「スポーツ コーチ」でWeb検索したら、Wikipediaに以下のような記述がありました。
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「コーチ」という語は、ハンガリーのコチ（Kocs）という町で農閑期の収入源として作られた四輪馬車・コーチ（kocsi）に由来する。世界初のサスペンション付きの馬車でもあり、以後「コーチ」は馬車の代名詞となった。
19世紀ごろ、オクスフォード大学で、家庭教師（チューター tutor）を、目的地に運ぶ馬車になぞらえコーチと呼ぶようになり、指導者のことを指す言葉となった。また、四輪馬車・コーチは運転が難しく訓練が必要であることから、コーチ自体に「訓練」という意味が生まれた。
近年、アメリカ英語では、この語をスポーツ以外の世界でも使うようになり、日本語でもビジネスの世界で「コーチング」などと取り入れるようになった。
（ コーチ より引用）
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ただし、この話の裏を取っていませんので、ご使用の際は、文献をご確認ください。