たけしのコマ大数学科#223 「展開図 Part2」

たけしのコマ大数学科#223
（旧名称・たけしのコマネチ大学数学科）
フジテレビ　2011年5月23日 深夜OA


今回のテーマは、
「展開図 Part2」

【　NEW！！】　（4月20日発売）
たけしのコマ大数学科　第10期　DVD-BOX

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今から3年前に取り上げた展開図。
実は今回の問題は小学生でもできるとか。
ちなみに小学生の時の私の夢はアイスクリーム屋さんでした。
えへ！皆さんの夢はなんでしたか？
（戸部アナ）

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今回の東大生は、
花の東大シスターズ：木村美紀さん（大学院4年生）と、山田茜さん（経済学部4年）。
ちなみに、二人の小さい時の夢は、
山田さん：歌手になりたかった。
木村さん：セーラームーンになりたかった。

『ピカピカの1年生　将来なりたい職業』ランキングは
男の子
1 ： スポーツ選手
2 ： 警察官
3 ： 運転手・運転士
4 ： 消防士
5 ： 板前・コック・すし職人
6 ： パン・ケーキ・お菓子屋
7 ： 職人
8 ： 学者・大学教授・科学者
9 ： 芸能人・タレント
10 ： TV・アニメキャラクター
女の子
1 ： パン・ケーキ・お菓子屋
2 ： 花屋
3 ： 芸能人・タレント
4 ： 教員
5 ： 看護師
6 ： 保育士
7 ： 医師
8 ： TV・アニメキャラクター
9 ： アイスクリーム屋
10 ： 美容・理容師
※クラレ調べ：将来就きたい職業　男の子　女の子

ちなみにマス北野の夢は、『女の子のパンツ』。（笑）

竹内先生は、娘さんをジャズピアニストにしたいそうで、
ご本人もピアノを始められていますので、娘さんに教えてほしいみたいです。

コマ大：
ダンカン　〆さばアタル　無法松　アル北郷
今回は『ピッカピカのコマ大生 子供の頃
　「なりたかった職業（※１）」「なれなかった理由（※２）」』。
アタル：　１、プロ野球選手　２、姉より投げるボールが遅かった
無法松：　１、酔拳の達人　２、まだ未成年だった
北郷：　１、パイロット　２、親父に「お前、万年筆になってどうするんだ？」と言われ
　この親からはパイロットになれないと悟った。（笑）

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問題：
下の図はある立体の展開図です。
この立体の面は、A,B,C,Dの4種類からなります。
　A：正三角形
　B：1辺の長さが、Aの1辺の長さと同じ正方形
　C：Aを３つくっつけた等脚台形
　D:1辺の長さが、Aの1辺の2倍の正三角形
Bの面積が72cm²のとき、立体の体積を求めなさい。


この問題は、インターネットの『ピカピカ☆算数』からの問題。正解率は57％。
算数限界編　問５ （１９９９年５月２２日出題　１９９９年７月２２日終了）

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コマ大数学研究会の挑戦：

今回はスタジオ内？（会議室？）収録。

コマ大の作戦は、アクリル板・厚紙・紙粘土・竹ひごで、
コマ大生がそれぞれ、問題の展開図からの立体を作る。
出来た立体に水を入れて体積を求める。
ただし、水漏れは厳禁！

それぞれ担当は
無法松 ：紙粘土　薄く延ばした粘土で面を作って組立。→水漏れ
北郷　　：厚紙　展開図通りに切り取り、組み上げた。→水漏れ
ダンカン：竹ひご　竹ひごで辺をつくって組立て、面をラップで作った。→水漏れ
アタル　：アクリル板　展開図通りに切り取り、組み上げた。→成功！


成功したアタルのアクリル製で使った水の量で体積が判明。
検証時間1時間46分。お疲れ様でした。

※このVTRをスタジオで見ることで、マス北野や東大生は
　できる立体のイメージはつかめたんじゃないかな。（ヒントだよね）


タカさんの決め文句
　「Let's　展開図 Part2！」
（ポーズは　コマネチポーズ。股を開いて展開を表現～）

対戦開始！

東大生は問題用紙の展開図を切り取って組み立てる。
マス北野も、展開図を描いてはさみで切ってゆく。
東大生が2セットつくっている。
このことは、体積を考えるのにイイと言う竹内先生。
マス北野はダンカン部長にも手伝わせて立体を作ってゆく。
「雑だな、お前は！」と怒りながらね～　（笑）

