コマネチ大学 #43
たけしのコマネチ大学#43 2007/05/03 深夜OA
今回のテーマは、
「論理学」
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論理学といえば、大前提、小前提、結論の三段論法が有名ですが、数学では、ど
んな論理があるというのでしょうか。 （戸部アナ）
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冒頭：コマ大サスペンス劇場
このドラマの中で、今回の問題を紹介した。
「番組プロデューサー・吉田宏のおはぎが無くなった事件！！」
名探偵・ダンカンがこの謎に挑む！
容疑者は、〆さばアタル、ガンビーノ小林、無法松の3人。
コマ大から、論理学の歌
♪ロンリーロンリーロンリーロンリーガーク
「ロンリーボーイ ロンリーガール」(1986・ビートたけし）の替え歌。
(ビクターエンタテインメント オリコン最高位：31位 登場回数：5回)
竹内先生の説明
今回は記号論理学について勉強。
記号論理学とは、論理を数学によって研究する学問。数理論理学とも言う。
アリストテレスから始まって、19世紀に入ってブール、ド･モルガン、フレーゲ、
ら、によって、文章を記号にして計算する方法が開発された。
今回の問題は、記号を使わなくても論理的に解けばよいと言う。
タカさんの決め文句は、
It's Math Time !!
（私は、論理記号や法則は、ブール関数として習った。）
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番組プロデューサー・吉田宏のおはぎが無くなった事件！！
ダンカンの推理が条件として提示される。
.
Q:
犯人は一体誰でしょう？
条件１：犯人は1人、犯行場所は1箇所、道具は１つ。
条件２：美術倉庫で行われたならば、ｶﾞﾝﾋﾞｰﾉ小林がやり、かつフォークで食べた。
条件３：箸で食べたならば〆さばアタルがやり、かつ控え室が使われた。
条件４：ｶﾞﾝﾋﾞｰﾉ小林が食べたならば、箸で食べた。
条件５：〆さばアタルがやったならば、美術倉庫が使われた。
条件６：無法松がやったならば、手で食べ、地下駐車場が使われた。
条件７：控え室で行われたならば、無法松はやっていない。
竹内先生のポイント：
条件１で、だいぶ絞られるのね楽だろうと言う。
￥1,000 |
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コマ大の検証：
ダンカンが、表を使って論理的に解いた。
マス北野は、表をつかって早くに答えを出していた。
東大生プチ情報 ： 初体験について
松江さん・・クラブ。”微生物”と声をかけられた。
3/15/'07 OAを見てくれたんだなぁと、有難かったと言う。
木村さん・・グアムでゴルフ。マス北野と一緒に回りたいと言ったが、拒否される
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Ａ：
3チームとも
答え＿無法松
マス北野の解答
矛盾のある条件を消去する、消去法で考え
矛盾しないのは、無法松になった。
東大生の解答
マス北野と同じように消去法で無法松。
その条件にさらに 条件４，５の対偶を取ったものを加えて考えてもみた。
条件２と条件４の対偶が矛盾。
条件３と条件５の対偶が矛盾。
すると、条件６だけが矛盾が無いので、無法松。
正解は、無法松！！ 全員正解である。
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美しい数学の世界 （先生の解説）
条件１：犯人は1人、犯行場所は1箇所、道具は１つ。
条件２：美術倉庫で行われたならば、ｶﾞﾝﾋﾞｰﾉ小林がやり、かつフォークで食べた。
条件３：箸で食べたならば〆さばアタルがやり、かつ控え室が使われた。
条件４：ｶﾞﾝﾋﾞｰﾉ小林が食べたならば、箸で食べた。
条件５：〆さばアタルがやったならば、美術倉庫が使われた。
条件６：無法松がやったならば、手で食べ、地下駐車場が使われた。
条件７：控え室で行われたならば、無法松はやっていない。
ｶﾞﾝﾋﾞｰﾉ小林に注目する。
条件４と条件３を見ると、箸で食べた人が２人になってしまい条件１を満たさない。
なので、ｶﾞﾝﾋﾞｰﾉ小林は犯人じゃない。
〆さばアタルに注目する。
条件５と条件２を見ると、美術倉庫で食べた人が２人になって条件１を満たさない。
なので、〆さばアタルは犯人じゃない。
この時点で無法松なのだが、チェックをしてみる。
条件６と条件７を見ると、矛盾しない。ここで条件７の対偶を取ってみる。すると、
条件６：無法松がやったならば、手で食べ、地下駐車場が使われた。
条件７：無法松がやったならば、控え室で行われなかった。
と矛盾が無いことがわかる。
これが、シャーロックホームズ（コナン･ドイル作）が使った
矛盾が出てきたら消去する、という消去法で、文章から考える方法の例です。
<記号論理学で解く>
文章を記号に置き換える、と言うことをやります。
ｶﾞﾝﾋﾞｰﾉ小林がやった → G
〆さばアタルがやった → S
無法松がやった → M
.
