…思ったとおり、ネットにこの情報、溢れてますねー。…ただ、中途半端だったり、クラシックでない曲（恐らくこのドラマのために作曲された曲）に弦楽が使われているため「曲名不明」としている方がいたりして、完璧なものがないので、後付ですが一応書きます。なお、時間表記はフジテレビ放送の録画における冒頭からの経過時間です。
…なお、下記の方がほぼ「全問正解」ですね。ただ「不明」とされている曲が一つだけあって、それはクラシック曲ではないと思います。
始まってすぐ：モーツァルト ピアノソナタハ長調K545 第1楽章
1分過ぎ：チャイコフスキー「くるみ割り人形」より行進曲（ピアノ版）
4分過ぎ：エルガー「威風堂々」第1番
6分30秒過ぎ：バッハ「無伴奏チェロ組曲」第1番
7分30秒過ぎ：チャイコフスキー「くるみ割り人形」よりこんぺいとうの踊り
8分50秒過ぎ：バッハ「G線上のアリア」
10分50秒過ぎ：プロコフィエフ「ロメオとジュリエット」より「モンタギュー家とキャピュレット家」
12分過ぎ：ロッシーニ「ウィリアム・テル」序曲（ピアノ版）
14分過ぎ：（CM前）ブラームス「ハンガリー舞曲」第5番
20分過ぎ：モーツァルト「トルコ行進曲」
21分30秒過ぎ：ロッシーニ「ウィリアム・テル」序曲（ピアノ版）
22分30秒あたり：バッハ「小フーガ ト短調 BWV578」
24分30秒過ぎ：モーツァルト「トルコ行進曲」
25分40秒過ぎ：スメタナ「我が祖国」より「ヴルタヴァ（モルダウ）」
56分過ぎ：ジャゾット「アルビノーニのアダージョ」
⇒この曲の作曲者を「アルビノーニ」とすべきではないと思います。ジャゾットという２０世紀の音楽学者のほぼ創作であることが判明しています。参考：以下。
1時間9分過ぎ：モーツァルト ピアノソナタハ長調K545 第1楽章
1時間13分過ぎ：ロッシーニ「ウィリアム・テル」序曲（ピアノ版）