアラビア数学を好みではなく、カルダンなどのイタリアの数学者や古代ギリシャの数学者の研究を基にして著作を著した。しかし、もし彼がアラビア数学をより深く理解していたら、彼が生み出したアイデアの多くが、既にアラビアの初期の数学者たちに知られていた事に気づいたかもしれないと言わざるを得ない。未知数xをAで表す際に、彼はA quadratus、A cubus…を用いてx2、x3…を表す事もあった。この革新は数学史上最も重要な進歩の一つと考えられており、代数学の発展への道を切り開いた。1591 年版の「Isagogeイサゴーゲ」において、彼は既に「De numerosa potestatum purarum, atque adfectarum ad exegesin resolutione tractatus 累乗の数値的分解について、訳注：解釈によって完成する論考」の骨子を述べていた。題名に出てくる「累乗の数値的分解」とは、x2 = 2916 や x2 + 7x = 60750 のような数値解を持つ方程式を解く事を意味する。この著作は 1600 年にパリで出版され、マリノ・ゲタルディが編集し、彼の同意を得た。彼は方程式論に多くの改良を加えた。しかし、厳密に言えば、彼は方程式そのものを解いたのではなく、比例の問題を解いたと言えるだろう。彼は比例の問題は方程式を解く事と同じだと明言している。しかし、彼は次元の同次性という条件に縛られていた。問題は、x3 +x=1の解を求めると、幾何学的に意味をなさない問題の解を求める事になるということだ。x3 は立方体で、xは直線であり、三次元の物体を一次元物体に加えるのは明らかに意味をなさない。そこで彼は、A3+B2A=B2Zのような方程式の解を求め、彼の慣例に従えば、Aは未知数、BとZは既知であるとする。ここでの次元は「正しい」もので、各項は次元3である。彼は、2次、3次、4次の方程式を解く方法を提示した。方程式の正の根と未知数の異なるべき乗の係数との関係を知っていました。「係数」という言葉が実際には彼に由来する事はおそらく注目に値する。彼がDe numerosa potestatumで行ったように方程式を解く数値的方法を適用した場合、彼はそれ以前のアラビアの数学者によって示された方法と同様の方法を提示した。彼は1595年に、その解答「Ad problema, quod omnibus mathematicis totius orbis construendum proposuit Adrianus Romanus, responsum 数学の全体的問題、あるいはその考察はアドリアヌス・ロマヌスに委ねられている」を出版した。序文で彼はこう述べている。「私は数学者を自称する者ではないが、暇さえあれば数学の研究を楽しんでいる…」。ロマヌスの方程式に関して、彼は45 = 3*3*5であるから、角度を一度五等分し、次に二度三等分すればよく、この分割は対応する五次方程式と三次方程式で実行できる事にすぐに気気付いた。上記の問題では、彼は方程式3x-x3 = aを解き、根xを使って3y-y3 = xによりyを決定し、方程式5z-5z3 + z5 = yにより必要な根zを見つけた。※彼の自然科学著書の題名はかなり長い。詩の韻文を踏んでいる？続編：Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅱ
- Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅲ
  Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.ⅢMathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅱからの続きCoffee breakAdriaen van Roomenアドリアーン・ファン・ルーメンは「Ideae mathematicae 数学の思想」（1593年）の中で、45次方程式x45 − 45x43 + 945x41 − 12300x39 + … − 3795x3 + 45x = Aを解く課題を「世界中の数学者」への挑戦という形で出した。Netherlands ネーデルラントの大使はフランス国王アンリ4世にフランスの数学者の質の低さについて言及し、フランス人はRoomenルーメンの問題を解く事ができないと述べた。そこで、アンリ4世はFrançois Vièteフランソワ・ヴィエトにその問題を提示した。ヴィエトは直ぐに、この式が sin(θ) を x = sin(θ/45) で表したものである事を認識し、23個の正解を見出した。当時は未だ、負の根は考慮されていなかった。三角法を適用する事により、彼はタルタリアの三次方程式の解を、正多角形を含む三角法の解へと簡約した。この技術の向上は、ここでも記法の向上の直接的な結果であった。、ヴィエトの解は1595年に出版され、その小冊子の巻末で、彼は3つの与円に接する円を描くというApollonian Problem アポロニアン問題を提示した。ファン・ルーメンは2本の双曲線を用いてこの問題を解き、1596年にその結果を発表した。ヴィエトは1600年に定規とコンパスを用いたApollonian Problem アポロニウス問題の解法を発表し、ファン・ルーメンに大きな感銘を与えた。ファン・ルーメンはヴィエトの数学的才能に深く感銘を受け、健康回復の為フランスを訪れ、パリに到着すると、ヴィエトがPoitou ポワトゥーにいると聞き、彼と話をする為に当地へ向かった。二人はそこで1ヶ月間共に過ごし、肝胆相照らす中になった。※肝胆相照：韓愈768年‐824年「中国、唐代中期の文学者、思想家、政治家」　　　　　　　　　　　　3.解法ax3 + bx2 + cx + d = 0 という形の3次方程式を考える。通常は一般性を失う事無く、a = 1 と仮定する。この場合、方程式は x3 + bx2 + cx + d= 0 に簡略化される。a≠ 1 の場合は、後ほど解の簡単な修正によって扱う。関数評価の観点から最終的な簡略化された式を得る為の方法論は、3次方程式を縮小形に簡略化し、Vièteヴィエト（France、Paris 、1540年-1603年12月13日）の手法を用いて方程式を2次形式に簡約するという、よく知られた手順に従う。最終的には、両方の手順が解に暗黙的に反映され、最終的な式は元の3次方程式とその導関数の値で構成される事を知っておくべきであろう。新しい変数 t と定数 z を次のように定義する。x=z+t (1)式(1)の新しい式を以下の3次方程式に代入するとx3 + bx2 + cx + d= 0このようになる。x3 + bx2 + cx + d = (z + t)3 + b(z + t)2 + c(z + t) + d = 0tの関数として、適切に簡略化すると、上記の式は以下の式になる。