たけしのコマ大数学科#226
（旧名称・たけしのコマネチ大学数学科）
フジテレビ 2011年6月20日 深夜OA
今回のテーマは、
「楕円 Part2」
（7月20日発売）
たけしのコマ大数学科 第11期 DVD-BOX
￥7,140 Amazon.co.jp
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楕円とかけまして、落語家さんと解きます。その心は…。
焦点（笑点）が大事でしょう～。
（戸部アナ）
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今回の東大生は、
花の東大シスターズ：木村美紀さん（大学院4年生）、山田茜さん（経済学部4年）。
本日は父の日ということで、東大生のお父さんのお話。
なんと、山田さんのお父さんの名前は、
『山田一郎』さん！！
銀行の振込用紙の記入例みたいな名前ですが…。
でも絶対忘れない名前ですよね。得してる。
マス北野は、父にも、父としても、
父の日に何かあげたり、もらったりしたことはないそうです。
ホールケーキを菊次郎さんが地下足袋で踏みつぶして、
ケーキを刺してる金具が足に刺さってのた打ち回ったって話は笑った。
コマ大：
ダンカン 〆さばアタル 無法松 ガンビーノ小林
（今回はネタ見せナシ）
問題：
長軸の長さが１０の楕円の２つの焦点を中心として、半径２の円を描きます。
楕円上に点P、２つの円上に点Q、点Rをとるとき
PQ+PRの最大値を求めなさい。
（※問題の図の縮尺は適当です）
楕円の問題は、以前にマッハ伊藤さんに
（秒殺シスターズの東大医学部コンビより、はるかに手ごわい先輩）に
マッハ解答されてしまった。
しかも
「（タカさん） どうですぁ？久々に参加してみて」
「（伊藤さん） 簡単でした」
と言われてしまった！！
「＃214 楕円」 2011年3月7日OA 記事リンク
今回は 先生からのリベンジ問題だったのだが…。
コマ大数学研究会の挑戦：
今回は、広い公園を使ってロケ。
楕円と言えば、ラグビーボールということで、助っ人に呼んだのは
ラグビーを6年間やって全国大会にも出ているラガーマンの 柳宏明さん！
じつは、補欠だったようで・・・。
（※検索すると、財団法人日本ラグビーフットボール協会 の
インターン生とありました。→タグラグビー指導者講習会レポート）
番組のディレクターさんが友人の柳さんをキャステキングしたようです。
ためしにコマ大生が柳さんのタックルを受けてましたが、補欠でもすごいパワーです。
ということで検証方法は
地面に描かれた問題の楕円+円を使って、楕円上にいるコマ大生（点P）から、
ゴムにつながれた柳さんがトライした位置（円周上の点P,点Q）までの距離を計測。
いろいろな場所にトライして、その距離の最大値を求めてゆく。
ゴムが引っ張られるので、期待した通り、柳さんからコマ大生にゴムが飛ぶ！(笑)
でも途中で、柳さんにもゴムが飛んでしまい～
「僕、素人なのに…。」と脇腹に手を当てて痛みに苦しんでいました。（御気の毒）
様々なパターンを試して、答えが出ました。
タカさんの決め文句
「Let's 楕円 Part2！」
（ポーズは ラブビー。走りこんでからの戸部アナへパス、で、表現～）
対戦開始！
楕円の性質を理解していれば優しい問題という先生。
東大生は、点Pの位置をどこにするか考え始め…。
マス北野チームは、ポヌさんがマス北野にアドバイスを与えて…。
どうやらポヌさんが完全に理解していて、ほぼ秒殺でポヌさんが答えを書いた。
遅れること、東大生も「これでいいのか？」と思いつつも答えを書いた。
＜東大生プチ情報＞
今回は『恋のお悩み相談』。
山田さん：
好きな人は現在皆無だけど、好きな人ができたときに
どうやって自分に振り向かせるのか教えてほしい。
戸部アナは、追っちゃうタイプなので参考にはならないが…。
「さりげなく、アタック」だそうだ。
マス北野からは「夜中に相手の家にピンポンする」。
結局、いいアドバイスは無しかい～～
TIME UP！！
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解答：
コマ大チームの解答：
答え、14.20
（解説：）
焦点どうしの真ん中あたりの楕円周上（ちょっとずれたあたり）から
小さい円の中心付近を通った向こう側の円周上にP,Q。
ちょうど真ん中じゃないわけを「人間のやってることですから」というダンカン部長。(笑)
マス北野チームの解答：
答え、14
（解説：）
楕円の焦点、F1、F2とすると
楕円の性質から、点Pがどこにあっても
F1P+F2P＝10になる。
そこで、点Rと点Qがどこにあれば、最大値を取るのか考えると
PR、PQともに、焦点を通るときが一番長くなるので、
F1P+F2P + 円の半径2つ分 ＝ 14 が最大値。
とてもシンプルに解きました。
東大生チームの解答：
答え、１４
（解説：）
