第１１章 さらに２状態系について （問題）

http://file.buturi.blog.shinobi.jp/Feynmantoi5_11.pdf

第１１章　さらに２状態系について　（問題）

11-1

$A\sigma A^{-1}$も同様の式を満たすのでこれだけの条件から一意に決めることはできない．
しかし共役だけの不定性を除いて一意に定まるか？（棚上げ問）

11-2

a)

方程式は
\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}
\left(
\begin{array}{c}
C_+ \\
C_0 \\
C_-
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
E_o & -A & 0 \\
-A & E_c & -A\\
0 & -A & E_o
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
C_+ \\
C_0 \\
C_-
\end{array}
\right)
\]

\[
\det
\left(
\begin{array}{ccc}
E-E_o & A & 0 \\
A & E-E_c & A\\
0 & A & E-E_o
\end{array}
\right)
=(E-E_o)((E-E_o)(E-E_c)-2A^2)=0
\]

を解いて

\[
E=E_o, \frac{E_o+E_c\pm \sqrt{(E_o-E_c)^2+8A^2}}{2}
\]

b)
$E_o=E_c$
のときは
\[
E=E_o, E_o\pm \sqrt{2}A.
\]

\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}(C_+-C_-)=E_o(C_+-C_-)
\]

\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}(C_++\sqrt{2}C_0+C_-)=(E_o-\sqrt{2}A)(C_++\sqrt{2}C_0+C_-)
\]

\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}(C_+-\sqrt{2}C_0+C_-)=(E_o+\sqrt{2}A)(C_+-\sqrt{2}C_0+C_-)
\]

11-3

方程式は
\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}
\left(
\begin{array}{c}
C_1 \\
C_2 \\
C_3 \\
C_4 \end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cccc}
E_0 & -A & -A & -A \\
-A & E_0 & -A & -A \\
-A & -A & E_0 & -A \\
-A & -A & -A & E_0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
C_1 \\
C_2 \\
C_3 \\
C_4 \end{array}
\right)
\]

\[
\det \left(
\begin{array}{cccc}
x-E_0 & A & A & A \\
A & x-E_0 & A & A \\
A & A & x-E_0 & A \\
A & A & A & x-E_0 \\
\end{array}
\right)
=(x-(E_0+A))^3(x-(E_0-3A))
\]

\[
x=E_0+A(\mbox{三重}), E_0-3A
\]

11-4

前半）

方程式は
\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}
\left(
\begin{array}{c}
C_1 \\
C_2 \\
C_3 \\
C_4 \\
C_5 \\
C_6
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cccccc}
E_0 & -A & 0 & 0 & 0 & -A \\
-A & E_0 & -A & 0 & 0 & 0 \\
0 & -A & E_0 & -A & 0 & 0 \\
0 & 0 & -A & E_0 & -A & 0 \\
0 & 0 & 0 & -A & E_0 & -A \\
-A & 0 & 0 & 0 & -A & E_0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
C_1 \\
C_2 \\
C_3 \\
C_4 \\
C_5 \\
C_6
\end{array}
\right)
\]
これに
\[
C:=C_i=\frac{1}{\sqrt{6}}\exp (-(i/\hbar )E_I t)
\]
を代入すると
\[
i\hbar (-i/\hbar )E_I C
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)
=
(E_0-2A)C
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)
\]

よって

\[
E_I=E_0-2A.
\]

後半）

\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}C_1
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
e^{i \delta } \\
e^{2i \delta } \\
e^{3i \delta } \\
e^{4i \delta } \\
e^{5i \delta }
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cccccc}
E_0 & -A & 0 & 0 & 0 & -A \\
-A & E_0 & -A & 0 & 0 & 0 \\
0 & -A & E_0 & -A & 0 & 0 \\
0 & 0 & -A & E_0 & -A & 0 \\
0 & 0 & 0 & -A & E_0 & -A \\
-A & 0 & 0 & 0 & -A & E_0 \\
\end{array}
\right)
C_1
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
e^{i \delta } \\
e^{2i \delta } \\
e^{3i \delta } \\
e^{4i \delta } \\
e^{5i \delta }
\end{array}
\right)
\]

を書き直すと

\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}C_1=(E_0-Ae^{i\delta }-e^{5i\delta }),
\]
\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}C_1e^{i\delta }=(-AE_0+E_0e^{i\delta }-Ae^{2i\delta }),
\]
\[
\vdots
\]
\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}C_1e^{5i\delta }=(-A-Ae^{4i\delta }+E_0e^{5i\delta }).
\]

これらの方程式は
\[
e^{6i\delta =1}
\]
のとき同じになる．
そのときのエネルギーは
\[
E_0-A(e^{i\delta }+e^{i\delta })=E_0+2A\cos \delta .
\]
ここで
\[
\delta =2n \pi , (n=0, 1, \cdots , 5).
\]

11-5

a)
方程式は
\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}
\left(
\begin{array}{c}
C_1 \\
C_2 \\
C_3
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -A & -A \\
-A & 0 & -A \\
-A & -A & 0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
C_1 \\
C_2 \\
C_3
\end{array}
\right)
\]

\[
\det \left(
\begin{array}{ccc}
x & A & A \\
A & x & A \\
A & A & x
\end{array}
\right) =(x-A)^2(x+2A)
\]

\[
x=A(\mbox{二重}), -2A
\]

b)

方程式は
\[
i\hbar \frac{\partial }{\partial t}
\left(
\begin{array}{c}
C_1 \\
C_2 \\
C_3
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
-\epsilon _0A & -A & -A \\
-A & 0 & -A \\
-A & -A & 0
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
C_1 \\
C_2 \\
C_3
\end{array}
\right)
\]

\[
\det \left(
\begin{array}{ccc}
x+\epsilon _0 A & A & A \\
A & x & A \\
A & A & x
\end{array}
\right) =0
\]

の根は

\[
x=A, -\frac{A}{2}(1+\epsilon +\sqrt{9-2\epsilon +\epsilon ^2}), -\frac{A}{2}(1+\epsilon -\sqrt{9-2\epsilon +\epsilon ^2})
\]

ファインマン物理学 (5)/ファインマン

￥4,515

Amazon.co.jp