t3 + (b + 3z)t2 + (3z2 + 2bz + c)t + (z3 + bz2 + cz + d) = 0 (2)式(2)の括弧内には、式(1)で定義された定数zの関数値と微分値が含まれている事は明らかになる。従って、式2は以下の式に表すことができる。t3 +(f′′(z)/2) t2 + (f′(z))t + f(z) = 0 (3)可逆圧縮したフォームは、以下の式のように設定で簡単に得られる。f′′(z) = 6z + 2b = 0 上式がゼロなので、zは以下のようになる。2回微分がゼロになる事が本文の最重要課題である。これから後は芋蔓式に解が出てくる。z = −b/3式(3)は結局 t2項が消えるので次式になる。　t3 + (f′(z))t + f(z) = 0 (4)ここで、有名な Vièteヴィエトの置換を施す。t式を変数sと定数αで定義する。t = s +α/s (5)式(5)を式(4)に代入し、更に簡略化すると、以下の式が得られる。s3 + (3α + f′(z)) s + (3α2 + f′(z)α)/s+ f(z) + α3/s3 = 0 (6)t式はsと1/sを含むのは明らかである。式(6)はヴィエトの置換、即ち、sと1/sの係数がゼロになる。α≠0従ってαは以下の式になる。α = −f′(z)/3この置き換えにより、式(6)は以下の式に簡略化簡約される。s6 + f(z)s3 − f′(z)327= 0 (7)式(7)に以下の式を代入する。r = s3すると式(7)は以下の式に簡略化される。 r2 + f(z)r − f′(z)3/27= 0 (8)式(8)の2次方程式を解く。r =(−f(z) ±Sqrt[f(z)2 + 4f′(z)3/27])/2sでrを表すと、s = r1/3 上式にr式を代入すると次式が得られる。s =((−f(z) ±Sqrt[f(z)2 + 4f′(z)3/27])/2)1/3 (9)最後に、式(9)の式を式(5)に代入し、定数zの値を用いて、3次方程式は多項式を式(1)を使って簡略化すると、3次方程式の解が得られる。簡略化の解は次式になる。x = f′′−1(0) +((−f(z) + Sqrt[f(z)2 + 4f′(z)3/27])2)1/3+((−f(z) - Sqrt[f(z)2 + 4f′(z)3/27])2)1/3 (10)従って、一般3次方程式の解はx3 + bx2 + cx + d= 0式(1)では、定数zに於ける関数値と微分値のみで表される。z値は2回微分がゼロになる以下の式から求められる。f′′(z) = 0ここでzを逆三角関数のようにワープロで書き易い表記にする。z = f′′−1(0)式(10)には3次方程式の元の係数が含まれない事は明らかである。その為、これらの係数を用いて解を記憶する事が困難になる可能性がある。般3次方程式 ax3 + bx2 + cx + d= 0 の場合は、式(10)の関数値 f(z) と導関数 f′(z) の両方を係数 a で割る事で処理され、最終的に解が得られる、a≠0。式(10)は、3次方程式の通常の置換によって更に簡略化できる。R = −f(z)/2Q = f′(z)/3上記のRとQの定義を用いると、式(10)は以下の式に書き直す事ができる。x =f′′−1(0)+ (R +Sqrt[R2+Q3])1/3 + (R +Sqrt[R2-Q3])1/3 (11)この簡略化された表現の適用方法については、次のセクションで示す4つの例題で説明する。本文での3次方程式の判別式ϱ は次のように評価される。ϱ = Q3 + R2 前回の判別式は∆= F2− 4M3を使用した、詳細は長文なので省略した。判別式の評価式は前回と異なるが、ϱ >0、ϱ <0、ϱ=0の結果は奇しくも同一になった。 θ=ArcCos[R/(Sqrt[(-Q)3 ]　解x3=2Sqrt[-Q]Cos[θ/3]+zx1=2Sqrt[-Q]Cos[(θ+2π)/3]+zx2=2Sqrt[-Q]Cos[(θ+4π)/3]+z以上で駒は揃ったので、微分と Vièteヴィエトの紹介の文末に示唆した逆三角関数を使って例題を一気に解く。続編：Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅳ
- Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅱ
  Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.ⅡMathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅰからの続き「De numerosa potestatum」では、彼は、通常の根の抽出に似た数値方程式の根の近似方法を示している。 f(x）= k（k は正）とし、彼は必要な根を残りの部分から分離し、近似値を代入して、除算によって根の別の桁を取得できる事を示している。このプロセスを繰り返すと次の桁が得られる。このように、x5 - 5x3 + 500x = 7,905,504 では、r = 20 とし、7,905,504 - r5 + 5r3 – 500r を計算し、その結果を現代の表記法で f[r + s1] - f[r] - (s1n)nとなる値で割る。n は方程式の次数、s1 は次の桁の単位です。従って、必要な根が 243 で r が 200 とすると、s1 は 1 になる。上記の例では、 r = 20 の場合、除数は 878,295 で、商は根号の次の桁である 4 になる。x = 20 + 4 = 24 となり、必要な根号が得られる。彼による3次方程式の解は次の通りです。x3 + 3B2x = 2Z3 が与えられる。これを解くには、y2 + yx = B2 とする。この方程式の構成から、B2 は2辺のうち短い方が y で、長い方の辺との差が x である長方形である事が分かる為、(B2 - y2)/y = x となる。従って、(B6 - 3B4y2 + 3 B2y4 - y6)/y3 +(3B4 - 3B2y2)/y = 2Z3 となる。全ての項に y3 を掛け、適切に順序付けると、 y6 + 2X3y3 = B6 となる。この方程式は正の根を持つ2次方程式である為、3次根も持つ。このようにして、必要な簡約が実現される。結論：従って、x3 + 3B2x = 2Z3、 –Z3 = D3の場合、(B2 - D2)/Dは要求どおりxになる。彼は、biquadratics双二次方程式の解法に於いて、自身の簡略化原理を忠実に守っている。まずx3を含む項を消去し、x4 + a2x2 + b3x = c4という形を得る。次に、x2とxを含む項を方程式の右辺に移動し、各辺にx2y2 +y4/4を加算して、(x2 +y2 /2)2 =x2(y2 - a2)- b3x + y4/4 +c4とする。