たけしのコマ大数学科#235
（旧名称・たけしのコマネチ大学数学科）
フジテレビ 2011年8月22日 深夜OA
今回のテーマは、
「奇跡の軌跡」
（7月20日発売）
たけしのコマ大数学科 第11期 DVD-BOX
￥7,140 Amazon.co.jp
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アラブのイケメン大富豪からプロポーズ、超玉の輿で世界のセレブの仲間入り。
そんな奇跡体験、あるのかな？戸部洋子です。（失笑）
（戸部アナ）
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すっかりサボってた！ あわててアップしますわ。
今回のオープニングテーマは、
「アンビリーバボーな奇跡体験談」。
今回の東大生は、
花の東大シスターズの木村美紀さん（大学院4年生）と山田茜さん（経済学部4年）。
木村さんのエピソード：
「最近、空を飛べました」発言にびっくりしましたが
実は、パラグライダー体験をしてきたとのこと。
コマ大：
ダンカン 〆さばアタル お宮の松 アル北郷
（今回は特にネタなし）
今回の「軌跡」問題は、超難問という先生から例題が。
図のようにい正三角形と半円を組み合わせた図形を
直線状に滑ることなく矢印の方向に回転させたとき
半円の中心Pの描く軌跡として正しいものは次のうちどれでしょうか？
コマ大、東大生は3番。マス北野は最初5番だったが最終的に3番に。
正解は5番。マス北野、変えなければよかったのに…。
これを踏まえて、今回の問題は…。
問題：
図のように３つの車輪が異なるサイズで
車輪Cは車輪Bに、車輪Bは車輪Aに取り付けられていて
それぞれ異なる速さで回転する観覧車がある。
乗客が1番小さい車輪（図の始点）に乗ったとき
その乗客の通過する軌跡を描きなさい。
ただし、観覧車は以下のように動いている。
・車輪Aはゆっくりと反時計回り
・車輪Bは車輪Aの7倍の速さで反時計回り
・車輪Cは車輪Aの17倍の速さで時計回り
・車輪Bは車輪Aの半分の半径
・車輪Cは車輪Aの3分の１の半径
先生曰く、だいたいこんな感じという作図（絵）で正解にしたい、とのこと。
コマ大数学研究会の挑戦：
スタジオ会議室ロケ。
冒頭の番組作家たけうち氏の考えた
『TOKYO COMADAI LAND』ネタはスルーして、
今回の検証方法は…。
マス北野が25年間お世話になってきた、番組美術制作会社「アックス」の
丸山覚さん（メディア事業本部・取締役・「マルちゃん」でお馴染みだそうです）と
清水久さん（メディア事業本部・美術制作部次長・美術プロデューサー）に
問題と同じ動きをする観覧車を作ってもらい、
その軌跡をコマ大の答えにしようという検証作戦。
ちなみに、丸山さんは「2010年・仏カルティエ現代美術財団」で開催された
「BEAT TAKESHI KITANO GOSSE DE PEINTRE」にも協力をしているそうです。
清水さんは、TBS「情報7daysニュースキャスター」で、
マス北野の頭に落ちてくるハリボテ落下物を担当されているそうです。
お二人に本物の観覧車を作ってもらうとすると、60億円かかる見積もり。
そんなお金はないそいうことで
予算12000円以内で観覧車のテイをしたものを
コマ大が丸山さんたちに発注することに。
出来上がったのがこれ
各回転部は問題の回転速度を再現していて、
観覧車部分にペンを装着して軌跡を描かせた。
ただ、回転させるスイッチは低予算の為３つ別々。
コマ大生はその制御に苦労してました。(笑)
アックスにおんぶにだっこだった今回の検証結果はスタジオで。
タカさんの決め文句
「常識や科学では解明できないアンビリーバボーな難問にも
正解という奇跡は 間違いなく存在するのです。
今夜主人公になるのは、あなたかもしれません。
Let's 奇跡の軌跡！」
（ポーズは 奇跡体験アンビリーバボー風。かっこよくて大拍手）
対戦開始！
東大生、マス北野ともに苦戦。
東大生は数式を出して考え始めたが
先生から、数式はすぐに出るけど、そのあとパソコンがないと大変、
と言われて、直感で行くことに。
マス北野は、円をいくつか描いてから、菊の花のような曲線を描いてゆく。
＜東大生プチ情報＞
（今回はナシ）
TIME UP！！
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解答：
東大生チームの解答：
答え、（下図）
（解説：）
観覧車の気持ちになって、ダイナミックな、ひまわりのような軌跡になりました。
マス北野チームの解答：
答え、（下図）
（解説）
