第９章 アンモニア・メーザー（問題）

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第９章　アンモニア・メーザー（問題）

9-1

$I$
の方が$II$よりもエネルギーの高い状態とする．
(9.53)式より
\[
P(I\to II)=\frac{2\pi \mu^2}{4\pi \epsilon _0 \hbar ^2c}\mathcal{I}(\mbox{放出})T^2\frac{\sin ^2(\omega -\omega _0)T/2}{((\omega -\omega _0)T/2)^2},
\]

\[
P(II\to I)=\frac{2\pi \mu^2}{4\pi \epsilon _0 \hbar ^2c}\mathcal{I}(\mbox{吸収})T^2\frac{\sin ^2(\omega -\omega _0)T/2}{((\omega -\omega _0)T/2)^2}.
\]

アインシュタイン係数$A, B$とは

\[
P(I\to II)=A+BI(\omega )
\]

\[
P(II\to I)=BI(\omega )
\]
という関係にあるとする．
\[
\frac{\mathcal{I}(\mbox{吸収})}{\mathcal{I}(\mbox{放出})}=\frac{n}{n+1}.
\]
とする.
II巻(4.32)の上の式より
\[
\frac{n+1}{n}=e^{\frac{\hbar \omega }{kT}}
\]

これらより
\[
\frac{A+BI(\omega )}{BI(\omega )}=\frac{n+1}{n}=e^{\frac{\hbar \omega }{kT}}.
\]

これを解くと

\[
I(\omega )=\frac{A}{Be^{\frac{\hbar \omega }{kT}}-B}
\]

これはII巻(17.17)式．

9-2

(10.23)
\[
i\hbar \frac{dC_1}{dt}=-\mu (B_zC_1+(B_x-iB_y)C_2)
\]

\[
i\hbar \frac{dC_2}{dt}=-\mu ((B_x+iB_y)C_1-B_zC_2)
\]

を
\[
B_x=B\sin \theta \cos \omega t
\]
\[
B_y=-B\sin \theta \sin \omega t
\]
\[
B_z=B\cos \theta
\]
として解く．
$B_x, B_y$が$0$のときは
$C_1=e^{\frac{-\mu B_z}{i\hbar }}, C_2=e^{\frac{\mu B_z}{i\hbar }}$
が解なので
\[
C_1=\gamma _1e^{\frac{-\mu B_z}{i\hbar }},
\]
\[
C_2=\gamma _2 e^{\frac{\mu B_z}{i\hbar }}.
\]
とおく．

\[
i\hbar \frac{dC_1}{dt}=-\mu B_zC_1+i\hbar \frac{d\gamma _1}{dt}e^{\frac{-\mu B_z}{i\hbar }}
\]

を(10. 23)に代入して
\[
i\hbar \frac{d\gamma _1}{dt}e^{\frac{-\mu B_z}{i\hbar }}=-\mu (B_x-iB_z)\gamma _2e^{\frac{\mu B_z}{i\hbar }}.
\]

同様に
\[
i\hbar \frac{d\gamma _2}{dt}e^{\frac{\mu B_z}{i\hbar }}=-\mu (B_x+iB_z)\gamma _2e^{\frac{-\mu B_z}{i\hbar }}.
\]

これに
\[
B_x\pm iB_y=B\sin \theta (\cos \theta \mp \sin \omega t)=B \sin \theta e^{\mp \omega t}
\]
を代入して

\[
i\hbar \frac{d\gamma _1}{dt}=-\mu B\sin \theta e^{(i\omega t+\frac{2\mu B_z}{i\hbar })t}\gamma _2
\]

\[
i\hbar \frac{d\gamma _2}{dt}=-\mu B\sin \theta e^{-(i\omega t+\frac{2\mu B_z}{i\hbar })t}\gamma _1.
\]

\[
i\omega t+\frac{2\mu B_z}{i\hbar }=0 \Leftrightarrow \omega =\frac{2\mu B_z}{\hbar }
\]

これが共鳴状態の$\omega $.

この$\omega $のとき
\[
\frac{d\gamma _1}{dt}=\frac{i\mu B}{\hbar }\sin \theta \gamma _2,
\]

\[
\frac{d\gamma _2}{dt}=\frac{i\mu B}{\hbar }\sin \theta \gamma _1.
\]

よって
\[
\frac{d^2\gamma _1}{dt^2}=-\left( \frac{\mu B}{\hbar } \right) ^2\sin ^2\theta \gamma _1 .
\]

よって
\[
\gamma _1=a\cos \frac{\mu B\sin \theta }{\hbar }t+b\sin \frac{\mu B\sin \theta }{\hbar }t.
\]

よって
\[
\gamma _2=ia\sin \frac{\mu B\sin \theta }{\hbar }t-ib\sin \frac{\mu B\sin \theta }{\hbar }t.
\]

$z$軸に沿ってスピン下向きになる確率は

\[
|C_2|^2=|\gamma _2|^2=|a\sin \frac{\mu B\sin \theta }{\hbar }t-b\sin \frac{\mu B\sin \theta }{\hbar }t|^2
\]

例えば
$t=0$で
$\gamma =1$のとき
$a=1, b=0$．
\[
|C_2|^2=\sin ^2\frac{\mu B\sin \theta }{\hbar }t
\]

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