そして、この方程式の右辺が完全な平方根となるようにyを選ぶ。このyの値を代入する事で、両辺の平方根を取る事で、xに関する2つの二次方程式を得る事ができ、それぞれを解く事ができる。第6章の定理3において、彼は三次方程式におけるタルタリアの既約な場合の三角関数解を与えている。彼は、a> b/2のとき、x = 2a cos αとし、b =2a cos3αから3αを決定する事で、方程式(2 cos α)3 - 3(2 cos α)= 2 cos 3αをx3 - 3a2x = a2bの解に適用する。最後の章で、彼は代数方程式 φ(x）= 0 の第 1 要素を第 2 次から第 5 次まで線型因子 x - xk に分解する。※これらを逆三角関数で表すと強力なツールになる。cos α=x / 2acos3α=b/2acos 3α=((2 cos α)3 - 3(2 cos α))/2α=ArcCos[x / 2a]α=ArcCos[b/2a]/3α=ArcCos[((2 cos α)3 - 3(2 cos α))/2] /32.関数評価を用いた一般3次方程式の解の簡略化された表現ここでは、3次方程式の解を関数評価のみで表現する簡略化された手法を提示する。この手法により、3次方程式の元の係数を操作する必要がなくなり、解からそのような係数が排除される。更に、3次多項式を簡約する為に必要な通常の置換は、最終解が与えられた3次多項式の1点における関数値と導関数値のみで表される事で暗黙的に行われる。虚数をIと記す。2.1.序文3次方程式はdel Ferro デル・フェロによってx3+ax=b が導入された。Niccolo Tartagliaニッコロタルタリアはより難易度の高い3次方程式、つまり「平方と立方を数に等しくする」、x3+ax2=b に辿り着いた。 4次方程式は3次方程式より次数が上がるので4次方程式の方が3次方程式より難しいと思われがちだが、そうではない。タルタリアの手法で3次方程式の解法を体得できれば4次方程式の解法は容易だ。実際4次方程式の解法では3次方程式解法で使用した指数関数と三角関数の関係式は不要なので、入力スクリプトは3次方程式の1/3位で済んでしまう。一方5次方程式解法は別次元で難易度は遥かに高い。「Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始め」と「MathematicaでTschirnhaus'transformationの五次方程式解法事始め」で一般5次方程式の解をそれぞれ出したが入力スクリプトは3次方程式の比ではない。 2.2.一般三次方程式の解法一般三次方程式は以下の式のように表せる。x3 + bx2 + cx + d上式に適切な式代入を行う。x = y −b/3結果、次の式になる。y3 + py + qここで、pとqはそれぞれ以下の式で表せる。p = c-b2/3q = d − bc/3+2b3/27この形式のさらなる式代入:y = z −p/(3z)これは簡略化できる。z6+qz3-p3/27=0これをz3の2次方程式として解くと次式のようになる。z3=xSolve[x2+q*x-p3/27==0,x]{{x->1/6 (-3 q-Sqrt[4 p3+27 q2]/Sqrt[3])},{x->1/6 (-3 q+Sqrt[4 p3+27 q2]/Sqrt[3])}}Sqrt[4 p3+27 q2]/(6Sqrt[3])=Sqrt[R](Sqrt[4 p3+27 q2]/(6Sqrt[3]))2//FullSimplifyPrint["R=",(Sqrt[4 p3+27 q2]/(6Sqrt[3]))2//FullSimplify]R= p3 /27+ q2/4=(P/3)3+ (q/2)2以下の3つの立方根を考える。1ω=-1/2+I*Sqrt[3]ω2=-1/2-I*Sqrt[3]このωの関係式を確認する。Print[“ω2+ω+1=”, ω2+ω+1]ω2+ω+1=0Print[“ω3=”, ω3]ω3 =1 すると、ωを使って、3次方程式の3つの解が次のように与えられる事が簡単に検証できる。y1=A+By2=ωA+ω2By3=ωB+ω2A上式の A と B の値は次式で与えられる。A=(-q/2+Sqrt[R])3B=(-q/2-Sqrt[R])3この類似した手法は他にもある。例えば、Mukundanの研究は、簡略化した3次方程式を、単に立方根を取るだけで解ける2つの3次方程式に変換している。3次方程式の解の公式に関するより包括的な解説は、Wolfram MathworldのURLにある。ここでは、本文で使用した例で使用されている公式の一部が参照されている。また Lagrangeラグランジュは、1770年から1771年にかけて、高次方程式の研究の一環として、フーリエ変換とそれに続く逆変換を用いた。彼は、この手法を任意の高次多項式に拡張する事を望んだ。しかし、彼は、5次方程式の結果として得られる解多項式が、実際には6次多項式である事に気付き、そのような方程式は解けないかもしれないというヒントを得た。3次方程式の解は、4次方程式を解く為に開発された手法の基礎を築いてきた。例えば、 Leonhard Eulerレオンハルト・オイラー（1707-1783）は、4次多項式方程式の解に於ける resolventレゾルベント3次方程式の中心的な役割を認識していた]。オイラーは、負の項（x3項がゼロ）の4次方程式の解を通して、各根は、 resolventレゾルベント3次方程式の解である3つの平方根の和として表される事を示した。Niccolo Tartagliaニッコロタルタリアによる3次方程式の解と共に発表されたdel Ferro デル・フェロによる最初の4次方程式の解でさえ、元の4次方程式を2つの完全な平方根に変換する事を伴っていた。このような方程式を解く過程で、最初に解かなければならない resolventレゾルベント3次方程式が生じる。最近の4次方程式を解く手法の幾つかのかも、 resolventレゾルベント3次方程式を解く事を必要とする。5次以上の方程式を解く事は、後にその解を根号で表す事ができないと数学者によって明らかになった為、成功しなかった。最初の明確な証明は1824年に Abel アーベルによってなされた。彼は、5次多項式は根号で解けない事を証明した。アーベルは後に、5次方程式の特定の形式（後に「Abelian Galois groupアーベルガロア群」と呼ばれる）が条件付きで根号でも解ける事を確認して、証明を修正した。Galoisガロアは1832年に、5次方程式が根号で解けるのは、そのガロア群が解ける場合のみである事を証明した。より高次の方程式の中には、3次方程式を解く必要があるものもある。例としては、対称係数を持つpalindromic polynomials自己逆数方程式と呼ばれるものが挙げられます。回帰性である6次方程式は、y = x + 1/x の形を代入する事で、可解な3次方程式になる。一部の研究者は、変換変数と、微分値を持つ減算された3次方程式および4次方程式との関係を指摘してい。例えば、2次方程式、3次方程式、4次方程式の減算された形への変換は、元の方程式のそれぞれ1次微分、2次微分、3次微分をゼロにする方程式に対応すると指摘している。しかし、それ以上に、3次方程式の他の係数が関数と微分値に変換される方法は説明されていない。続編：Mathematicaで3次方程式の解法事始めPart2vol.Ⅲ
