座標を使った平面上での図形は
ズラス，折り返す，回す
の3つの移動で自由な移動ができます。
平面上の点を使い線対称，点対称の移動を味わい，放物線を使って平行移動を説明され，三角関数を使うか複素平面で図形の回転が自由になりました。
１つ悩むのが点を移動か？，図形の移動か......むしろあまり意識していないかもしれませんね。図形を移動したのならば
式は移動前の式に座標を戻して使う
でしょう。さて積分の話です。定積分は図形が移動したものならば，積分区間も移動しています。積分区間を意識しながら下のⅠを(1)から順にみて下さい。
すべて「1」からの積分にしてあります。
(x－1)の因数が代入では有効に使われています。
Ⅱでは (x－α) を使って恒等変形しています。
お馴染みの皆さんの言うところの1／6公式！ ですよ。
Ⅰからの流れではこの結果は n を変えることで
1／12 1／20 1／30 ......と
図形を意識すれば
方程式を解から解へ積分している
ことが分かります。ここまで「拡張」してほしいのが数学講師としての願いです。
「整式の囲む図形積分」
がいいけどなぁ。記述の答案では 1／6公式より...などと書かないように。