（旧名称・たけしのコマネチ大学数学科）
フジテレビ 2010年5月10日 深夜OA
今回のテーマは、
「フェルマー素数」
- 一挙に１６本収録！
数独大会に出てる松江さんが懐かしい！！ - たけしのコマ大数学科
DVD-BOX 第6期
- ￥7,140
- Amazon.co.jp
- 2010年3月17日発売。
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フェルマーの最終定理。フェルマーの原理。フェルマーの小定理などなど。
数学史に数々の名を残すフランスの数学者、ピエール・ド・フェルマー。
そおっす。今日は、素数に挑戦です。
（戸部アナ）
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今回の東大生は、
花の東大シスターズ：木村美紀さん（大学院3年生）と山田茜（経済学部3年）さん。
素数がテーマということで、それぞれこだわりの数字を発表。
山田さん：16がラッキーナンバー
受験番号を四則演算すると16になったりすると彼女にはラッキーのようで。
東大受験番号もどうにかして１６に出来たそうです。
木村さん：100がラッキーナンバー
1日に腰振りエクササイズをやっている回数なのだとか。
もともと100点の100が好き。
マス北野：1729。
ネイピア数やπも好きだが、数学者ラマヌジャンの逸話で、
『英国の数学者が「乗ってきたタクシーのナンバーがつまらない数だ」と言ったので、
ラマヌジャンがその数は３乗を二つ足した数の組み合わせを２通り持ってる数で
一番小さい数だと即座に話した』というのがあり、
マス北野はその数1729が好きだという。 （タクシー数）
1729 = 123+13、103+93
マス北野は車の番号にしようといってました。それにしても、ラマヌジャン恐るべしです。
コマ大：
ダンカン 〆さばアタル お宮の松 アル北郷
『素数語呂合わせ』
兄さん(2)(3)５(5)時にセブン(7)イレブン(11)
父さん(13)いいな(17)とついていく
兄さん(23)肉(29)裂い(31)て みんな(37)で食べたら ４１(41)円予算(43)がない
しな(47)った顔でゴミ(53)拾い ゴク(59)っと六井(61)が むな(67)しく泣い(71)た
ナミ(73)が泣く(79)泣く破産(83)した 白紙(89)に戻した宮内(97)庁
さて本題。
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問題：
線分CDを1辺とする正五角形ABCDEの頂点Aの位置を作図しなさい。
１辺CDが描かれている状態から、定規コンパスを使って
Aの位置を作図で求める問題。
コマ大の検証：
『一流の男は道具にもこだわる』
番組の作家・安達元一（視聴率200%男）の場合、
1本8400円のエルメス製鉛筆。
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※モバイル非対応
ということで、いい男のたしなみが足らないと気づいたコマ大は道具にこだわる。
やってきたのは、武田製図機械製作所（墨田区）
さっそく最高級のコンパスを求めて社内にお邪魔したコマ大。
出迎えてくれたのが武田伸夫さん。
あたりに並んでる製品には、海図用のデバイダーとかありました。
（この会社の製品は結構面白い⇒製品紹介
一番高いコンパスとして、まず紹介されたのが
「双曲線コンパス」
同時に二重丸を書くことが出来る。お値段は￥１3335！
武田さんから、コンパスのドイツ式とイギリス式の違いの説明。
日本ではドイツ式が主流で、さらにいろんな機構がついている。
オーソドックスな洗練デザインのイギリス式コンパスのお値段は￥3675.
様々な機能を備えるドイツ式コンパスのお値段は￥4358。
道具の違いを知るコマ大。
（なんだか、タモリ倶楽部みたいだなぁ）
さらに、紐や定規に針と鉛筆の芯がついて、大きな円を描くことが出来る
「ビームコンパス」 お値段は￥7875．
で、極上のコンパス探しから、コマ大に勧めてくれたのは、
「どうしますか？鉛筆がいいですか？シャープがいいですか？」
オススメはシャープということで、線幅も「通は・・７ですね」ということで、
「大コンパス（0.7mmシャープ式）」を採用。（￥4200）
「このあとスタジオで作図に挑戦」って！！
ああ！ 先週放送分の2010角形で時間がなくなったのかな？
スタジオでは、コンパスの針の穴あき防止や、
中心からずれないように使う小さい下敷き器具=中心器も紹介されて、
これも使うようです。
ボケながらも「文房具、いいよなぁ」と興味津々のマス北野。
タカさんの決め文句
「レッツ フェルマー素数！」
対戦開始！
東大生に比べて、どんどんいろんな幅でコンパスを使うマス北野。
マス北野は鼻歌交じりでノリノリであります。
そして「出来上がった」と、紙にA点を書き込んだ！！
「えーっ」と東大生の悲しい声。
「いいなぁ。われながら感動するな。黄金分割だよ」とご満悦のマス北野。
「あっ 思い出した」と山田さん。
正五角形のいろんな長さがどうなってるか調べて模索する東大生。
コマ大はコンパスで模様を描いてる・・が、
最後の手段は、コンパス二刀流！（笑）
＜東大生プチ情報＞
（今回はナシ）
TIME UP！！
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全員の解答：
コマ大の解答
答え、
（解説：）
点C,Dから半径CDの円を描いて、その二つの交点を結んで、
線分CDの垂直二等分線を引く。
この線上にAがあるはずだと、B,Eから線分CD分の場所にAをとった。
でも出来た形は見るからに縦長のいびつな形でした。
マス北野チームの解答
答え、
（解説：）
線分CDを１とすると、正五角形の対角線=（√5+1）/2を作ればAが求まる。
まず、CDのD側に線を１だけ延ばしたところ（F）から垂線をひく。
この垂線の長さ１のところ（G）とCを結ぶと、
出来た△CFGの辺の比は、１：２：√５になる。
線分CGをG側に長さ１伸ばし（H)、√5+1の長さをつくる。
線分CHを二等分した点Iをつくると、線分CIが（√5+1）/2 = 対角線の長さとなる。