11Dec
- 横浜金沢区団地の果実・野菜Ⅲ
  横浜金沢区団地の果実・野菜Ⅲ横浜金沢区団地の果実・野菜Ⅱからの続き。トウガラシ Capsicum annuum L唐辛子　原産地は不明であるが、メキシコ中部の紀元前6500~5000年の遺跡から出土している為、原産地もこの辺りではないかと云われている。ブラジルのアマゾン川流域の説もある。その後、南米のペルーに伝わり、更に中南米の各地で栽培されていた。1493年コロンブスによってスペインに導入され、ヨーロッパ各地に広まった俗説がある。その後植民地時代にインド、東南アジアに伝わり、中国には16～17世紀頃渡来したと云われる。トウガラシの日本渡来の時期については、諸説あるが、江戸時代には三つの説があった。第1は1542年（天文11）ポルトガル人が伝えたとするもの（佐藤信淵等）、第2は1605年（慶長10）とする説（橘南谿（たちばななんけい）等）、第3は豊臣秀吉の朝鮮出兵、つまり文禄･慶長の役（1592~98）の際、種子を持ち帰ったとするもの（貝原益軒等）であるが、どうやら第3説に妥当性がある。　ナス科の一年草。熱帯では多年草。熱帯アメリカの原産で、現在は世界中の熱帯から温帯地方にかけて広く栽培されている。1493年コロンブスによってスペインに導入され、ヨーロッパ各地に広まった。その後インド、東南アジアに伝わり、中国には16～17世紀ころ渡来したと云われる。日本への渡来については前述のように二、三の説がある。トウガラシは名の示す通り、辛みを持つのが普通であるが、果菜として用いられるピーマンは辛くない品種群である。茎は直立し、30～100cm。多くの分枝を持ち、開張形となる。葉は全縁。形は広楕円形から狭楕円形で、大きさも3～10cmと変異が大きい。葉腋（ようえき）から生ずる花は白色の合弁花で、果実は球形から長形まで、品種によって形状、大きさが極端に異なる。果実は直立または下向きにつき、熟すれば赤色となるが、黄色または紫色になるものもある。果色はカプサンチン、β-カロチン、ビオラキサンチン、クリプトキサンチンおよびカプソルビン等のカロチノイド系色素による。辛味成分はカプサイシン他数種の近縁化合物の混合体で、種子、果皮および胎座部や茎葉に含まれている。カプサイシンcapsaicin：鷹の爪等香辛料用の品種は、カプサイシンと云う。辛味成分を含み、発汗及び強心作用を促す。カプサンチンcapsanthin：唐辛子から単離されたカロテノイド色素。深紅色の針状結晶。β-カロチン：β-カロテンcaroteneとも云う。酸素原子を含まないカロテノイドcarotenoidsの一種であり、植物の緑葉や藻類、シアノバクテリアに広く分布しており、人参の根（食べる所）に含まれる。機能としては、植物の光化学系に於いて三重クロロフィルchlorophyllや一重項酸素の消去を通して植物の光障害防御に関わる。物性は量子力学の世界に入る。ビオラキサンチンViolaxanthin：C40H56O4、カロテノイドに属するアルコールの一種。エポキシド環を持っている。ペクチン（ペクチン質） pectin ：植物体の非木質化組織に特有の酸性多糖。柑橘類果実の皮、リンゴ等の果実、液汁に富む根等、多くの植物の細胞壁及び細胞間物質を形成する。カロチノイド＝カロテノイドcarotenoids：炭素数5のイソプレンisopreneを単位とするテルペンterpenes化合物の内、炭素数40を基本骨格とする物を云う。共役二重結合を持ち、黄、橙、赤から紫色を呈する脂溶性色素で、500種以上知られている。炭化水素からなるカロテンを含み、人参のβ-カロテンは良く知られている。動植物界に広く分布する一群の色素の総称。何れも長い鎖状の共役二重結合系からなるポリエン構造を持ち、ポリエン色素とも云う。ニンジン、トマトの色素等黄、橙から赤色の物が多いが、紫色の物もある。これは分子中に二重結合が10個以上共役して存在している為である。　トウガラシについては、古く江戸時代から種々の品種が記載されている。その後、系統選抜、交雑育種が行われてきたが、昭和40年代以降、甘味種（ピーマン）の栽培の増加とは逆に、辛味種の栽培面積は減少し、育種も殆ど行われていない。辛味種の代表的な品種は鷹の爪（つめ）、栃木三鷹、八房等で、葉トウガラシ用として伏見辛等がある。　世界各地で栽培されている為、トウガラシの品種群（変種）をどのように纏めるかについてはまちまちで諸説ある。しかし、代表的なベーリーL. H. Bailey によれば、果実の形と利用方法から5群に分けられる。var. cerasiforme（英名 cherrypepper）は観賞用に栽培される品種の五色、榎実（えのみ）等に代表され、小さな上向きの果実を付ける。var. conoides（英名 cone pepper）は鷹の爪で代表されるような辛みの強い小さな果実を上向きに付ける。var. fasciculatum（英名 red clusterpepper）は八房に代表されるような房なりの果実を付け、やはり辛みがある。var. longum（英名 long pepper）は、細長く大型の果実を付け、辛みのあるものも、無いものもあり、果菜として若葉の利用も広く行われる。伏見辛で代表され、外国ではカイエン Cayenneの系統がこれに属する。var. grossum（英名 bell pepper、sweet pepper）は辛みは無く、通常シシトウやピーマンの名で果菜として広く利用される。また、辛みが強い1群はタバスコ群として纏められる事もある。トウガラシは高温乾燥を好み、播種（はしゆ）は4月上旬、定植は5月上旬～中旬、10月に収穫する。赤熟果実はビタミン含量が高い。果実は香辛料として漬物やピクルスの調味料、ソースの原料等に用い、葉は幼果と共に葉トウガラシとして佃煮にする。また一部品種群は野菜として利用される。世界中で広く栽培されているこのメキシコ起源のトウガラシ C. annuum の他に、3種（C.baccatum、C. chinense、C. pubescens）が南アメリカで栽培化されたが栽培は広がっていない。原産地と見做されているメキシコやアンデス地域では、これら栽培種とともに野生種も利用されている。メキシコやアンデス山域での一般的な利用法は、栽培種も野生種もともにトマト等といっしょに生の果実をすり潰してソース状にして使う。