コマネチ大学 #51 | シャブリの気になったもの

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コマネチ大学 #51
たけしのコマネチ大学数学科#51  2007/06/28 深夜OA


今回のテーマは、
「ファニャーノ」

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イタリアの数学者ファニャーノ!と言う事で,とても可愛らしい名前ですが、
どうして、今日も、ハードな問題らしいです。皆さん頑張ってください。
 (猫耳の戸部アナ)

今のブログの順位は・・・こんな感じ

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タカさんから・・
今夜は、楽屋でファニャーノの練習をしていた戸部アナに、
タカさんの決め台詞をやってもらうことに・・
 
先生のファニャーノさわり
ファニャーノは独学で数学の勉強をしたらしい謎の数学者。
今日の問題は、彼が作った問題。
 
コマ大から・・
今回は〆さばアタルの代わりにグレート義太夫。
その義太夫から、東大生に「数学早口ことば」を出題。
『赤巻フィボナッチ、青巻フィボナッチ、黄巻フィボナッチ』x3
木村さんが頑張るも、判定は×。コマ大が万歳三唱していると、
マス北野から「日テレのセコイ番組じゃねーぞ」とツッコミ。
 
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Q:
△ABCの3辺に点DEFをとり、△DEFを作ります。
この時△DEFの3辺の長さが最小になる3点D、E、Fを作図しなさい。


コマネチ大学#51-1 (問題)
(中村 義作, "パズルでひらめく補助線の幾何学 魔法の補助線を見つけよう",
 講談社, ブルーバックス より。)

パズルでひらめく 補助線の幾何学/中村 義作
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先生から補足:三角形は鋭角三角形に限定。
(一つの書くが、全て90度より小さい角(鋭角)である三角形。)
 
コマ大の検証:
 
今日はピンチ!〆さばアタルがいない!そこでグレート義太夫登場。
しかし、体力勝負の検証なので、ケンタエリザベス3世に入ってもらった。
方法は鉄棒を3つ三角形に配置し、それぞれの辺に人がぶら下がり、
3人を結ぶロープの長さを測るというもの。ダンカン部長は総指揮。
義太夫副部長は計測、無法松、ケンタ、ガンビーノ小林がぶら下がる。
1回目は各辺の中点に3人をぶら下げて測定。
そこから1人を固定し2人を移動、測定。が、1回目より長い。
一時間経過後、ビリヤードのように入射/反射角が同じになるようにすれば
いいのではないか・・と言う事で試すも、最小記録を上回ってしまう。
と言う事で、7回目に試した最小パターンを答えとした。
検証時間:2時間49分。お疲れ様でした。
 
東大生はイケメンのケンタがカッコよく見えるようで・・・
 
 
今回は戸部ちゃんの決め台詞で!
It's Math Time !!
 
 
竹内先生のポイント:
最初に思いつくのは、3辺の中点。が、答えはそれよりも短くなる。
もう一つの特殊な三角形に注目したい。
コマ大がやっていたビリヤードの入射/反射角は、いいヒントになる。
 

東大生は、1点を決めて、そこからのバリエーションで最小を求める。
 
マス北野は、三角形の中心から外に、コンパスで点を決めていっている。
 先生は、いい感じの形が書けていると言っている。
 
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作:三又又三(オフィス北野)
 
出演:三又又三,RAMJA(アービング),
    グレート義太夫(オフィス北野),島根さだよし(トライベッカ),
    お宮の松(オフィス北野),大原かおり(フィットワン),
    松丘慎吾(SMA NEET Project),ジョージマン北(吉本興業),
    川本俊一(クリアアップ),原田豪紀(クリアアップ),
    山岸門人,本郷小次郎,上田星来,坂口桃子,桜井康博,
    高橋史后,平井夏貴,松田陽子

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A:
コマネチ大学生の解答

コマネチ大学#51-2 (コマ大)
ACが一番短い辺なので、そこに中点をとる。
他の2点を、ACに近いところでとると、最小になった。
 
 
マス北野の解答
 
コマネチ大学#51-3 (マス北野)  
①まず垂線を下ろした足同士で、青色の三角形ができる。
 この線分を何とか直線で表わしたい。
②反射(鏡像)を考えて、点DをAB、ACに対し外に出してみる。
 (その点を、D'、D"とする。)
D'D"を直線で結ぶと、さっきの正三角形から、より直線的な長さが
 求められ、AB、ACとの交点をそれぞれE,Fとした。
 
東大生の解答

 
△DEFの3点が直線になる方法を考えた。
コマネチ大学#51-4 (東大1)  
ACを軸として鏡像になる三角形△ACB'をとり、
さらにBCを軸とした鏡像になる三角形△BCA'をとる。
点Fを固定した場合、最短距離は直線F'F"

なので、線分BC、ACとの交点をそれぞれ点D、Eとすればよい。
 
だが、これでは点Fが任意の点とはならないので、
今度は点Eを固定して同様な検証を行う。
コマネチ大学#51-5 (東大2)  
このように3点を固定してみた時に最小になるのは、
△ABCの各頂点から垂線をおろした足が、点D,E,Fになる時だった。
 

答え↓
コマネチ大学#51-6 (東大3)

 
 

正解は、東大生!!!

