持病があるが、ライセンス取得できるのでしょうか？

これは症状にもよりますので、一概にお答えすることができません。
万が一水中で発作が起きた時に、すぐに対処できないような持病の場合ですと難しい場合もあります。ダイビングライセンスに申し込む前に、医師へのご相談をお勧めします。