このような利用方法は世界各地に見られるものである。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［日本の食用］　トウガラシの語が見られるのは江戸時代の俳諧論書である毛吹草（けふきぐさ）・正保2年（1645年）又は寛永15年（1638年）刊行辺りからであるが、戦国～江戸初期の興福寺多聞院院主の日記である多聞院日記文禄2年（1593年）2月18日条には、明らかにトウガラシである物がコショウとして記載されている。それは、コショウの種と称する物を貰ったと云うのだが、その種はナスの種のように小さく平らで、赤い袋の中にたくさん入っており、その袋の皮の辛さには肝をつぶしたというのである。また、「コセウノ味ニテモ無之」といっており、まさしくトウガラシであるが、まだ和名がなく、コショウの名が借用されている。以上のような事とから、トウガラシは文禄の役（前述）当時に朝鮮から将来されたと断定できると思われる。その後、たちまち商品作物化されたようで、前述の毛吹草には既に伏見稲荷付近の特産品とされている。やがて、大経師昔暦（だいきようじむかしごよみ）（1715年）が「本妻の悋気（りんき）と饂飩（うどん）に椒（こしよう）はお定り」というように、うどんの薬味は胡椒と決まっていたが、唐辛子がとって代わるようにもなった。こうして急速に普及し定着した理由は、醤油や味噌との相性が良く、米飯中心の食事体系に適合した為である。蕎麦の薬味にも合う。真っ赤に実った唐辛子はスーパー店頭の小瓶入り粉の唐辛子とは大違い。物凄く辛い、2~3mmで十分。なお、長崎ではトウガラシをコショウと呼んだが、これは中国船と交渉の深かった長崎の役人たちが「唐枯らし」に通じる音を嫌った為との俗説がある。　　［朝鮮の食用、民俗］　朝鮮語でコチュ koch‘uと呼び、「苦椒」「苦草」の字を当てる。朝鮮料理に用いられる代表的な香辛料で、豆みそ、餅米、麦芽等と合わせて熟成したトウガラシみそ（コチュジャン）は各種料理の薬味のベースになる。野菜の漬物キムチには、ニンニク、塩辛等と共に欠かせない。青トウガラシや葉も野菜として利用される。朝鮮種は大粒で辛味成分のカプサイシンが比較的少なく、ベタイン、アデニン等の旨味成分が微量あって、薬味に用いられる要素ともなっている。なお、朝鮮では男子出生の際、門前のしめ縄にトウガラシと炭を吊るす風習がある。金沢区　2025年9月14日金沢区　2025年9月14日金沢区　2025年9月17日ナス Solanum melongena 茄子　ナス科の一年草（熱帯では多年草）で、ナスビとも云う。果実を食用とする重要野菜である。インドの原産で熱帯から温帯地方に広く栽培される。中国での栽培は極めて古く、中国古代の基本的農書の斉民要術（530~550年の間の成立）に既に栽培、採種について記載されており、千数百年の歴史を有する。アラビア、北アフリカ地方には5世紀前後にペルシア人によって伝えられた。日本への渡来年代は不明であるが、最古の記録として、正倉院文書に「天平勝宝2年（750）6月21日藍園茄子を進上したり」とあり、養老律令に対する施行細則を集大成した古代法典の「延喜式」967年の記述内容からも、古くから栽培され重要な野菜であったと推定される。木質化する茎は枝分れして高さ60~120cm。灰色の綿毛が生え、時に少数の棘がある。花は普通単生であるが、品種により房状に2~3花つける。花色は紫。果形は卵形から長楕円形まで、なかには球形のものもある。果色は黒紫色のものが多いが、他に緑色、白色（熟すと黄色）もある。　ナスは古くから主要野菜として発達しただけに各地で栽培され、交雑採種も容易な事から、日本の各地域事に多くの地方品種が出来上がった。これら地方品種で、はっきり区別できるものだけでも150以上ある。果形によって次のように分けられる。（1）丸ナス群　巾着（きんちやく）、芹川（せりかわ）に代表される品種で、北陸地方、東山地方、京阪で栽培。（2）小丸ナス群　橋ぎ（もぎ）、民田（みんでん）等の品種で、生育日数の短い東北、北海道で栽培。（3）卵形ナス群　千成（せんなり）、真黒（しんくろ）等の品種で、関東で栽培。（4）中長ナス群　橘田（きつた）、大市（おおいち）等で、関西、山陰、東海地方で栽培。（5）長ナス群　南部長（なんぶなが）、大阪長（おおさかなが）等で、東北と関西以西で栽培。（6）大長ナス群　博多長、久留米長等で、九州で栽培。その他へたが緑色の米国大丸ナス、観賞用に作られるタマゴナス等がある。ナスの一代雑種（F1）品種の育成は、日本では大正末期から実用化され、数多くの品種が育成されており、現在栽培されている品種の大部分は一代雑種である。おもな品種は千両、新早真、千両2号、黒陽等である。主産地は履城、埼玉、群馬の各県で、促成栽培の盛んな地方は高知、福岡、熊本の各県である。露地栽培は普通3月に種蒔き、5月に定植し、収穫は6月から10月にかけて長期間行われる。開花後20～25日のものを収穫する。温暖な気候を好み、気温が低いと落花や不良果が発生するが、近年はホルモン剤の利用によって低温期の着果も容易となっている。青枯病等、土壌伝染性病害は、輪作や抵抗性台木の利用によって回避する。果実100g中の成分は水分94.1g、糖質3.4g、タンパク質1.1g、脂質0.1g、灰分0.6g、ビタミン A23IU（国際単位）、ビタミン B10.04mg、ビタミンB20.04mg、ビタミン C5mgである。　果皮の色素はナスニン nasunin と呼ばれるアントシアンanthocyaninで、色素の本体はデルフィニジン delphinidin である。この色素は鉄塩と青色の複塩を作り易い。漬物に鉄釘やミョウバンを加えると鮮やかな青になるのはこの為である。果実は各種の漬物や煮食用に利用され、葉は粉末にして、沢庵（たくあん）漬にぬかに混ぜて利用される。また、果汁やへた、茎、葉の匙汁等はいぼ、凍傷、にきび等に外用として効がある。ナスの光沢のある青紫色はアントシアンanthocyaninによる。アントシアンanthocyanin：花青素ともいう。植物の花弁や果皮などの美しい色の原因となっている一群の色素の総称。ときには葉や茎（赤ジソ、赤キャベツ）あるいは根（ハツカダイコン）にも存在する。マーカート L. C.Marquart がヤグルマギクの花の青い色素をギリシア語の花 anthos と青い kyanos を表す言葉からアントシアンと名付けたのに始まる（1835）。この一群の色素は殆ど全て配糖体として存在し、色素の本体であるアグリコン部分はアントシアニジン anthocyanidin、その配糖体をアントシアニン anthocyanin、また両者をとくに区別しないときにアントシアンと呼んでいる。その構造の決定はドイツの化学者ウィルシュテッター R. Willstätterの研究に負うところが大きくヤグルマギクからシアニン cyanin、さらにペラルゴン pelargon、デルフィニン del‐phinin が分離された。