両者とも、できた立体を半分に切ったり、組み合わせたりしながら
体積を求めるヒントを見つけてゆく。
そんななか、東大生は正8面体に組み合わせることに成功。

＜東大生プチ情報＞

　（今回はナシ）

TIME UP！！

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解答：　

コマ大チームの解答：
答え、1820cm³

（解説：）
水の量を正確に測りました。

マス北野チームの解答：
答え、864cm³

（解説：）
実際には864と書かれているが、「（ポヌ）　1をかくのを忘れました」。
「（マス北野）　ポヌさん、うそをつくんじゃない」。　（笑）
マス北野の考えは
立体を2分割したうちの１つは、正8面体の半分。
もう一方は、下面が六角形になってる六角錐で、
その上を切ろうとしたが、体積を求める時間がなかった。

東大生チームの解答：
答え、二つに分けて、大きい方は1辺12√2の正八面体ｘ1/2 = 1152cm³
　それに小さい方を足すと答えが出ます。

（解説：）
ということで、時間切れ。
やり方としては、できた立体を半分に切って、（2セット作ったので）
大きい同士をくっつけたら、正八面体になった。
小さい方は、わかりませんでした。

正解は：
　1872cm³
ということで、
全員不正解！


だけど、一番近いのはコマ大生！

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美しき数学の時間　（先生の解説）

考え方：

作戦
１、上下に分割する　（断面は正六角形）
２、展開図から正四面体っほいので、大きな正四面体に埋め込んでみる
（２’、上下とも2倍して大きな立方体に埋め込んでみる）



これを、上だけ２つ合わせてみると、（断面は正六角形）


立方体から角の三角錐を8個引いた形になっている。
（立方体-三角錐ｘ8）÷２＝（12³-（6ｘ6÷2ｘ6÷3）ｘ8）÷2＝720

下だけ２つ合わせてみると、（断面は正六角形）


正八面体の半分＝四角錐
12√2ｘ12√2ｘ12÷3＝1152

合計、720+1152＝1852

・別解

下の部分：

下の部分をさかさまにして、正四面体（三角錐）を３つ、くっつけてみる。

すると、正四面体（三角錐）の一部分になる。
小さい正四面体の体積がわかれば、これが何個分あるかと考えることができる。

ここから下の部分の体積を求めてゆく。
問題文の正方形Bの面積は
1辺の長さを a とすると、 a = 6√2 ｃｍ

展開図の正三角形Aの1辺が a = 6√2 ｃｍ　なので
その面積は、1/2 x a x (√3/2)a = (√3/4) a²

ここから小さい正四面体の体積は、（高さ（ｈ）＝√（2/3）a )
(√3/4) a² x √（2/3）a = √2/12 a³ = 72cm³

大きな正四面体の1辺は、３a　なので、
大きな正四面体は、求めた小さい正四面体が３の３乗で27個分。
そのうち、上の1辺=２a　の正四面体は、
求めた小さい正四面体、2の３乗で、8個分。

だから、求める立体の下の部分は、
大きな正四面体 - 小さい正四面体 ｘ ( 8 + 3 )
＝　( 27 - 11 ) x 72cm³
＝　1152cm³　　　（←この値までは、東大生ができてた）

上の部分：


半分に切った立体を重ねてみる。

すると、上の部分は、
下の部分から３つの角（ピラミッド・四角錐）を切り落としたもの。

ピラミッド（四角錐）の体積は、
１辺＝a、 高さ= a/√2 なので、 √2 /6 x a³ = 144 cm³
つまり、ピラミッド＝２ｘ小さい三角錐

下の部分は正四面体１６個分、角の部分は2ｘ3=６個分なので、
ゆえに、（16-6）ｘ72　＝　10ｘ72　＝　720cm³

合計して、1152+720＝1872cm³　（正四面体ｘ26個分）

本日のちょっといい話？

ここでクイズ。

なんの展開図？

マス北野が言ってたように、まともに「立方体」という答えではなかった。






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コマ大フィールズ賞：

今回は、２週連続で
　コマ大チームに！

おおお！竹内先生からもコマ大に！！

エンディングテーマが新しくなりました。
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★あとがき　

次回は「久々水着ギャルでウキウキ検証！？」。

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講師：竹内薫
（科学作家　東大理学部物理学科卒）
竹内先生のOfficial Site 　http://kaoru.to/
薫日記（ブログ） 　http://kaoru.txt-nifty.com/diary/

解答者：
マス北野
ポヌさん　（ベナン出身・東大大学院生・マス北野の助っ人・ゾマホンの友人）

東大・花の東大シスターズ：木村美紀（大学院4年生）、山田茜（経済学部4年）
木村美紀 AMUSE所属　Blog「木村美紀の七変化」

コマネチ大学生：
ダンカン　〆さばアタル　無法松　アル北郷

2011/5/23 深夜OA

コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
ガスコン研究所 ■コマネチ大学2006年度講義リスト（#１～42・マス1グランプリ含）
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