道を間違う

「誰にでも間違えはある」と聞いて違和感を覚えました。そこは「間違い」なのでは。
「間違い」と「間違え」は似ています。元の動詞は「間違う」と「間違える」ですね。
ではこの二つはどう使い分けるべきなのでしょうか？

　まちが・う　―ちがふ 3 【間違う】

　(1)正しくない状態になる。誤っている。違う。
　(2)「間違える(1)」に同じ。
　(3)「間違える(2)」に同じ。
　(4)行き違う。かけ違う。

　まちが・える　―ちがへる 4 3 【間違える】

　(1)誤りをする。やりそこなう。
　(2)他のものと取り違える。
　〔「間違う」に対する他動詞〕

なんだか「間違う」≒「間違える」のように見えます。
しかし「間違える」は「間違う」に対する他動詞です。

「違う」と「違える」には自動詞と他動詞という大きな違いがあります。
同じように「開く（あく）」と「開ける（あける）」も自動詞と他動詞のコンビです。
例えば「ドアが開く」は「ドアを開ける」と言い換えることが出来ます。
同じように「道が違う」と「道を違える」も可能でしょう。
では「間違う」は？「答えを間違える」はいいとして「答えが間違う」はないでしょう。
むしろ自然なのは「答えを間違う」です。勿論、「答えを間違える」が最も自然ですが。

しかし何故このような不自然さが出てくるのでしょう。
どうやら「間違う」は他動詞として使われています。自動詞として使う方が不自然です。
「彼が道を間違った」と言えば「間違う」のは「彼」ですし、「違う」のは「道」です。
どうも「間違う」「間違える」は「違う」「違える」と同じように考えてはいけないようです。
では結局何が違うのでしょうか。

間違う？　間違える？
[NHK放送文化研究所]

「間違う」を自動詞として、「間違える」を他動詞として使ってもらえるとすっきりするのですが。
それはあまりに安っぽい考えでしょうか。