様々のアントシアンのアグリコン（アントシアニジン）は全て2‐フェニルベンゾピリリウムの構造を持ち、ペラルゴニジン、シアニジン、デルフィニジンの3種及びそのメチルエーテル誘導体である。糖は3位または5位の水酸基に結合し、グルコース、ガラクトース、ラムノース等が知られている。また有機酸（p‐オキシ安息香酸、マロン酸、ス等が知られている。また有機酸（p‐オキシ安息香酸、マロン酸、p‐クマル酸など）が結合している場合もある。　アントシアンは水溶性であり、アンモニア蒸気を当てると青ないし緑色に変化し、逆に酸を加えると全て鮮やかな赤色となる。これらの点で赤色系の色素であるカロチノイドと容易に区別される。中性からアルカリ側では非常に不安定で、酸性域で安定で、特に塩化水素によるオキソニウム塩は結晶しやすく、その構造がよく解析されている。　アントシアニン anthocyanin の数は花の色に比べてそれほど多様ではなく、また同一のアントシアニンでも花の色は必ずしも同一ではない。この原因は金属塩類による錯塩にもとづく場合と補助色素の存在による場合が知られている。また、最近の研究ではアントシアニン anthocyaninは紫外線を吸収し、植物の体内に紫外線が入るのを防御している。紫外線傷害ultraviolet damage：紫外線障害とも書く。紫外線（UV、波長400nm以下の放射線）による傷害。一般的に紫外線は波長の短い程、生物に対する害作用が大きく、植物への照射は成長を阻害し、農作物の収量・品質を低下させる。動物の細胞ではDNA障害を引き起し、癌化等の原因の一つになる。　　　　［料理］　奈良時代既に蔬菜（そさい）として栽培され売買されてもいた。養老律令に対する施行細則を集大成した古代法典の「延喜式」967年には、主に「捺漬（ひしおづけ）」、「糟漬（かすづけ）」、「荏裹（えづつみ）」等の漬物にされていた事、並びに、その耕作についての規定が見られる。漬物、汁の実、煮物、揚物、あえ物、焼物と、極めて利用範囲の広い野菜であるが、糖質を少し含むのみで栄養的価値は殆ど無い所が食べ過ぎ、栄養過多の現代人には嬉しい。しぎ焼と云えば、今ではナスを油で焼いて練り味噌を付けて仕上げるのが普通であるが、元々は当然ながら野鳥のシギを用いたものであった。その変化は室町期の料理書「武家調味故実」に見える「鴫壺（しぎつぼ）」、同じ室町期の「記丁聞書」の「鴫壺焼」、そして、江戸時代初期の「料理物語」の「鴫やき」の記事によって推移の跡を辿る事ができる。即ち、鴫壺は漬けナスの中をくり抜き、そこにシギの肉を詰めて煮るものであったが、鴫壺焼になると焼きナスの上に木の枝でシギの頭を作って乗せて出す料理になり、「料理物語」の鴫やきはナスを茹でて適宜に切り、サンショウ味噌を付けて焼く事になっている。油と味噌を使う現在のものはその後の変化である。蛇足：毎日、ナスを焼いて食している（最も簡単、半焼き、焦がしも良し））。［薬用］　果汁やへた、茎、葉の匙汁等はいぼ、凍傷、にきび等に外用として効果がある。　　　　　　　　　　　　　［医術］　現存する日本最古の医書である「医心方（天元5 年982年）」の五菜部に茄子（なすび）が挙げられ、「崔禹錫（さいうせき）食経」からの抄録がある。それには「小毒があるが、食べると皮膚に張りを与え、気力を付ける。脚の病気の人は苗や葉の匙汁に脚を浸すと毒気が除かれ、大層効きめがある」と記されている。なお、しもやけの治療には、根や茎、葉を枯らして匙じ、これに患部を漬ける処方等もあった。トルコナス茄子　2025年8月28日トルコナス茄子　2025年8月8日※花が開花してから結構早く果実が付く。普通の茄子より若干固めで、焼き茄子に合う。完
- Mathematicaで4次方程式の解法事始めⅠ
  Mathematicaで4次方程式の解法事始めⅠはじめに4次方程式は3次方程式より次数が上がるので4次方程式の方が3次方程式より難しいと思われがちだが、そうではない。タルタリアの手法で3次方程式の解法を体得できれば4次方程式の解法は容易だ。実際4次方程式の解法では3次方程式解法で使用した指数関数と三角関数の関係式は不要なので、入力スクリプトは3次方程式の1/3位で済んでしまう。Mathematicaによる5次方程式解法の事始めで記述したタルタリアの手法で4次方程式を解いた。4次方程式の解法（公式）も色々ある。代数方程式の歴史を記述している手前、数学処理ソフトの実装で、式を書いて解を出せのたった2行で済む解法だけでは無く、400年前の解法も記述した。コンピュータの無い時代に、代数方程式を色々式変形して、やっと解を出すやり方が、ここには合っている。要約根号によって解ける。これは、4次方程式の解が、加算、減算、乗算、除算、そして平方根と立方根を求めるという4つの基本的な算術演算を用いて得られる事を意味する。説明文だけで無く、実際の例題をMathematicaで解いて筋道を確認する。注：式の画像だけではなく、書ける範囲でワープロで記述した。虚数はIと記す。シリーズ物　Mathematicaで正二十面体と五次方程式の事始め　MathematicaでTschirnhaus'transformationの五次方程式解法事始め　Mathematicaで楕円関数を用いた一般五次方程式の事始め　Mathematicaで3次方程式の解法事始め　Mathematicaで5次方程式解法の事始め1.4次方程式の解法4次方程式2次方程式二つに因数分解出来る4次方程式は結果的に3次方程式より楽な作業になる。しかしここでは難易度の高い例題を解くので、式代入に工夫が要る。以前解いた3次方程式の式を若干使うので式番号が飛んでいる箇所がある。4次方程式を解く。ax4 + bx3 + cx2 + κx + l = 0 (1)ここで、a ≠ 0未知のxと固定の複素係数a、b、c、κ、lを用いて、次のように進める。まず、両辺をaで割り、上位2項を4乗する。(x + b/(4a))4これを設定する事でω = z + b/(4a) (2) (1)をより単純な式に置き換えるとω4 + pω2 + qω + r = 0 (3)ω は未知数で、定数係数 p; q; r が与えられる。次のステップは因数分解をする事になる。ω4 + pω2 + qω + r = (ω2 − αω + β)(ω2 + αω + γ) (4)多項式を2つの二次多項式の積に変換する。両因子におけるω2の係数は、適切な定数を因子に掛ける事で1に等しくする事ができ、その場合、因子におけるwの係数は、それらの和が(3)におけるω3の係数であるため、ゼロになる（即ち、−αおよびαの形になる）必要がある事に注意されたい。(4)の係数を等しくすると、与えられたp、q、rに対して、いくつかの数αを求める事が問題であると分かる。