コマネチ大学 #51
たけしのコマネチ大学数学科#51 2007/06/28 深夜OA
今回のテーマは、
「ファニャーノ」
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イタリアの数学者ファニャーノ！と言う事で,とても可愛らしい名前ですが、
どうして、今日も、ハードな問題らしいです。皆さん頑張ってください。
（猫耳の戸部アナ）
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タカさんから・・
今夜は、楽屋でファニャーノの練習をしていた戸部アナに、
タカさんの決め台詞をやってもらうことに・・
先生のファニャーノさわり
ファニャーノは独学で数学の勉強をしたらしい謎の数学者。
今日の問題は、彼が作った問題。
コマ大から・・
今回は〆さばアタルの代わりにグレート義太夫。
その義太夫から、東大生に「数学早口ことば」を出題。
『赤巻フィボナッチ、青巻フィボナッチ、黄巻フィボナッチ』ｘ３
木村さんが頑張るも、判定は×。コマ大が万歳三唱していると、
マス北野から「日テレのセコイ番組じゃねーぞ」とツッコミ。
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Q：
△ABCの３辺に点DEFをとり、△DEFを作ります。
この時△DEFの３辺の長さが最小になる３点D、E、Fを作図しなさい。
（中村 義作, "パズルでひらめく補助線の幾何学 魔法の補助線を見つけよう",
講談社, ブルーバックス より。）
先生から補足：三角形は鋭角三角形に限定。
（一つの書くが、全て90度より小さい角(鋭角)である三角形。）
コマ大の検証：
今日はピンチ！〆さばアタルがいない！そこでグレート義太夫登場。
しかし、体力勝負の検証なので、ケンタエリザベス3世に入ってもらった。
方法は鉄棒を3つ三角形に配置し、それぞれの辺に人がぶら下がり、
3人を結ぶロープの長さを測るというもの。ダンカン部長は総指揮。
義太夫副部長は計測、無法松、ケンタ、ガンビーノ小林がぶら下がる。
1回目は各辺の中点に3人をぶら下げて測定。
そこから1人を固定し2人を移動、測定。が、1回目より長い。
一時間経過後、ビリヤードのように入射/反射角が同じになるようにすれば
いいのではないか・・と言う事で試すも、最小記録を上回ってしまう。
と言う事で、7回目に試した最小パターンを答えとした。
検証時間：2時間49分。お疲れ様でした。
東大生はイケメンのケンタがカッコよく見えるようで・・・
今回は戸部ちゃんの決め台詞で！
It's Math Time !!
竹内先生のポイント：
最初に思いつくのは、３辺の中点。が、答えはそれよりも短くなる。
もう一つの特殊な三角形に注目したい。
コマ大がやっていたビリヤードの入射/反射角は、いいヒントになる。
東大生は、１点を決めて、そこからのバリエーションで最小を求める。
マス北野は、三角形の中心から外に、コンパスで点を決めていっている。
先生は、いい感じの形が書けていると言っている。
コマ大による 舞台宣伝 （Office Kitano site
）
劇団マッチョドラゴン第2回公演
『Yojiros』（余次郎ス）
７月１０日～１５日 シアターVアカサカ
東京都港区赤坂2-16-9 TEL.03-3583-6040
作：三又又三（オフィス北野）
出演：三又又三，RAMJA（アービング），
グレート義太夫（オフィス北野），島根さだよし（トライベッカ），
お宮の松（オフィス北野），大原かおり（フィットワン），
松丘慎吾（SMA NEET Project），ジョージマン北（吉本興業），
川本俊一（クリアアップ），原田豪紀（クリアアップ），
山岸門人，本郷小次郎，上田星来，坂口桃子，桜井康博，
高橋史后，平井夏貴，松田陽子
料 金：【全席自由・税込】前売4,000円 当日4,500円
【劇団マッチョドラゴン公式HP
】
￥1,000
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Ａ：
コマネチ大学生の解答
ACが一番短い辺なので、そこに中点をとる。
他の２点を、ACに近いところでとると、最小になった。
マス北野の解答
①まず垂線を下ろした足同士で、青色の三角形ができる。
この線分を何とか直線で表わしたい。
②反射（鏡像）を考えて、点DをAB、ACに対し外に出してみる。
（その点を、D'、D"とする。）
③D'D"を直線で結ぶと、さっきの正三角形から、より直線的な長さが
求められ、AB、ACとの交点をそれぞれE,Fとした。
東大生の解答
△DEFの３点が直線になる方法を考えた。
ACを軸として鏡像になる三角形△ACB'をとり、
さらにBCを軸とした鏡像になる三角形△BCA'をとる。
点Fを固定した場合、最短距離は直線F'F"。
なので、線分BC、ACとの交点をそれぞれ点D、Eとすればよい。
だが、これでは点Fが任意の点とはならないので、
今度は点Ｅを固定して同様な検証を行う。
このように３点を固定してみた時に最小になるのは、
△ＡＢＣの各頂点から垂線をおろした足が、点Ｄ，Ｅ，Ｆになる時だった。
答え↓
正解は、東大生！！！