2番目の車輪の軌跡の上に3番目の車輪の動きを加えたらこうなった。
コマ大チームの解答：
答え、（下図）
（解説：）
止める作業が大変だったので、１周以上回ってしまった。
正解は：
（残念ながら正解なし。マスちゃんのがズレなければ…。）
ということで、
全員不正解！
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美しき数学の時間 （先生の解説）
考え方：
※ホワイトボードには、解説されなかった記述有り
出典：
Mathematics magazine vol.69 No.3 , June 1996 p.185-189
"Wheels on Wheels on Wheels. Surprising Symmetry" Frank.A.Farris
問題の車輪の回転速度は １、7、-17。
これらは
1=6ｘ0+1
7=6x1+1
-17=6x(-3)+1
6で割った余り（法） １mod６ である。
つまり、描かれる軌跡には６回の対称性がある。
３６０°を6で割ると６０°
６０°車輪Aが回った時点で、
車輪Aは1/6回転 （6ｘ0+1）
車輪Bは１回転+1/6回転 （6x1+1）
車輪Cは-3回転+1/6回転 （6x(-3)+1）
これが全体の1/6の動きなので、
これが６回繰り返されると、元の位置に観覧車が戻る。
ここで竹内先生からパソコンで描く軌跡が示された。
※ちょっと前に、Twitterで竹内先生が苦労してるって言ってた作図はこれだな。
ちなみに、私もエクセルで描かせてみた。（数式は簡単だからね）
分解して考えると
車輪Aのみの軌跡
車輪Bまでいれた軌跡
車輪Cまで入れて、車輪Aが60°まで（全体の1/6）動かした時
これを６回繰り返すと、求められた正解の軌跡となる。
発展
軌跡 車輪C 90°始点ずらし
速度が-2,5,19の場合 （5 mod 7)
mod 7なので、今度は７の対称性がでてくる。
速度が 2, -16, -7, 29の場合 （2 mod 9)
mod 9なので、今度は9の対称性がでてくる。
※何で４つの速度が出てくるのか番組内では説明されていない。
ちなみに、私の作図は、４つの車輪を使って作図。（４つ目の車輪は1/4半径）
竹内先生の描いた図とは違うので注意。
正確な軌跡は、前出した出典：
"Wheels on Wheels on Wheels.
Surprising Symmetry" Frank.A.Farrisを参照ください。（PDFファイル）
そこには、「For FIGURE 4, I chose frequencies 2,- 16,- 7,29
（all congruent to 2 mod 9) to produce a curve with 9-fold symmetry;
I then adjusted the coefficients to make the pattern more pleasing.
They are 1, i/2, 1/5, and i/5.」と書いてあります。
（英語わかる人は読んで、自分で作図してみてね～ 私はやらないけど）
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コマ大フィールズ賞：
今回は、コマ大・・・というよりは、
マルちゃんに！
エンディングテーマが新しくなりました。
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★あとがき
次回は「番組になでしこジャパンが登場！？」。
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講師：竹内薫
（科学作家 東大理学部物理学科卒）
竹内先生のOfficial Site http://kaoru.to/
薫日記（ブログ） http://kaoru.txt-nifty.com/diary/
解答者：
マス北野
ポヌさん （ベナン出身・東大大学院生・マス北野の助っ人・ゾマホンの友人）
東大・花の東大シスターズ：木村美紀（大学院4年生）、山田茜（経済学部4年）
木村美紀 AMUSE所属 Blog「木村美紀の七変化」
コマネチ大学生：
ダンカン 〆さばアタル お宮の松 アル北郷
2011/8/22 深夜OA
コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
ガスコン研究所 ■コマネチ大学2006年度講義リスト（#１～42・マス1グランプリ含）
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