第１５章 独立粒子近似（問題）

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第１５章　独立粒子近似（問題）

15-1

ブタジエン分子の基底エネルギーは
\[
E_g=2(E_0-1.618A)+2(E_0-0.618A).
\]

ブタジエン分子の第一励起状態のエネルギーは
\[
E_1=2(E_0-1.618A)+(E_0-0.618A)+(E_0+0.618A).
\]

よって
\[
E_1-E_g=2\cdot 0.618A=1.236A=h\nu.
\]

よって波長は
\[
\lambda =\frac{c}{\nu}=\frac{hc}{1.236A}=1.003\times 10^{-6}m
\]

15-2
（あまり自信なし）

ベンゼン環の基底エネルギーは
\[
E_g=2(E_0-2A)+4(E_0-A)=6E_0-8A.
\]

ベンゼン環の第一励起状態のエネルギーは
\[
E_1=2(E_0-2A)+3(E_0-A)+(E_0+A).
\]

\[
E_1-E_g=2A=\frac{hc}{\lambda }
\]

\[
A=\frac{hc}{2\lambda }=3.1eV.
\]

(b)のときの基底状態のエネルギーは
\[
E_g'=2(E_0-1.618)A+2(E_0-0.618A)+2(E_0+0.618A)=3.236A.
\]

ベンゼン環を切るのに必要なエネルギーは大体

\[
E_g'-E_g=(8-3.236)A=14.77 eV.
\]

15-3

下向きスピンを持つ原子の平均数は
\[
<n>=\frac{\sum ne^{-n\frac{E_k}{\kappa T}}}{\sum e^{-n\frac{E_k}{\kappa T}}}=\frac{1}{e^{\frac{E_k}{\kappa T}}-1}.
\]

$\Delta k$内の単位体積あたりのモードの数は(本文（4. 38）参照)
\[
\frac{\Delta k}{(2\pi)^3}
\]

よって単位体積あたりの下向きスピンを持つ原子の総数は(ここが納得できていない)
\[
\frac{\mbox{下向きスピンの数}}{\mbox{体積}}=
\int \frac{d^3k/(2\pi )^3}{e^{\frac{E_k}{\kappa T}}-1}
\]

\begin{eqnarray*}
\frac{M}{M_{sat}}&=&\frac{\frac{1}{b^3}-\int \frac{d^3k/(2\pi )^3}{e^{\frac{E_k}{\kappa T}}-1}}{\frac{1}{b^3}}\\
&=&
1-\left( \frac{\kappa T}{4\pi A}\right) ^{3/2}\frac{4}{\sqrt{\pi }}\int _0^{\infty }\frac{x^2dx}{e^{x^2}-1}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\int _0^{\infty }\frac{x^2dx}{e^{x^2}-1}&=&
\sum _{n=1}^{\infty }\int _0^{\infty }x^2e^{-nx^2}dx\\
&=&
\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{\pi }}{4n^{3/2}}\\
&=&
\frac{\sqrt{\pi }\zeta (3/2)}{4}
\end{eqnarray*}

よって
\[
\frac{M}{M_{sat}}=1-\left( \frac{\kappa T}{4\pi A}\right) ^{3/2}\zeta (3/2)}.
\]

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