 

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美しい数学の世界 (先生の解説)



コマネチ大学#51-7 (竹内1)  
①適当に点D,E,Fを取ります。
②点Dの対辺の鏡像点(対称点)、D’、D”を取ります。
③すると、△DEFの周の長さは、線D’FED”に変換されます。
  (D’F+FE+ED”
④と、言う事は、点D’、F、E、D”が直線に並べばいいわけです。
 つまり、直線D'D"と辺AC、ABの交点が、点E、Fになればいいのです。
⑤ここで、点Dも動けるので、Dの位置をどう決めるのかがポイント。


コマネチ大学#51-8 (竹内2)
⑥△AD'D"に注目すると、AD"=AD=AD'で、△AD'D"は二等辺三角形。
 ∠BAD=∠BAD'、∠CAD=∠CAD"なので、∠D'AD"は∠BACの2倍。

⑦二等辺三角形△AD'D"を考えてみると、
コマネチ大学#51-9 (竹内3)
 ∠PAD’、∠PAD"は、元の三角形の∠BACと同じ。
 なぜなら、垂線APは∠D'AD"を2等分しているからであり、
 ∠D'AD"は∠BACの2倍の角度だからである。
⑧D'D"の長さを最小にする為にはどうすればいいか。
 ∠D'AD"は、点Dがどの位置にあっても同じ角度なので、
 AD'、AD"の長さが短くなればよい。
⑨つまり、元の△ABCのADの長さg一番短ければよい。
 それは、ADが垂線になるところなので、点Dは頂点Aからの垂線の足
 ということになる。
 同様に対称性により、点Eは頂点Bからの垂線の足。
 点Fは頂点Cからおろした垂線の足、と言う事になる。
コマネチ大学#51-6 (東大3)

これが正解↑
 
 
<ファニャーノ>
 
~ファニャーノって誰?~
 ファニャーノの問題を考えついた人として、
 I.F.ファニャーノ、あるいは、ジョヴァンニ・ファニャーノとも書いてある。
 名前がたくさんあり、誰がホントに書いたのか確定はできないが・・
 
Giulio Carlo Fagnano (1682-1766)としては、
イタリア中部生まれの貴族らしい。祖先にはローマ教皇・オノリウス3世
(第5回十字軍遠征)もいるらしい。
業績としては、
*2,3,4次方程式、
*ニコラ・ベルヌーイ1世と数学で争う
  (レムニスケートのことかな?・by Chablis)
*肩書
 ロンドン王立協会会員
 ベルリン科学アカデミー会員
 パリ科学アカデミー会員(直前に死去)
 
文献が少なく、業績のワリには謎の多い数学者。
 
なので・・・
 
竹内先生から、
「情報をおまちしておりま~す!」とのこと。
 
『ファニャーノ情報をお持ちの方は、番組までご一報下さい。』 (テロップ)
 
竹内先生のOfficial Site Link 
 
 
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今週のフィールド賞:東大生チーム
キチンと正解をだしたので・・


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★あとがき


いやぁ、どこまで書こうか正直困った。 
「ファニャーノ」、深く調べると、イタリア語を読む羽目になるので、
このくらいでやめておいた。
久しぶりに歴史を紐解く感じで楽しめたのかな~?
レムニスケートの問題だったら、オイラーとか、ベルヌーイとかと絡めて、
話が膨らんだのでしょうか・・・


ファニャーノ情報をお持ちの方は、番組まで・・・
私は岩瀬健(山P)風に「どんだけ~!」って叫んでしまいました。(笑)
 
ガスコンさん は、今週書かないのかなぁ・・・
 

チョコッと参考資料:
*1682: Birthdate of mathematician Giulio Carlo Fagnano
(直訳)
Giulio Carlo Fagnano:
1682年12月6日、今中央イタリア知られている地域で生まれる。
彼が数学の知識は独学(self-educated)だったが、
Fagnanoはその分野へ複数の重要な貢献をした。
彼はある三角形を含む幾何学の創設者であると考えられている。
Fagnanoは新たに、2、3、および4方程式を解決するための方法を発見し、
ラファエル・ボンベリ(Rafael Bombelli)の仕事に改良する複素数を用いる問題を
解決するための有名な方式を開発した。
彼はまたレムニスケート(lemniscate)(無限大・数学記号にもなっている)
の彼の仕事で定規およびコンパス(compasse)の構造を非常に使用し、
楕円の全体および楕円機能の理解を高めた。
 
*ベルヌーイ(スイスの数学者・科学者一家)
ヤコブ・ベルヌーイ
ヨハン・ベルヌーイ(ヤコブの弟)
ダニエル・ベルヌーイ(ヨハンの息子・物理学者も)
ニコラス・ベルヌーイ (ヨハンの息子)



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講師:竹内薫
(科学作家 東大理学部物理学科卒)
竹内先生のOfficial Site Link 
 

解答者:
マス北野
木村美紀(東京大学薬学部4年)
松江由紀子(東京大学農学部4年)
コマネチ大学生


2007/06/28 深夜OA


コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
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