誕生日のパラドックス

以前紹介した『ジキルとハイドと裁判員 』の前回号で、"誕生日のパラドックス "というくだりがあって、ずっと気になっていたのだが、調べずにしばらく忘れてしまっていた。

ハイドがジキルに問う。

ハイド：｢２３人のクラスに同じ誕生日の人間がいる確率はどのくらいだと思う？｣

ジキル：「・・・えっとそりゃあ、せいぜい１割ぐらいでは？」

この答えがおもしろい。

＜以下自分の思考＞

そんなん、４０人くらいのクラスでも同じ誕生日の奴なんかおらんかったし・・・

かなり低い確率やろう？？って思ったら・・・・

＜答え＞

５０％！


＜以下自分の思考＞

え？

嘘？？

どう考えてもありえん。

え～～と、1/365の確率で・・・

２人が重複すればいいわけだから・・・

どう考えても２３人ってのは少なすぎでは？？？

＜心理的側面＞

直感的な感覚だと確かにもっとずっと少ないように感じる。

＜回答詳細＞

実はトリックがあって、こう言われると納得できた。

部屋に22人の人間がいる。あなたがその部屋に入ったときに、「あなたと同じ」誕生日の人がいる確率は50％ではない。その確率はずっと低い。これは、「あなた以外の人」同士の誕生日が同じであるという可能性は考慮されないからである。

なるほど、２３人のうちのどこかのペアで誕生日が一緒になればＯＫだからか

それを確率で計算すると・・・・（wikipedia 参照）

2人目が1人目と異なっている誕生日である確率は、364/365である。次に、3人目が1人目2人目と異なる誕生日である確率は363/365である。同様に4人目は362/365、…、n人目は(365-n+1)/365となる。 つまり、n人の誕生日が全て異なる確率は次のようになる。

よって、n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人いる場合の確率p₂は、

となり、n=23のとき、p=0.507...となる。

という事らしい。まったく分からんがそういう事で・・・

ちなみに、先ほどの、n人の部屋に"あなた"が入ったときに、あなたと同じ誕生日の人がいる確率p₃は、

となる。n=23 ならば、p = 0.0611...である。nが253のときに初めてpが0.5以上となる。

２５３人いたら自分と同じ誕生日の人がいる確率が５０％となるみたいだ。

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というように、難解だと感じたのは自分だけ？