β + γ = p + α2 (5)βγ = r (5)’とα(β − γ) = q 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6)αを固定した場合、数β、γは(5)の二次方程式の2つの根となる。 t2 − (p + α2)t + r (7) 複素数tが未知数である、次式を展開する。(t−β)(t−γ) = t2 −(β +γ)t+βγ以下の式も参照して(t − u3)(t − v3) = t2 − (u3 + v3)t + u3 v3 従って、(7)を解く。(p + α2 ± Sqrt[(p + α2)2 − 4r]/2 (8)ここで、±は複素数の平方根が -1 を掛けるのみ一意である事を示す。従って、β − γ = ± Sqrt[(p + α2)2 − 4r] (9)それ故、(β − γ )2 = (p + α2)2 − 4r (10)そして、(6)により、α2 [(p +α2)α2 − 4r] = q2 (11) 即ち、α6 + 2pα4 + (p2 − 4r)α2 − q2 = 0 (12)これは未知数 α2を持つ3次方程式である。αを(12)式の固定された解の固定された平方根（タルタリアの公式を用いて求める事ができる）とし、βとγを(8)式と定義すると、(5)式が得られる。一方、(6)式では、式は等しいか、符号のみが異なる(11)式から見て平方が一致するため）。必要であればαを−αに置き換えると、(5)式、(6)式の複素解α、β、γが得られ、(4)式を分解する事ができる。各方程式を解くと、ω2 − αω + β = 0とω2 + αω + γ = 0これで(3)の全ての解ω が求まりました。Coffee breakAdriaen van Roomenアドリアーン・ファン・ルーメンは「Ideae mathematicae 数学の思想」（1593年）の中で、45次方程式x45 − 45x43 + 945x41 − 12300x39 + … − 3795x3 + 45x = Aを解く課題を「世界中の数学者」への挑戦という形で出した。Netherlands ネーデルラントの大使はフランス国王アンリ4世にフランスの数学者の質の低さについて言及し、フランス人はRoomenルーメンの問題を解く事ができないと述べた。そこで、アンリ4世はFrançois Vièteフランソワ・ヴィエトにその問題を提示した。ヴィエトは直ぐに、この式が sin(θ) を x = sin(θ/45) で表したものである事を認識し、23個の正解を見出した。当時は未だ、負の根は考慮されていなかった。三角法を適用する事により、彼はタルタリアの三次方程式の解を、正多角形を含む三角法の解へと簡約した。この技術の向上は、ここでも記法の向上の直接的な結果であった。、ヴィエトの解は1595年に出版され、その小冊子の巻末で、彼は3つの与円に接する円を描くというApollonian Problem アポロニアン問題を提示した。ファン・ルーメンは2本の双曲線を用いてこの問題を解き、1596年にその結果を発表した。ヴィエトは1600年に定規とコンパスを用いたApollonian Problem アポロニウス問題の解法を発表し、ファン・ルーメンに大きな感銘を与えた。ファン・ルーメンはヴィエトの数学的才能に深く感銘を受け、健康回復の為フランスを訪れ、パリに到着すると、ヴィエトがPoitou ポワトゥーにいると聞き、彼と話をする為に当地へ向かった。二人はそこで1ヶ月間共に過ごし、肝胆相照らす中になった。※肝胆相照：韓愈768年‐824年「中国、唐代中期の文学者、思想家、政治家」　　　　　2.例題次式の例題を解く。48x4 − 72x2 + 16Sqrt[6]x − 1 = 0 (13)x3の係数は既にゼロなので、(2)式のような未知数のシフトは不要です。(4)式の因数分解、即ち、48x4 − 72x2 + 16Sqrt[6]x − 1 = 48(x2 − αx + β)(x2+ αx + γ) (14)これを展開して、Expand[48(x2 − αx + β)(x2+ αx + γ) ]=48{x4+(-α+β+ γ)x2+(α β-α γ)x+β γ}α、β、γについて(5)、(6)式を解くと、p = − 3/2q = Sqrt[2/3] r = − 1/48　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(15)上式は以下になる。β + γ = α2 − 3/2βγ = − 1/48α(β − γ) =Sqrt[2/3] β+γ=α2+pβγ=rα(β-γ)=q　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(16)β; γは根と一致する。(α2− 3/2 ± Sqrt[(3/2 − α2 )2 + 1/12])/2 (17)2次方程式t2 + (3/2-α2 )t-1/48 (18)一方αは(12)と(15)を満たす必要がある。即ち、α6 - 3α4+7α2/3 -2/3 (19)タルタリアの手法を用いて、この3次方程式をα2について解く。具体的には、ω = α2 − 1 (20)18（32）をより単純な式に置き換えるとω3 − 2ω/3-1/3=0 (21)未知数のωについて、(21)を(4)の形で書き直す事ができる。(u + v)3 − 3uv(u + v) −(u3 +v3) = 0 (4)但し、u, vを(6)と(7)で求めればよい（ただしp, qはどちらも-8/3を表す）、つまり、ω = u + v (5)p=-3uv 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)q=-(u3+v3) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7) P=-3/2q=Sqrt[2/3]q=-1/3 uv =2/9u3 + v3 = 1/3前の(10)式と同様に、(t − u3 )(t − v3) = t2 − (u3 + v3)t + u3v3 (10)(t −u3)(t − v3) = t2 − t/3 + 8/36従って、uとvの立方u3、v3v3 は二次方程式の根でなければならない。t2 − t/3 + 8/36=0 (11)(11)式を解くと、Solve[t2-t/3+8/36==0,t] {{t->1/27},{t->8/27}}{{t→2/54},{t→16/54}}となる。そしてこれらの解の立方根は次のように選ぶ事ができる。u =2/3v =1/3上式からuv=2/9u3+v3=(2/3)3+(1/3)3=1/3対応する解決策はω = u + v(21)式はω3 − 2ω/3-1/3=0 (21)上式をF.クライン形式で解く。