コマネチ大学 #43
たけしのコマネチ大学#43 2007/05/03 深夜OA
今回のテーマは、
「論理学」
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論理学といえば、大前提、小前提、結論の三段論法が有名ですが、数学では、ど
んな論理があるというのでしょうか。 (戸部アナ)
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冒頭:コマ大サスペンス劇場
このドラマの中で、今回の問題を紹介した。
「番組プロデューサー・吉田宏のおはぎが無くなった事件!!」
名探偵・ダンカンがこの謎に挑む!
容疑者は、〆さばアタル、ガンビーノ小林、無法松の3人。
コマ大から、論理学の歌
♪ロンリーロンリーロンリーロンリーガーク
「ロンリーボーイ ロンリーガール」(1986・ビートたけし)の替え歌。
(ビクターエンタテインメント オリコン最高位:31位 登場回数:5回)
竹内先生の説明
今回は記号論理学について勉強。
記号論理学とは、論理を数学によって研究する学問。数理論理学とも言う。
アリストテレスから始まって、19世紀に入ってブール、ド・モルガン、フレーゲ、
ら、によって、文章を記号にして計算する方法が開発された。
今回の問題は、記号を使わなくても論理的に解けばよいと言う。
タカさんの決め文句は、
It's Math Time !!
(私は、論理記号や法則は、ブール関数として習った。)
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番組プロデューサー・吉田宏のおはぎが無くなった事件!!
ダンカンの推理が条件として提示される。
.
Q:
犯人は一体誰でしょう?
条件1:犯人は1人、犯行場所は1箇所、道具は1つ。
条件2:美術倉庫で行われたならば、ガンビーノ小林がやり、かつフォークで食べた。
条件3:箸で食べたならば〆さばアタルがやり、かつ控え室が使われた。
条件4:ガンビーノ小林が食べたならば、箸で食べた。
条件5:〆さばアタルがやったならば、美術倉庫が使われた。
条件6:無法松がやったならば、手で食べ、地下駐車場が使われた。
条件7:控え室で行われたならば、無法松はやっていない。
竹内先生のポイント:
条件1で、だいぶ絞られるのね楽だろうと言う。
¥1,000 |
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コマ大の検証:
ダンカンが、表を使って論理的に解いた。
マス北野は、表をつかって早くに答えを出していた。
東大生プチ情報 : 初体験について
松江さん・・クラブ。”微生物”と声をかけられた。
3/15/'07 OAを見てくれたんだなぁと、有難かったと言う。
木村さん・・グアムでゴルフ。マス北野と一緒に回りたいと言ったが、拒否される
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A:
3チームとも
答え_無法松
マス北野の解答
矛盾のある条件を消去する、消去法で考え
矛盾しないのは、無法松になった。
東大生の解答
マス北野と同じように消去法で無法松。
その条件にさらに 条件4,5の対偶を取ったものを加えて考えてもみた。
条件2と条件4の対偶が矛盾。
条件3と条件5の対偶が矛盾。
すると、条件6だけが矛盾が無いので、無法松。
正解は、無法松!! 全員正解である。
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美しい数学の世界 (先生の解説)
条件1:犯人は1人、犯行場所は1箇所、道具は1つ。
条件2:美術倉庫で行われたならば、ガンビーノ小林がやり、かつフォークで食べた。
条件3:箸で食べたならば〆さばアタルがやり、かつ控え室が使われた。
条件4:ガンビーノ小林が食べたならば、箸で食べた。
条件5:〆さばアタルがやったならば、美術倉庫が使われた。
条件6:無法松がやったならば、手で食べ、地下駐車場が使われた。
条件7:控え室で行われたならば、無法松はやっていない。
ガンビーノ小林に注目する。
条件4と条件3を見ると、箸で食べた人が2人になってしまい条件1を満たさない。
なので、ガンビーノ小林は犯人じゃない。
〆さばアタルに注目する。
条件5と条件2を見ると、美術倉庫で食べた人が2人になって条件1を満たさない。
なので、〆さばアタルは犯人じゃない。
この時点で無法松なのだが、チェックをしてみる。
条件6と条件7を見ると、矛盾しない。ここで条件7の対偶を取ってみる。すると、
条件6:無法松がやったならば、手で食べ、地下駐車場が使われた。
条件7:無法松がやったならば、控え室で行われなかった。
と矛盾が無いことがわかる。
これが、シャーロックホームズ(コナン・ドイル作)が使った
矛盾が出てきたら消去する、という消去法で、文章から考える方法の例です。
<記号論理学で解く>
文章を記号に置き換える、と言うことをやります。
ガンビーノ小林がやった → G
〆さばアタルがやった → S
無法松がやった → M
.
フォークを使った → F
箸を使った → H
手を使った → T
.