点C、Dから、CIの長さで等距離の点を取れば、これが点A。
東大生チームの解答
答え、
（解説：）
正五角形の内角は108°
なので△ABCの内角はそれぞれ36°36°108°
ACの長さは、cos36°の２倍 = （√5+1）/2
この（√5+1）/2を作れれば、CDからコンパスを使ってAが求められる。
平方根の部分を作図しようと思ったが…ちょっと苦戦した。
けどなんとか長さをもとめて…
（ここの説明は割愛）
正解は：
コマ大は運がよければ。マス北野は完全にOK。
東大生は平方根を作るところで、当人が気づいてない部分に答えが…。
ということで、マス北野チームが正解。
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美しき数学の時間 （先生の解説）
考え方：
鍵はCAを作図できるかということ。
*Aが求まればよい
*対象性からAはCDの垂直二等分線上
*AC = （√5+1）/2 (=AD) （※１）
*上の図（右）のようにして√5/2は作図できる。
※１：
正五角形の1つの内角は108°
△ABCはAB = BC = 1の二等辺三角形
⇒∠BAC = ∠BCA = 36°
同様にして、△ABEで ∠ABE = ∠AEB = 36°
⇒∠AFB = 108°
∠CBF = 108°- 36°= 72°、∠CFB = 180°- 108°= 72°
⇒CB = CF = １
よってAC = χとすると、AF = χ - 1
△ABC∽△AFBなので
AB：AC = AF：AB ⇒ １：χ = χ - 1：1
⇒ χ（χ-1） = 1
⇒ χ2 - χ - 1 = 0
⇒ χ= （1±√5）/2
χ＞0なので、χ= （1+√5）/2
（√5+1）/2を作るのに、1/2はCDを2等分すればいいし、
これに足す√5/2をどうやって作るかである。
先生がタンザニア製の黒板用大型コンパスで作図。（笑）
ステップ1：CDの垂直2等分線を作図。
ステップ２：垂直二等分線上に長さ１をとる（F）。（上図の1/2：1：√5/2の△を作るため）
ステップ３：CFを結ぶと、三平方の定理よりCFの長さが√5/2。
ステップ４：CFの先に、CDを2等分してできた1/2の長さで伸ばす。（G）
ステップ５：あとは、Cを中心にCGの半径で描いた円と、
CDの垂直2等分線（青）の交点が、求めるAである。
長さ１をCDでとって、
CとAから１の点=B、DとAから長さ１の点=Eと求まり、
正五角形が作図できる。
コンパスと定規で作図できる正ｎ角形
ということで、正五角形はコンパスと定規で作図できることが分かった。
しかし、どんな正多角形も出来るかといえばそうではない。
ｎ＝2ｍ・ｐ1・…・ｐｋ
と書けるときだけ出来るとガウスが示した。
ただし、ｐ1・…・ｐｋは相違なるフェルマー素数。
ｐ = フェルマー素数のとき、
複素数平面上で、χｐ = 0の解を作図できる、
フェルマー素数とは、2a + 1の形の素数。
素数のなるのは、aに奇数の約数がないとき。
すなわち、フェルマー素数は、
22ｂ + 1の形の素数。
（完全数の形に似ているというマス北野）
コンパスと定規で作図可能な正ｎ角形。番組では表で示された。
| 正三角形 | ||||
| 正五角形 | ||||
| 正17角形 | ||||
| 正257角形 作図法：リシュロ（1832年） | ||||
| 正65537角形 作図法：エルメ | ||||
| = 641 × 6700417 （素数ではない） | ||||
ｂ = ４から先の、5番目のフェルマー素数は見つかっていない
ということも書いてありました。
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コマ大フィールズ賞：
お見事で言葉もありません。ということで、
マス北野チームに！！
エンディングテーマが新しくなりました。
【エンディング曲】
「スキャットマン(ぴーぱっぱぱらっぽっぴっぽー)」
/Mark Oh feat.Scatman John
￥600 Amazon.co.jp
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★あとがき
今回の「コマ大のつぶやき」
GWも終わりましたが…
戸部さんから。
「皆さんGWは楽しみましたか？
ちょっと疲れちゃったっていう方は
私の笑顔で癒されてくださいね」
木村さんから。
「わたくし薬膳鍋をプロデュースすることになりました！
おうちで簡単に作れる薬膳鍋セット、是非お召し上がりください！」
木村美紀プロデュース『おうちで本格薬膳鍋』
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次回は「ついに大型タイアップ実現！憧れのハワイへ！？」。
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講師：中村亨
（1963年生まれ。東京大学大学院理学系研究科数学専攻修了、理学修士。）
著書：数学21世紀の7大難問 中村 亨 など
学研の参考書・辞典【コラム】中村あきら先生のマスマス数学
解答者：
マス北野
ポヌさん （ベナン出身・東大大学院生・マス北野の助っ人・ゾマホンの友人）
東大・花の東大シスターズ：木村美紀（大学院3年生）、山田茜（経済学部3年）
木村美紀 AMUSE所属 Profile Blog「木村美紀の七変化」
コマネチ大学生：
ダンカン 〆さばアタル お宮の松 アル北郷
2010/5/10 深夜OA
コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
ガスコン研究所 ■コマネチ大学2006年度講義リスト（#１～42・マス1グランプリ含）
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ブログでドラマや音楽番組の記事を書いているので
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みなさんも自分のブログに貼りたいなぁと思いましたら
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