KleinSolve[ω3-2ω/3-1/3==0,ω]//N//Chop//SortNSolve[ω3-2ω/3-1/3==0,ω]KleinSolve[ω,-0.3333333333333333`-0.6666666666666666` ω+ω3==0]{{ω->-0.5`-0.2886751345948128` I},{ω->-0.5`+0.2886751345948128` I},{ω->0.9999999999999999`}}上式からω=0.9999999999999999 ≈ 1を取る。ω = 1そして(20)により、α2 = 2αに適切な符号を選択すると、(17)から次の数が得られる。(α2− 3/2 ± Sqrt[(3/2 − α2 )2 + 1/12])/2 (17)α=Sqrt[2]β=(3+2Sqrt[3])/2γ=(3-2Sqrt[3])/2　(16)式を満たすので、(14)式を次の形に分解できる。48x4 − 72x2 + 16Sqrt[6]x − 1 = 48{(x2 -Sqrt[2]x+(3+2Sqrt[3])/2} {(x2 +Sqrt[2]+(3-2Sqrt[3])/2}(13)の解xは-Sqrt[2]/2±Sqrt[2/Sqrt[3]+1]/2-Sqrt[2]/2±iSqrt[2/Sqrt[3]-1]/2になる。数値解は以下の通り。N[(-Sqrt[2]/2+Sqrt[2/Sqrt[3]+1)/2]=0.026838131320387815`N[(-Sqrt[2]/2 - Sqrt[2/Sqrt[3]+1)/2]=-1.4410516936934827従って解は以下の通りになる。x0 =N[(-Sqrt[2]/2-Sqrt[2/Sqrt[3]+1)/2]=0.02683813132038776x1 =N[(-Sqrt[2]/2-Sqrt[2/Sqrt[3]+1)/2]=-1.4410516936934827x2 =N[(-Sqrt[2]/2+I*Sqrt[2/Sqrt[3]-1)/2]=0.7071067811865476+0.1966599465951641*Ix3 =N[(-Sqrt[2]/2 - I*Sqrt[2/Sqrt[3]-1)/2]=0.7071067811865476 -0.1966599465951641*I続編：Mathematicaで4次方程式の解法事始めⅡ
- Mathematicaで4次方程式の解法事始めⅡ
  Mathematicaで4次方程式の解法事始めⅡMathematicaで4次方程式の解法事始めⅠからの続き。3.数学処理実装Ferrari Quarticで解くこの4次方程式は手数の掛かる解法であった。比較の為、数学処理ソフトが実装された数ステップで済む例題を解いた、式をやり繰りする達成感は無い。f(x)=x4-2x3-25x2+26x+120In[]:Plus@@(Subscript[a,#]x^#&/@Range[0,4])==0//TraditionalFormSolve[Plus@@(Subscript[a,#]x^#&/@Range[0,4])==0,x]//TraditionalFormFactor[x4-2x3-25x2+26x+120]Solve[x4-2x3-25x2+26x+120==0,x]Roots[x4-2x3-25x2+26x+120==0,x]//TraditionalFormRoots[x4-2x3-25x2+26x+120==0,x]//TraditionalForm//FullSimplifya4=1a3=-2a2=-25a1=26a0=120Solve[Plus@@(Subscript[a,#]x^#&/@Range[0,4])==0,x]//TraditionalFormOut[]:a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0==0(-5+x) (-3+x) (2+x) (4+x)解{{x→-4},{x→-2},{x→3},{x→5}}解x0 =-4x1 =-2x2 =3x3 =5f(x)=x4+4x3-4x2+12In[]:Plus@@(Subscript[a,#]x^#&/@Range[0,4])==0//TraditionalFormSolve[Plus@@(Subscript[a,#]x^#&/@Range[0,4])==0,x]//TraditionalFormFactor[x4+4x3-4x2+12]Solve[x4+4x3-4x2+12==0,x]Roots[x4+4x3-4x2+12==0,x]//TraditionalFormRoots[x4+4x3-4x2+12==0,x]//TraditionalForm//FullSimplifya4=1a3=4a2=-4a1=0a0=12Solve[Plus@@(Subscript[a,#]x^#&/@Range[0,4])==0,x]//TraditionalFormOut[]:a4 x4+a3 x3+a2 x2+a1 x+a0==0(2-2 x+x2) (6+6 x+x2)解{{x->1-I},{x->1+I},{x->-3-Sqrt[3]},{x→-3+Sqrt[3]}}解x0 = 1-Ix1 = 1+Ix2 =-3-Sqrt[3]x3 =-3+Sqrt[3](*Ferrari Quartic で解く。入力スクリプトは3次方程式に比べて、短い。例題は4パターンある。*)f(x)=x4 -4x3-16x+35In[]:Plus@@(Subscript[a,#]x^#&/@Range[0,4])==0//TraditionalFormSolve[Plus@@(Subscript[a,#]x^#&/@Range[0,4])==0,x]//TraditionalFormFactor[x4 -4x3-16x+35]Solve[(7-6 x+x2) ==0,x]Solve[(5+2 x+x2)==0,x]Solve[x4\[Minus]4x3\[Minus]16x+35==0,x]Roots[x4\[Minus]4x3\[Minus]16x+35==0,x]//TraditionalFormRoots[x4\[Minus]4x3\[Minus]16x+35==0,x]//TraditionalForm//FullSimplifya4=1a3=-4a2=0a1=-16a0=35Solve[Plus@@(Subscript[a,#]x^#&/@Range[0,4])==0,x]//TraditionalFormOut[]:a4 x4+a3 x3+a2 x2+a1 x+a0==0(7-6 x+x2) (5+2 x+x2)解{{x->-1-2*I},{x->-1+2*I},{x->3-Sqrt[2]},{x->3+Sqrt[2]}}x0 =-1-2*Ix1 =-1+2*Ix2 =-3-Sqrt[2]x3 =-3+Sqrt[2]完

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