美術倉庫でやった → X
控え室でやった → Y
地下駐車場でやった → Z
.
と置き換えます。
例えば、”ガンビーノ小林がやった” という事を ”G” とするのです。
また否定の、”ガンビーノ小林がやらなかった”は、”~G”と表わします。
ここで論理記号の基本を説明しましょう。
<論理記号の基本> (私の補足付き)
1.否定(NOT) 表記は ”~”を前につける。
Gの否定は、~Gである。
その事柄が真(正しい)である、と言うのを”G”を例に書くと、
GはT(true)である、と表記する。
その事柄が偽(間違っている)である、と言うのを”G”を例に書くと、
GはF(false)である、と表記する。
表にすると、
.
G |~G
-----
T | F (Gが正しければ、~Gは正しくない。まあ当たり前ですが)
F | T (Gが正しくなければ、~Gは正しい。)
.
ということになる。
.
2.または(OR) 表記は、”∨”と書く (下向きにくさびのVの字)
G ∨ H なら、 GまたはH、ということ。
ただし、”または”というのは、この場合GとHが両方”真(True)”であった
場合も、全体として ”真(True)”になるので、日常使っている”または”
と言う言葉とはちょっと違う。
日常使っている言葉の”または(どっちか一方が真)”に相当するのは、
論理では、排他的論理和(XOR)と言い、区別される。
.
3.ならば(If・・Then・・・) 表記は、”⊃”と書く。
例えば、”S⊃X”を考えると、もし”S”が偽(正しくない)であった場合、
”S⊃X”全体としては、”真(正しい)”と定義されるので注意されたい。
つまり、前提条件(この場合”S”)が偽(正しくない)であっても、
命題(”S⊃X”全体として)は、ウソ(偽)とはいえないので、”真(正しい)”
と、言うことである。
.
4.かつ(AND) 表記は、”∧”と書く (上向きにくさびのVの字)
G ∧ H なら、 GかつH、ということ。
GもHも共に”真(True)”でなければ、全体として”真(True)”にならない。
つまり、GもHも共に”真(True)”なら、全体として”真(True)”になる。
.
5.真理値表 (Truth Table)
事象GやHが”真(True)”や”偽(False)”だったときに、
”または(OR)”をとった時や、”ならば(G⊃H)”の結果がどのようになるか
表にしてまとめたもの。先生は事象をP,Qとして書いていた。
.
P | Q |P∨Q|P∧Q|P⊃Q|・・
------------------
T | T | T | T | T |・・・
T | F | T | F | F |・・・
F | T | T | F | T |・・・
F | F | F | F | T |・・・ (条件をすべて網羅する表)
.
そして、今回の問題を真理値表にまとめる。
ただし、条件を記号化してみてから・・
条件2: X⊃(G∧F)
条件3: H⊃(S∧Y)
条件4: G⊃H
条件5: S⊃X
条件6: M⊃(T∧Z)
条件7: Y⊃~M
GSM | FHT | XYZ | |||||||
T T T |
T T T |
T T T |
F F F |
F F F |
|||||
T T T |
T T T |
T T T |
F |
F F F |
F F F |
||||
T T T |
T T T |
T T T |
F |
F F F |
F F F |
||||
T T T |
T T T |
T T T |
F |
F F |
F F F |
||||
T T T |
T T T |
T T T |
F |
F F |
F F |
F F F |
|||
T T T |
T T T |
T T T |
F |
F F |
F F F |
||||
T T T |
T T T |
T T T |
F |
F F F |
F |
F F F |
|||
T T T |
T T T |
T T T |
F |
F F F |
F F F |
F |
F F F |
||
T T T |
T T T |
T T T |
F |
F F |
F |
F F T |
となって、一番右の欄に、横方向にすべての”かつ(AND)”をとったものを書くと、
無法松(M)が、手で(T)、地下駐車場で(Z)食べた、と言うことだけが
”真(True)”になり、犯人は、無法松と言うことがわかる。
竹内先生は、推理小説家でもある。
推移り小説を書く時には、人物設定などでこの表を使うという。
ただ、あまり複雑にすると、誰にもわからなくなってしまうらしい。
マス北野も、映画の人物設定がつじつまが合うように気を使っているが、
この表までは使わないが、頭の中で同じ作業をしているようだ。
ちなみに、電子回路の設計(デジタル製品)には、この真理値表を使う。
同様にプログラムソフトを書いている人にもブール関数は必須である。
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今週のフィールド賞:
東大生
対偶と言う言葉と使っていたので
講師:竹内薫
(科学作家 東大理学部物理学科卒)
解答者:
マス北野
木村美紀(東京大学薬学部3年)
松江由紀子(東京大学農学部3年)
コマネチ大学生
2007/05/03 深夜OA
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