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美しい数学の世界 （先生の解説）
①適当に点Ｄ，Ｅ，Ｆを取ります。
②点Ｄの対辺の鏡像点（対称点）、Ｄ’、Ｄ”を取ります。
③すると、△ＤＥＦの周の長さは、線Ｄ’ＦＥＤ”に変換されます。
（Ｄ’Ｆ+ＦＥ+ＥＤ” ）
④と、言う事は、点Ｄ’、Ｆ、Ｅ、Ｄ”が直線に並べばいいわけです。
つまり、直線D'D"と辺AC、ABの交点が、点E、Fになればいいのです。
⑤ここで、点Dも動けるので、Dの位置をどう決めるのかがポイント。
⑥△AD'D"に注目すると、AD"=AD=AD'で、△AD'D"は二等辺三角形。
∠BAD=∠BAD'、∠CAD=∠CAD"なので、∠D'AD"は∠BACの２倍。
⑦二等辺三角形△AD'D"を考えてみると、
∠PAD’、∠PAD"は、元の三角形の∠BACと同じ。
なぜなら、垂線APは∠D'AD"を2等分しているからであり、
∠D'AD"は∠BACの2倍の角度だからである。
⑧D'D"の長さを最小にする為にはどうすればいいか。
∠D'AD"は、点Dがどの位置にあっても同じ角度なので、
AD'、AD"の長さが短くなればよい。
⑨つまり、元の△ABCのADの長さｇ一番短ければよい。
それは、ADが垂線になるところなので、点Dは頂点Aからの垂線の足
ということになる。
同様に対称性により、点Eは頂点Bからの垂線の足。
点Fは頂点Cからおろした垂線の足、と言う事になる。
これが正解↑
＜ファニャーノ＞
～ファニャーノって誰？～
ファニャーノの問題を考えついた人として、
I.F.ファニャーノ、あるいは、ジョヴァンニ・ファニャーノとも書いてある。
名前がたくさんあり、誰がホントに書いたのか確定はできないが・・
Giulio Carlo Fagnano （1682-1766）としては、
イタリア中部生まれの貴族らしい。祖先にはローマ教皇・オノリウス3世
（第5回十字軍遠征）もいるらしい。
業績としては、
*２，３，４次方程式、
*ニコラ・ベルヌーイ1世と数学で争う
（レムニスケートのことかな？・by Chablis）
*肩書
ロンドン王立協会会員
ベルリン科学アカデミー会員
パリ科学アカデミー会員（直前に死去）
文献が少なく、業績のワリには謎の多い数学者。
なので・・・
竹内先生から、
「情報をおまちしておりま～す！」とのこと。
『ファニャーノ情報をお持ちの方は、番組までご一報下さい。』 （テロップ）
竹内先生のOfficial Site Link
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今週のフィールド賞：東大生チーム
キチンと正解をだしたので・・
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★あとがき
いやぁ、どこまで書こうか正直困った。
「ファニャーノ」、深く調べると、イタリア語を読む羽目になるので、
このくらいでやめておいた。
久しぶりに歴史を紐解く感じで楽しめたのかな～？
レムニスケートの問題だったら、オイラーとか、ベルヌーイとかと絡めて、
話が膨らんだのでしょうか・・・
ファニャーノ情報をお持ちの方は、番組まで・・・
私は岩瀬健（山P）風に「どんだけ～！」って叫んでしまいました。（笑）
ガスコンさん
は、今週書かないのかなぁ・・・
チョコッと参考資料：
*1682: Birthdate of mathematician Giulio Carlo Fagnano
（直訳）
Giulio Carlo Fagnano：
1682年12月6日、今中央イタリア知られている地域で生まれる。
彼が数学の知識は独学（self-educated）だったが、
Fagnanoはその分野へ複数の重要な貢献をした。
彼はある三角形を含む幾何学の創設者であると考えられている。
Fagnanoは新たに、2、3、および4方程式を解決するための方法を発見し、
ラファエル・ボンベリ(Rafael Bombelli)の仕事に改良する複素数を用いる問題を
解決するための有名な方式を開発した。
彼はまたレムニスケート（lemniscate）(無限大・数学記号にもなっている)
の彼の仕事で定規およびコンパス(compasse)の構造を非常に使用し、
楕円の全体および楕円機能の理解を高めた。
*ベルヌーイ（スイスの数学者・科学者一家）
ヤコブ・ベルヌーイ
ヨハン・ベルヌーイ（ヤコブの弟）
ダニエル・ベルヌーイ（ヨハンの息子・物理学者も）
ニコラス・ベルヌーイ （ヨハンの息子）
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講師：竹内薫
（科学作家 東大理学部物理学科卒）
竹内先生のOfficial Site Link
解答者：
マス北野
木村美紀（東京大学薬学部4年）
松江由紀子（東京大学農学部4年）
コマネチ大学生
2007/06/28 深夜OA
コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
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