点Pを固定して、点Rを動かしたときに、
PRが最大になるのは、PRが焦点を通るときだとわかった。
同様に、点Qも、PQが焦点を通るときに最大。
あとは、ポヌさんと同様に、楕円の性質から
焦点１⇒点P⇒焦点２の距離は10で一定。
それに、円の半径２を、２つ分足した、１４が答え。
山田さんからは、F1P+F2P＝10の証明もありました。
（※点Pが直線F1F2の延長上
（楕円の長軸上）にあるときで証明できる）
正解は：
１４
ということで、
マス北野と東大生が正解！
なんでコマ大は14.20なのか・・。
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美しき数学の時間 （先生の解説）
考え方：
先生は、説明することがない、と少々意気消沈でしたが…。
P：楕円上の点
長軸：CD＝10
焦点をABとするとき、PA+PB＝一定 （楕円の性質・・というか、楕円の定義）
Q：Aを中心とする半径２の円周上の点
R：Bを中心とする半径２の円周上の点
では、PQ+PRが最大になるのはいつか？
１：Pをとめたとき、最大値はPA+PB+２ｘ２ （2は円の半径）
なぜならば
円外の1点Pと、周上の点Qの距離は
PQが円の中心をとおるときに最大だから
（ユークリッドの『原論』第3巻第8節）
２：Pが動いても最大値＝PA+PB+４で一定
PA+PB＝ いくつ？
PがCのとき：PA+PB＝２CA+AB
PがDのとき：PA+PB＝２DB+AB
ということで CA＝DB
なので、PA+PB＝２CA+AB＝CA+AB+BD＝CD＝１０ （＝長軸の長さ）
したがって、最大値＝PA+PB+４＝10+4＝１４
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ちなみに、問題を寸法通り描くと、こんな感じ
（※短軸を長めにしないと、円が楕円からはみ出る。）
発展解説
・スーパー楕円 （super ellipse)
楕円の式は、
(x/a)2+(ｙ/ｂ)2=1
これを、乗数２じゃなくて、違う数にしてみようと
(x/a)ｒ+(ｙ/ｂ)ｒ=1 （ｒは１，２，３…でなくても良い）
にしたもののグラフを 『スーパー楕円』というそうだ。
（ヨーロッパでは、フランスのラメという人が研究したので「ラメ曲線」と呼ばれている）
r=2.5は、デンマークのデザイナーである、
ピート・ハイン （Piet Hein 1905-1996）が
日用品や建築のデザインに使ったそうで、それが紹介されてました。
ｒ＝2.5だと、ｒ＝２の楕円より、ちょっと膨らんだ感じ。
（※長軸10 短軸8.4 紺色：楕円 水色：スーパー楕円
x = a*(cosΘ）^0.8 y=b*(sinΘ）^0.8 で描かせた）
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例として、1968年メキシコ五輪に使われた、アステカ競技場も出てきましたね。
ちなみに、数学で「超楕円」は、hyper ellipseと言って、別物らしいです。
※参考サイト：スーパー楕円｜くろべえ
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コマ大フィールズ賞：
今回は、早く答えを出した
マス北野チームに！
エンディングテーマが新しくなりました。
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★あとがき
次回は「あの国立大学に必勝態勢で挑戦！？」。
簡単に解かれてしまった中村先生ですが…。
「いや、難しい問題ならいくらでもあるんでね」と悔しさをのぞかせてました。
追記：
今週も、最後の1フレームに、1枚の画像が差し込まれてた！
コマ大の検証風景だったけど～
これから、ちょこちょこ、こういう遊びを入れるのかしら～
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講師：中村亨
（1963年生まれ。東京大学大学院理学系研究科数学専攻修了、理学修士。）
著書：数学21世紀の7大難問 中村 亨 など
学研の参考書・辞典【コラム】中村あきら先生のマスマス数学
解答者：
マス北野
ポヌさん （ベナン出身・東大大学院生・マス北野の助っ人・ゾマホンの友人）
東大・花の東大シスターズ：木村美紀（大学院4年生）、山田茜（経済学部4年）
木村美紀 AMUSE所属 Blog「木村美紀の七変化」
コマネチ大学生：
ダンカン 〆さばアタル 無法松 ガンビーノ小林
2011/6/20 深夜OA
コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
ガスコン研究所 ■コマネチ大学2006年度講義リスト（#１～42・マス1グランプリ含）
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