第１０章 他の２状態系 （問題）

http://file.buturi.blog.shinobi.jp/Feynmantoi5_10.pdf
第１０章　他の２状態系　（問題）

(10. 23)より
\[
i\hbar \frac{dC_1}{dt}=-\mu (B_0C_1+2B_n\cos \omega tC_2),
\]

\[
i\hbar \frac{dC_2}{dt}=-\mu (2B_n\cos \omega tC_1-B_0C_2).
\]

これに
\[
C_1=e^{-\frac{\mu B_0}{i\hbar}t}\gamma _1
\]
\[
C_2=e^{-\frac{\mu B_0}{i\hbar}t}\gamma _2
\]
を代入して
\[
i\hbar \frac{d\gamma _1}{dt}e^{-\frac{\mu B_0}{i\hbar}t}=-\mu 2B_n\cos \omega t\gamma _2e^{\frac{\mu B_0}{i\hbar}t},
\]
\[
i\hbar \frac{d\gamma _2}{dt}e^{-\frac{\mu B_0}{i\hbar}t}=-\mu 2B_n\cos \omega t\gamma _2e^{-\frac{\mu B_0}{i\hbar}t}
\]
よって
\[
i\hbar \frac{d\gamma _1}{dt}e^{-\frac{\mu B_0}{i\hbar}t}=-\mu 2B_n\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}\gamma _2e^{\frac{\mu B_0}{i\hbar}t},
\]
\[
i\hbar \frac{d\gamma _2}{dt}e^{-\frac{\mu B_0}{i\hbar}t}=-\mu 2B_n\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}\omega t\gamma _2e^{-\frac{\mu B_0}{i\hbar}t}.
\]

\[
\omega _0=\frac{2\mu B}{\hbar }
\]
とおくと

\[
\frac{\gamma _1}{dt}=-\frac{\mu B}{i\hbar }(e^{i(\omega -\omega _0)t}+e^{-i(\omega +\omega _0)t})\gamma _2,
\]
\[
\frac{\gamma _2}{dt}=-\frac{\mu B}{i\hbar }(e^{i(\omega +\omega _0)t}+e^{-i(\omega -\omega _0)t})\gamma _1.
\]

$e^{\pm i(\omega +\omega _0)t}$の項を無視すると
\[
\frac{\gamma _1}{dt}=-\frac{\mu B}{i\hbar }e^{i(\omega -\omega _0)t}\gamma _2,
\]
\[
\frac{\gamma _2}{dt}=-\frac{\mu B}{i\hbar }e^{i(\omega +\omega _0)t}\gamma _1.
\]

$t=0$で
$C_1=0$のとき
$t=T$での
$|C_1|^2$を求める．

$\gamma _2=1$
\[
\frac{\gamma _1}{dt}=-\frac{\mu B}{i\hbar }e^{i(\omega -\omega _0)t}
\]
を$0$から$T$まで積分して

\[
\gamma _1=\frac{\mu B}{\hbar }\frac{e^{i(\omega -\omega _0)}-1}{\omega -\omega _0}.
\]

\[
|\gamma _1|^2=\left( \frac{\mu B T}{\hbar }\right) ^2\frac{\sin ^2(\omega -\omega _0)T/2}{((\omega -\omega _0)T/2)^2}
\]

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