Rd6の降格確率について1コーナー追記しようとしてたら思いの外長くなったため、別立てで記事を作成。
僕はせいぜいのところエクセル遊びが好きな人程度なのでコメント大歓迎。
↓以下追記予定だった記事↓
"モンテカルロシミュレーション"
家に帰って2週間して、Rd6時点での最終順位シミュレータ作りに取り組んだ。実習が楽で、本当に暇だったのだ。シミュレーションといってもそんな複雑なものではない。エクセルで遊ぶ程度のこと。
やり方は以下の通り。
まず始めにチーム間の実力差は無視し、IMP差が正規分布に従ってランダムにつくと仮定して、対戦ごとのIMPを出す。
次にこのIMP差を2チームのVPへと変換する。
そしてこれを4つ1セットとし、最終ラウンドの4対戦に対応させて、8チームのVPをRd6時点のVPに足す。
これをRd7終了時のVPとして最後、Rd7終了時のVPを基に各チームの順位を出す。
これで擬似日本リーグRd7を1回やったのと同じ扱い。
あとは4つ1セットをたくさんコピペして、あたかも日本リーグを沢山やったようにし、あるチームが1位だった回数、2位だった回数…を集計。
これを擬似日本リーグの総回数で割って、最終どの順位に落ち着くかの確率を出す。
エクセルでは19,200行まで使って4,800回日本リーグをやらせてみた。
モンテカルロシミュレーションなので理論値ではないけれど、Rd6で8位だったチームの降格確率は95%程度。4,800回の擬似日本リーグのうち、Rd7を6位以上で終えられた回数は僅か240回程度である。
前にも書いた通り、7位のチームが今までと比べぐっと強くなることを考えると、パッと思い浮かんだ97%降格はかなりいいエスティメットのようだ。このセンスをお金か試験の点数に替えたい。
ちなみにうちの降格確率は15%程度だった。
このモンテカルロシミュレーションはいくつかの限界があるので備忘録代わりに。
①IMP差は正規分布に少し従わない。
色々調べたけれど、ブリッジのIMP差グラフは正規分布のグラフから少し歪んでいて、±6IMPと±11IMPの所に"コブ"ができる。ゲームの設計上、ゲーム/スラムルーズとゲームでき落ちが他のスコアと比べて多いのだ。7IMP取られって、あんまりみたことないでしょ？体感、11IMP取られより少ないかもしれない。
②IMP差の"丸め方"のせいで正規分布からも少しズレる。そのためVPが正確にならない。
意外なことに(?)、小数点以下のIMP差もVPに換算できる。
そのため当初の予定では、ランダムに生起させた実際に存在しない小数点以下のIMP差を採用して、IMP差を滑らかな正規分布に落とし込もうとしてたのだけど、やめた。
これはVPの計算数式における小数点第3位以下の丸め方や、VPが20-0に近づいた時の処理の仕方が特殊で、式が理解出来なかった/出来そうだけどむちゃ手間かかりそうだったため。
実際は小数点以下のIMP差を四捨五入して、整数差IMPの16bd用VPスケール(=我々がよく見るやつ)へ落とし込むことにした。これはエクセルの計算負荷も軽減する。別に用意した±60IMPまでのVP換算表をvlookupで参照してVPに変換しながら少し悲しい気分になった。
余談だけど、vlookupはエクセルへの負荷がすごい。今回は(IMP差)→数字(VP)の抽出だったからなんとかなったけれど、19,200行までコピペしながらとてもドキドキした。エクセルちゃんは機嫌を損ねるとデータ全消去の上ダウンとかいう荒技を繰り出してくるので、こまめに保存しながら作業を進めた。
③ボード当たりのIMPの標準偏差を文献に従い7.51IMPとした。
ACBLが小数点含むVPスケールへ移行した時の研究によると、BBOでの対戦履歴から標準偏差が7.51IMP/√bdだそうなので参考にした。多分いいと思うけど、本当かどうかは知らない。
④実力差と降格ファクターを無視した。
各チームの対戦成績は実力差を無視して、±0IMPを境に上下均等になるよう設計した。
それ以上にでかいかもしれないのが降格ファクター。チームによっては、
「普通にやったんじゃ勝てない」
「多少無理目なスラムに突っ込んでメイクしないと勝てない」
とか、
「スコアを落ち着かせよう」
とか考えるであろうことを無視した。僕の技術じゃ、どのように反映させるかも検討つかない。
まぁ①〜④の誤差も最終結果に合わせて5%も影響しないんじゃないかな。そこそこ満足いくものが出来たし、今後も使える優れものだ。
これに関連し、調べてて面白かったのが「何IMPでハコるか」の話。
2σを20-0の基準としたかったらしく、σ=7.51IMP/√bdを参考に"15√N IMP"(N=ボード数)を20-0の基準にしたらしい。
だから4ボードマッチなら30IMP、9ボードマッチなら45IMP、16ボードマッチなら60IMP勝ちが20-0の基準になるようだ。肌感とあう？