シャブリの数学コラム #1
「ガウス平面」
ガウス平面の私なりの理解度はこんなもんですと、ちょっと書いておこうかな。
>>今度のガウス平面は難しい!
という、
虚数を扱うのは、高校と大学の間ぐらいのレベルなのでしょうか。
まあ、虚数"i"というのは、2乗すると"-1"になる仮の数字って
感じでイメージするといい知れません。
(定義としては、2乗すると-1になる虚数根)
ここで、虚数を含んだ数値(複素数)の表わし方として、
(A + B i ) というあらわしかたがあります。
Aが実数部の定数倍の値を (A x 1 ということ)
でBが虚数部の定数倍の値を ( B x i ということ) と表わし、
実数部と虚数部は、独立している(合わせることが出来ない)ので
それぞれを、横軸、縦軸として、表わしてみると、
複素座標(X+Yi)が出来るわけです。
面白いのは、座標はふつう(X,Y)とカンマで区切りますが、
複素座標の場合は、(X+Yi)と足し算で表わしても大丈夫ということ。
そして、(X+Yi)の値は、1つの値として扱えるということ。
(つまり、複素座標というものは、成分分解したようなもの)
今回の問題の場合は、90°回転をさせることから、複素座標は便利です。
実数だけの座標(X , Y)を、原点中心反時計回り90°回転させると
XとYの値が入れ替わって、さらにYの値(X軸の値)にマイナスが付く。
(X , Y) → ( -Y , X )
これが、虚数を含む複素数だと、iをかけるだけでOK。
(X+Yi)x i → Xi + Y( i x i ) → Xi + ( -Y) → -Y + Xi
と、簡単にXとYの値が入れ替わって、Yの値にマイナスが付いた!
便利でしょ。
つまり、複素数を実数と虚数に成分分解して、それぞれの成分を軸にとって、
一つの複素数の場所を図示できるのが、
複素平面(ガウス平面)といえるのではないでしょうか。
私もここまでぐらいしか理解してませんが・・