フォークを使った → F
箸を使った → H
手を使った → T
.
美術倉庫でやった → X
控え室でやった → Y
地下駐車場でやった → Z
.
と置き換えます。
例えば、”ｶﾞﾝﾋﾞｰﾉ小林がやった” という事を ”G” とするのです。
また否定の、”ｶﾞﾝﾋﾞｰﾉ小林がやらなかった”は、”～G”と表わします。
ここで論理記号の基本を説明しましょう。
<論理記号の基本> （私の補足付き）
１．否定（NOT） 表記は ”～”を前につける。
Gの否定は、～Gである。
その事柄が真（正しい）である、と言うのを”G”を例に書くと、
GはT（true）である、と表記する。
その事柄が偽（間違っている）である、と言うのを”G”を例に書くと、
GはF（false）である、と表記する。
表にすると、
.
G ｜～G
－－－－－
T ｜ F （Gが正しければ、～Gは正しくない。まあ当たり前ですが）
F ｜ T （Gが正しくなければ、～Gは正しい。）
.
ということになる。
.
２．または（OR） 表記は、”∨”と書く （下向きにくさびのVの字）
G ∨ H なら、 GまたはH、ということ。
ただし、”または”というのは、この場合GとHが両方”真（True）”であった
場合も、全体として ”真（True）”になるので、日常使っている”または”
と言う言葉とはちょっと違う。
日常使っている言葉の”または（どっちか一方が真）”に相当するのは、
論理では、排他的論理和（XOR）と言い、区別される。
.
３．ならば（If・・Then・・・） 表記は、”⊃”と書く。
例えば、”S⊃X”を考えると、もし”S”が偽（正しくない）であった場合、
”S⊃X”全体としては、”真（正しい）”と定義されるので注意されたい。
つまり、前提条件（この場合”S”）が偽（正しくない）であっても、
命題（”S⊃X”全体として）は、ウソ（偽）とはいえないので、”真（正しい）”
と、言うことである。
.
４．かつ（AND） 表記は、”∧”と書く （上向きにくさびのVの字）
G ∧ H なら、 GかつH、ということ。
GもHも共に”真（True）”でなければ、全体として”真（True）”にならない。
つまり、GもHも共に”真（True）”なら、全体として”真（True）”になる。
.
５．真理値表 （Truth Table）
事象GやHが”真（True）”や”偽(False)”だったときに、
”または（OR）”をとった時や、”ならば（G⊃H）”の結果がどのようになるか
表にしてまとめたもの。先生は事象をP,Qとして書いていた。
.
P ｜ Q ｜P∨Q｜P∧Q｜P⊃Q｜・・
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
T ｜ T ｜ T ｜ T ｜ T ｜・・・
T ｜ F ｜ T ｜ F ｜ F ｜・・・
F ｜ T ｜ T ｜ F ｜ T ｜・・・
F ｜ F ｜ F ｜ F ｜ T ｜・・・ （条件をすべて網羅する表）
.
そして、今回の問題を真理値表にまとめる。
ただし、条件を記号化してみてから・・
条件２： X⊃（G∧F）
条件３： H⊃（S∧Y)
条件４： G⊃H
条件５： S⊃X
条件６： M⊃（T∧Z)
条件７： Y⊃～M
| GSM | ＦＨＴ | ＸＹＺ | |||||||
| Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
|||||
| Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
||||
| Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
||||
| Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
||||
| Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ |
Ｆ Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
|||
| Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
||||
| Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
|||
| Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ Ｆ |
||
| Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｔ Ｔ Ｔ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ |
Ｆ |
Ｆ Ｆ T |
となって、一番右の欄に、横方向にすべての”かつ（AND）”をとったものを書くと、
無法松（M）が、手で（T）、地下駐車場で（Z）食べた、と言うことだけが
”真（True）”になり、犯人は、無法松と言うことがわかる。
竹内先生は、推理小説家でもある。
推移り小説を書く時には、人物設定などでこの表を使うという。
ただ、あまり複雑にすると、誰にもわからなくなってしまうらしい。
マス北野も、映画の人物設定がつじつまが合うように気を使っているが、
この表までは使わないが、頭の中で同じ作業をしているようだ。
ちなみに、電子回路の設計（デジタル製品）には、この真理値表を使う。
同様にプログラムソフトを書いている人にもブール関数は必須である。
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今週のフィールド賞：
東大生
対偶と言う言葉と使っていたので
講師：竹内薫
（科学作家 東大理学部物理学科卒）
解答者：
マス北野
木村美紀（東京大学薬学部3年）
松江由紀子（東京大学農学部3年）
コマネチ大学生
2007/05/03 深夜OA
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