（旧名称・たけしのコマネチ大学数学科）
フジテレビ 2008年5月29日 深夜OA
今回のテーマは、
「ペル方程式」
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DVDBOX 1 
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特別集中講座 ビートたけし 
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脳が目覚める 竹内薫 中村亨 
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そういえば、昔私が飼っていた犬の名前は、ポチでした。
あんまり私に懐いてくれませんでした。
そんなワンちゃん大好き、戸部洋子です。
（戸部アナ）
-- ランキング参加してます。１回押してくれると嬉しいです
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番組は、東大理Ⅲチーム：衛藤樹さん、伊藤理恵さんへ、
問題は簡単ではないかと、タカさんがお伺い。
笑いながら首を横に振る秒殺シスターズ。
コマ大：
ダンカン部長 〆サバアタル お宮の松 アル北郷
今回は、マス北野、お忍びレポート。（玉川おんせん編）
＊深夜の侵入男（お宮の松）：ダイエットだと出されたカップラーメンを断った
マス北野が、夜中にこっそり入ってきて、パンを咥えていたという話。
＊ビッグママ登場（アタル）：食事中に入ってきた湯治客のおばちゃんたち。
食事中に失礼じゃないかと断ると、そのおばちゃんは、星野仙一の母だった！
ちなみにマス北野は、今回もポヌさんとチームを組む。
さて本題。
先生から。
一人入って、大きな正方形にする、と言う問題です。
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Q：
正方形に同じ人数並んだ兵士の軍団が６０あります。
王様が1人加わって正方形に並び、隠すとき
全体で何人になるでしょう？
コマ大の検証：
今回は軍団と言うことで、先にいろんな軍団の顔をかいた、
大量のマッチ棒を用意して、それを海辺の砂浜に並べて立てて検証。
そして、検証している場所まで汐が満ちてきたら終了というダンドリ。
ちなみに、王様は吉田P。結局正方形ができなかったので、
続きはスタジオで再チャレンジとなった。
タカさんの決め文句！
Docendo discimus！ （教えることによって学ぶ）
対戦開始！
先生から。
まず、方程式を立てるところから。その立てた方程式を秒殺で解くか、
永遠に時間がかかるか、どちらかだという。
（なにか一発で答えにたどり着く解法があるようだ。）
学校では教わらない式と言う先生。
入り口を間違えると迷宮に入ってしまうようだ。
マス北野はいきなり方程式から答えを出してしまっていた。
別の解き方を模索するマス北野。
東大生は式を立てたが、その先、なかなか進めない。
何とか解き始めたが・・。苦戦。
コマ大は、実際にマッチ棒を並べ始めて・・。間に合うのか？
そしてあっという間に5分前。
＜東大生プチ情報＞
今回は、ストレス発散法。
衛藤樹さん：一人でアイスを何種類も買ってきて、アイスクリームパーティー。
週に２・３回やっているそうだ。
伊藤理恵さん：エセブ（エセ、セレブ）会。仲のいい友達と、銀座に行って、
お茶したりして、セレブの気分を味わうそうだ。
TIME UP！！
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の世界 竹内 薫 
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黒い仮説 竹内 薫 
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竹内 薫 
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竹内 薫 
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北野 宏明 
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徳永 太 
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竹内 薫 
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公式副読本 16歳の教科書 ~なぜ学び、 なにを学ぶのか~ 7人の特別講義 プロジェクト 
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Ａ：
コマネチ大学生の解答
答え、マッチ棒で大きなハテナマーク （時間切れ・降参） //
解説：
・・・・・・・・・・・・
マス北野の解答
答え、961人 //
解説：（マス北野）
方程式は、60 × X^2 + 1 = Y^2
（X：小さい正方形の一辺の人数 Y：大きい正方形の一辺の人数）
Xに4をいれると、９６１=Y^2になって、これはY=31。
ここでマス北野は、Y^2の末尾が１になることから、
Yの末尾が１か９になると気づいた。
なので、これを元に、末尾が１となるYで、もっと大きい数字を探したが、
時間切れで、３１の次が見つからなかった。
東大生の解答
答え、961人 //
解説：
（伊藤理恵さん）
マス北野と同じ方程式は、60 × X^2 + 1 = Y^2 をたてて解いた。
式を変形して、 （Y－１）（Y＋１）＝60 × X^2
Y－１を２ｍとおいて、m(m+1)=15*X^2
Xを２ｎとおいて、m(m+1)=60*n^2
までやって、ここから計算に入ったがうまく進めず・・。
しかたなく、ゴリゴリ数字を当てはめてやってみて、
当てはまった答えが、n=2のときだけだった。
（衛藤樹さん）
他の方法も試して、それがmod10で考えたやり方。
60 × X^2 + 1 が、１(mod10)。
Y^2 が、１(mod10)。
ということで、Yは、±１(mod10)。（←つまり1の位が１ということだな）
