1/2進数
今回の内容については、数学的な内容を含んでいるにもかかわらず、自分では間違いなのか良くわからないので、ご注意して頂きたい。
今日思いついたことは、私たちが普段使っている１０進法などの、「進数」について。
普通の数字は１０進法を表すので、０～９の１０種類ある。
例えば、コンピュータなどで良く使われる、１６進法では、０～９にabcdefの５つが加わり、１６種類の文字で数字を表す。
２進法なら、０と１だけの２種類だし、３進法なら０、１、２の３種類の文字を使う。
さて、１０進法で「１４」と書く数字を、２進法ならいくつになるか。
1x2^3 + 1x2^2 + 1x2^1 + 0x2^0 = 1110 となる。
同様に、３進法なら、
1x3^2 + 1x3^1 + 2x3^1 = 112 となる。
それでは、１進法ならどうだろう。
1x1^14 + 1x1^13 + …… + 1x1^1 + 1x1^0 = 11111111111111 となるだろう。
さらに進めて、０進法はどうか。
0^0 = 1 であるため、１は示すことができそうだが、0^1 = 0 、0^2 = 0 、…… 、0^n = 0 (n>0) であるため、１以外の数字は示すことができない。
１以上の進法ではすべての数を表せるのに、０進法では無表記で０、０の表記で１を示す事しかできないのだろう。
この時に考えたのが、1/2進法というものを考えた時に、どこまでの数字を表せるのか。
1/2の累乗を考えると、
(1/2)^0 = 1
(1/2)^1 = 1/2
(1/2)^2 = 1/4
…
…
(1/2)^∞ = 0
このようになるので、表せる数は、これらを合計した数となる。
合計した数は、初項1、公比1/2の等比数列の和（無限級数）であるので、公式を使って、
1 / (1 - 1/2) = 2 となる。
そのため、1/2進法では、2以上の数字を表すことができないのだ。
同様に、1/3進法で考えると、同じ計算を1/3で置き換えるだけなので、やはり3が上限となる。
要するに、０以上１以下の進法では、その進数の逆数以上の表記ができないこととなる。
しかし、ここで、乗数をマイナスにしたらどうだろう。
1/2進法の場合、以下のようになる。
(1/2)^0 = 1
(1/2)^-1 = 2
(1/2)^-2 = 4
(1/2)^-3 = 8
…
…
(1/2)^-n = 2^n
…
…
(1/2)x(1/2)^∞ = ∞
このような結果となり、無限大まで表記できるようになる。
この結果を見て頂くとわかるとおり、これは２進法と等しいと考えることができる。
それでは、実際に1/2進法で「１４」を表記するための計算をすると、
1x(1/2)^-3 +1x(1/2)^-2 + 1x(1/2)^-1 + 0x(1/2)^0 = 14
となるため、1/2進法で１４は、
0.111
と表記することになると思うのだが、どうだろうか。
恐らく、考え方に誤りも多いかもしれないが、この様な学校で習わないことを考えるのは楽しい。
また次の機会に、-2進法などの、負の進法を考えてみたい。
今日思いついたことは、私たちが普段使っている１０進法などの、「進数」について。
普通の数字は１０進法を表すので、０～９の１０種類ある。
例えば、コンピュータなどで良く使われる、１６進法では、０～９にabcdefの５つが加わり、１６種類の文字で数字を表す。
２進法なら、０と１だけの２種類だし、３進法なら０、１、２の３種類の文字を使う。
さて、１０進法で「１４」と書く数字を、２進法ならいくつになるか。
1x2^3 + 1x2^2 + 1x2^1 + 0x2^0 = 1110 となる。
同様に、３進法なら、
1x3^2 + 1x3^1 + 2x3^1 = 112 となる。
それでは、１進法ならどうだろう。
1x1^14 + 1x1^13 + …… + 1x1^1 + 1x1^0 = 11111111111111 となるだろう。
さらに進めて、０進法はどうか。
0^0 = 1 であるため、１は示すことができそうだが、0^1 = 0 、0^2 = 0 、…… 、0^n = 0 (n>0) であるため、１以外の数字は示すことができない。
１以上の進法ではすべての数を表せるのに、０進法では無表記で０、０の表記で１を示す事しかできないのだろう。
この時に考えたのが、1/2進法というものを考えた時に、どこまでの数字を表せるのか。
1/2の累乗を考えると、
(1/2)^0 = 1
(1/2)^1 = 1/2
(1/2)^2 = 1/4
…
…
(1/2)^∞ = 0
このようになるので、表せる数は、これらを合計した数となる。
合計した数は、初項1、公比1/2の等比数列の和（無限級数）であるので、公式を使って、
1 / (1 - 1/2) = 2 となる。
そのため、1/2進法では、2以上の数字を表すことができないのだ。
同様に、1/3進法で考えると、同じ計算を1/3で置き換えるだけなので、やはり3が上限となる。
要するに、０以上１以下の進法では、その進数の逆数以上の表記ができないこととなる。
しかし、ここで、乗数をマイナスにしたらどうだろう。
1/2進法の場合、以下のようになる。
(1/2)^0 = 1
(1/2)^-1 = 2
(1/2)^-2 = 4
(1/2)^-3 = 8
…
…
(1/2)^-n = 2^n
…
…
(1/2)x(1/2)^∞ = ∞
このような結果となり、無限大まで表記できるようになる。
この結果を見て頂くとわかるとおり、これは２進法と等しいと考えることができる。
それでは、実際に1/2進法で「１４」を表記するための計算をすると、
1x(1/2)^-3 +1x(1/2)^-2 + 1x(1/2)^-1 + 0x(1/2)^0 = 14
となるため、1/2進法で１４は、
0.111
と表記することになると思うのだが、どうだろうか。
恐らく、考え方に誤りも多いかもしれないが、この様な学校で習わないことを考えるのは楽しい。
また次の機会に、-2進法などの、負の進法を考えてみたい。