コマネチ大学 #36

コマネチ大学 #36

たけしのコマネチ大学#37　 2007/02/08 深夜OA

今回のテーマは、

「断面」

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断面とは、ある三次元の物体を切断した時に現れる二次元の面のことで、
横断面とも言います。ちなみに、ある人気お笑い芸人が、この分野を
得意としているそうです。
「お前に食わせる断面はネェ！」　（凄い顔の戸部アナ）

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中村先生から、「断面」の説明。
以前にも、立方体の断面に関する問題が出されたことに触れ、
３つの頂点で切ると、正三角形。
２つの頂点と、２辺の中点で切るとひし形（平行四辺形）。
６つの辺の中点で切ると正六角形、の断面が現れることをおさらい。
（下図をクリックすると拡大します）

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Q:　問題

小さい立方体を９２６１個使って、１つの大きな立方体を作り、
断面が正六角形になるように切断します。
この時、小さい立方体は全部で何個切断されたでしょうか
（下図をクリックすると拡大します）

例として、２７個使った模型を見せてくれた。
この場合１9個の立方体が切断されていた。（上図）

先生からのヒント：
まず、一辺に何個の立方体が並ぶかを計算。
計算だけでは辛いので、イメージングが必要
先ほどの模型を、マス北野に渡す。マスは東大生と相談している。
コマ大は、パスカルの三角形を書き、ヒントを得ようとしている。

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Ａ：　各チームの解答

◆コマネチ大学生の解答
実際に作って、切って、数えてみた。
小さい立方体（発泡スチロール）を9261個用意した。
21個x21個ｘ1個の板を作り、これを21段重ねることで、大きい立方体を作る。
一枚目の板を作るだけで2時間！　ひたすら作業を続けて、6時間後にようやく
大きな立方体が完成。それを、ニクロム線で綺麗に切り分けた！見事だ！
（これを切った人は、美術スタッフ・夏プロの白鳥社長・たけし命名発見者
　命名発見者って、どういうこと？）
そして、正六角形の部分を赤く塗る作業が4時間後に終わる。
そして数える。（総時間12時間35分）　　答えは、991個

◆マス北野の解答

（上図をクリックすると拡大します）
一辺に並ぶ立方体の数が奇数の時だけ考える。
そうすると、最初は正六角形が一つ。
一辺に並ぶ立方体の数が3個になると、正六角形が６個増える。
同時に正三角形が１２個増える。
一辺に並ぶ立方体の数が3個になると、正六角形がさらに１２個増える。
同時に正三角形が24個増える。
と見ていくと、正六角形の2倍、正三角形が増えていく。
そこで、正六角形の数がわかれば、それを2倍したのが正三角形の数と考えた
（下図に解説があります。クリックすると拡大します）

正六角形（331個）+正三角形（662個）で、　答えは、993個

◆東大生の解答
1辺が五個の時を考えてみた。
（解説は図の中。下図をクリックすると拡大します）

等差数列の式を用いて、答えは、991個。コマ大チームと同じ答え。

正解は、991個　　コマ大と東大生チームが正解である。

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先生の解説

上図（クリックすると大きくなります）参照してください。
今回の問題では、一辺に奇数個が並ぶものでしたが、
偶数個並ぶときに断面に現れるのは、正三角形だけになります。

よく見ていくと、一辺の立方体の数が2個増えると、断面に現れる正三角形は
正六角形の２倍の数で増えていくことがわかります。
（その後の解説は、下図参照。クリックすると拡大します）

正六角形と正三角形が増えていく数は、等差数列になっている。
式を用いて、増加分を足していって、n=10 の時の合計を求めた。
答えは　331+ 660 = 991
マス北野が間違えたのは、最初の正六角形には正三角形が無いのに
2倍した”２”を足してしまったからだった。

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応用解説・「タイル貼り」

今回断面に現れた綺麗な模様は、「タイル貼り」と呼ばれる。
タイル張りには、何種類かの正多角形を混ぜて作った物があり、
このタイル貼りのことをアルキメデス. のタイル貼りという．
これが、8種類あると発見したのが、17世紀の天文学者ケプラーである。
（　ヨハネス・ケプラー、ドイツ（1571～1630）、数学者でもある　）

時間がなかったのか、中村先生のタイル張りの話はここまでだった。
紹介された、「タイル貼り」の図と、解説なしで画面に映った式も含めて
解説されている資料があったので、紹介しておきます。

高校生のための現代数学講座東京大学
「多角形と多面体」玉原国際セミナーハウス
講義付録松本　幸夫2006 年7 月22 日
「アルキメデスのタイル貼り」
http://tambara.ms.u-tokyo.ac.jp/matsumoto060722.pdf

（下図：アルキメデスのタイル貼りの図だけ、ちょっと拝借m(_ _)m）