こっちもそのあとうまくいかずに、代入してゴリゴリ解いた。
正解は、961人。
正解者はマス北野と東大生！
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美しき数学の時間 （先生の解説）
考え方：
今回の問題、方程式は、マス北野と同じ 60 × X^2 + 1 = Y^2
このように、 a * X^2 + 1 = Y^2 （a：任意の数） の形をしている式を
ペル方程式と言う。
この名前の、ジョン・ペル（1611～1685・イギリスの数学者）は、
この式と何の関係もないのだという。
オイラーがこの式をペルが研究したものと勘違いしたことから、
この式がペル方程式と呼ばれるようになった。
ペル方程式の一般的な解法は、西洋ではウィリアム・ブランカーが発見。
１７66年、オイラーのアイディアを発展させたかたちで、ラグランジュが
D * X^2 + 1 = Y^2 の解は、√D を、連分数で表すと、
そこに解がある。と言うことを証明した。
前に、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン（1887～1920・インドの天才数学者）の
話が出てきたときに、紹介されたものが連分数でした。
今回の問題に当てはめると、
√60
= 7.74597 （5桁で丸め）
= 7 + 0.74597 （←整数分離）
= 7 + 1 / ( 1 + 0.34054 ) （←小数部の逆数をとり、分母で整数分離）
= 7 + 1 / ( 1 + ( 1 / 2 + 0.93651 ) ) （←同様の作業）
：
：
このように連分数をとってゆくと、√60の連分数の整数部分が、
7, 1, 2, 1,14, 1, 2, 1, 14,・・・・と並び、７のあと、1, 2, 1,14,が繰り返す。
で、繰り返しの最後の１４の前まで、つまり、7, 1, 2, 1までで、
連分数をあつかうと、7+(1/(1+(1/(2+1))))となって、
7+（1/(1+1/3)） = 7 + 3/4 = 31/4 となり、分子がY、分母がX の解になる。
これを知っていれば、連分数を書くことによって、すぐに解けた問題だった。
これを知らなければ、順に数を代入して解くしかないという。
じつは、ピエール・フェルマー（1607～1665・フランスの数学者）が、
今回の６０にあたるDの値を６１にする意地悪な問題を出した。
この解は、X=22615398 Y=1766319049 と、たちまち大きくなってしまう。
30億の10億倍の兵士の数だそうだ。
ところが、D=６２だと、X=8 Y=63 で 3969人で済んでしまう。
マス北野は、大きい解を求めに行ったが、
そのためにはと、先生が解説したのが、これ。
Xi Yi がペル方程式の解ならば、
（√D * Xi + Yi )^n = √D * Xn + Yn
となる、Xn 、 Yn も解。
∵(√D * Xi + Yi )^n * ( - √D * Xi + Yi )^n = 1^n
ｎ=1 のときは、( x , y ) = ( 4 , 31 ) で、 Y^2 = 961人
ｎ=2 のときは、（√60 * 4 + 31 )^2 = 248√60 + 1921
( x , y ) = ( 248 , 1921 ) で、 Y^2 = 3,690,241人
ｎ=3 のときは、（√60 * 4 + 31 )^3 = 15372√60 + 119091
( x , y ) = ( 15372 , 119091 ) で、 Y^2 = 14,177,903,041人
と、同様に n を増やして続けても、全て解となる。
マス北野のやり方で、末尾１で追っかけると、1921までやらなければ、
次の解に到達しなかったのである。
「それは無理だ・・・」と呟くマス北野。
末尾１に注目したのは良かったけれど、時間があればの話。
ただ、1つの解の上にさらに解があることに気づいたことは評価された。
さらにペル方程式の解説。
これは、インドで盛んに研究されたのだという。
628年、ブラーマグプタがペル方程式の研究を始めて、
いろんな解をたくさん求める研究をしたそうだ。
1150年頃に、バースカラ2世が研究。
14世紀に、ナーラーヤナが研究。
と、インドで研究は尽くされていた。
それから1000年、ヨーロッパの数学者はまったく気づかず時は過ぎ、
フェルマーが数学者に対してペル方程式の挑戦状を出したことでお披露目。
1658年、ラーンが本を出版した時に、本の編集をペルが助けた。
これをオイラーが、ペルがこの研究をしていたと思い込んで、
ペル方程式と名付けた。
今となっては、本来、ブラーマグプタ方程式と言った方が
いいのではないかという先生。
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今週のフィールド賞：
最初の解を秒殺で解いてしまったと言うことで、
今回は、 マス北野チームに！！
エンディングテーマが新しくなりました。
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★あとがき
こういうセンスを問う問題が、秒殺シスターズ相手にはいいのかも。
-- ランキング参加してます。ここを１回押してくれると嬉しいです
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講師：竹内薫
（科学作家 東大理学部物理学科卒）
竹内先生のOfficial Site http://kaoru.to/
薫日記（ブログ） http://kaoru.txt-nifty.com/diary/
解答者：
マス北野
ポヌさん （ベナン出身・マス北野の助っ人・ゾマホンの友人）
東大理Ⅲチーム：衛藤樹（３年生）、伊藤理恵（３年生）
コマネチ大学生
ダンカン部長 〆サバアタル お宮の松 アル北郷
2008/05/29 深夜OA
コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
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