今日は加法定理について英語科の某先生が「あれって、証明にトレミーの定理を使うから覚えやすい」といっていました。
僕が知っているのは、２点間の距離の公式と余弦定理（ベクトルを使っても同じ）をつかう証明だけなので、
何を勘違いしているのかと思って黒板でやってもらったら、
本当にトレミーの定理を使っても証明ができていました。
直径１の円に内接する四角形ABCDにおいて、
BDを直径、∠ABD=α、∠CBD＝βとすると確かにできます。
驚いたので、書いてみました。
気になるひとはやってみてください。
（注：下に簡単な証明を書いておきます）
ちなみに９９年の東大の入試問題では
（１）でサイン、コサインの定義を答えさせ、（２）で（１）の定義を用いて加法定理を証明させる
問題を出題しています。
（注）トレミーの定理を用いた加法定理の略証。
三角形ABCで正弦定理よりAC／sin(α＋β)＝１
ゆえにAC＝sin(α＋β)
また、BD（直径）における円周角より、∠A=∠C＝９０°
三角形BADはBD＝１を斜辺とする直角三角形なのでAB＝cosα、AD＝sinα
同様にして直角三角形BCDよりBC＝cosβ、CD＝sinβ
あとはトレミーの定理
AB・CD＋AD・BC＝AC・BD
に各辺と対角線の長さを代入してsinの加法定理が出来上がり。
sinの公式ができれば、あとはsin（９０°－θ）＝cosθの性質からcosの加法定理を導けます。