記事タイトルはここ♪

階差数列の公式を期待値として解釈してみました。

【問題】
数列ａｊ(ｊ＝０,１,２,…)と数列ｂk＝ａk－ａk-1(ｋ＝１,２,…)がある。

ｎを正の整数とする。
表が出る確率がｐで裏が出る確率がｑであるメダルをｎ回投げる。
０≦ｐ＜１,ｐ＋ｑ＝１
である。
次の規則でＡとＢの二人に得点を与える。

①
初めＡの得点は０点、Ｂの得点はａ0点とする。

②
ｋ回目に初めて表が出る場合、
Ａにａk点を与える。
ｋ＋１回目以降にＡに得点を与えない。

Ｂにｋ回目まで各回毎に投げる直前にｂk点を与える。
表が出た後はＢに得点を与えない。

③
ｎ回投げて表が１回も出ない場合、
Ａの得点は０点とする。
Ｂの得点は全て没収され得点は０点とする。

ｎ回投げ終えたときのＡの得点Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)とＢの得点Ｙの期待値Ｅ(Ｙ)を求めよ。

等面四面体

等面四面体の有名な性質を問題にしました。
解答はやや省略して書きます。

【問題】
図形Δを四面体ＡＢＣＤとする。
Δの条件①,②,③が互いに同値であることを示せ。

①Δの重心Ｇと４頂点との距離は相等しい。
即ち、
ＡＧ＝ＢＧ＝ＣＧ＝ＤＧ
である。

②Δの３組の対辺はそれぞれ長さが相等しい。
即ち、
ＡＢ＝ＣＤ,ＢＣ＝ＡＤ,ＣＡ＝ＢＤ
である。

③Δの４面の面積は相等しい。
即ち、
△ＡＢＣ＝△ＢＣＤ＝△ＣＤＡ＝△ＤＡＢ
である。

【解答】
点Ｇを始点とするΔの４頂点の位置ベクトルをａ,ｂ,ｃ,ｄとする。
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝０
である。

①⇒②
|ａ|＝|ｂ|＝|ｃ|＝|ｄ|
＝Ｒ

|ａ＋ｂ|＝|ｃ＋ｄ|
…
より、
ａ・ｂ＝ｃ・ｄ
…
である。
|ａ－ｂ|＝|ｃ－ｄ|
…
以上から、
Δの３組の対辺のそれぞれの長さが等しい。

②⇒③
４面は△ＡＢＣと合同であるから４面の面積は相等しい。

③⇒①
Δの４面の共通の面積をＳとする。

Δの体積をＶとする。
Ｇは、三角形ＡＢＣの重心とＤの１:３の内分点であるから、

Ｇと平面ＡＢＣの距離は３Ｖ/４Ｓである。
他の面との距離も同様であるから、点ＧとΔの４面との距離は相等しい。

点Ｇから平面ＢＣＤ,ＣＤＡ,ＤＡＢ,ＡＢＣに下ろした垂線の足をＡ',Ｂ',Ｃ,',Ｄ'とする。

位置ベクトルを
ａ',ｂ',ｃ',ｄ'
とする。
ａ'・ｂ＝ａ'・ｃ＝ａ'・ｄ＝ｒ^2
ａ'・ａ＝－３ｒ^2
である。
…

(ａ'＋ｂ'＋ｃ'＋ｄ')・ａ＝０
である。

同様に
(ａ'＋ｂ'＋ｃ'＋ｄ')・ｂ＝０
…
以上から、
ａ'＋ｂ'＋ｃ'＋ｄ'＝０
である。

①⇒②の結果から
４点Ａ',Ｂ',Ｃ',Ｄ'は点Ｇを中心とした回転により推移的に移り合う。
この回転によりΔの４頂点が推移的に移り合うから①が成り立つ。

四面体の正射影

80年代末の東大入試問題で、正四面体を平面に正射影してできる図形の面積に関する問題があります。
なるべく解きやすく改題しようと考えていましたが、やっと完成しました。

【問題】
(１)
正の数ａ,ｂ,ｃと実数ｐ,ｑ,ｒに対し
３点Ａ(０,０,ａ),Ｂ(０,ｂ,ｐ),Ｃ(ｃ,ｑ,ｒ)を頂点とする三角形ＡＢＣの面積をＴとする。
また、Ｏから平面ＡＢＣに垂線の足Ｈを下ろし、∠ＡＯＨ＝θとする。
このとき、
三角形ＡＢＣをxy平面に正射影してできる図形の面積をＴとθで表せ。

(２)
一辺の長さが１の正四面体Δの１組の対辺がｚ軸とそれぞれ点Ｐ,Ｑで交わっている。
Δをxy平面に正射影してできる図形の面積をＳ、線分ＰＱの長さをｈとする。
積Ｓ・ｈが一定の値をとることを示せ。
また、
Δの重心がｚ軸上にあるときのＳとｈの値を求めよ。
[注]四面体の重心は１組の対辺のそれぞれの中点を結ぶ線分の中点である。

【解答】
(１)
ＯＨ＝ａcosθ
である。
四面体ＯＡＢＣの体積をＶとすると
Ｖ
＝Ｔ・ａcosθ/３
である。

一方、
△ＯＡＢの面積はａｂ/２であるから、
Ｖ＝ａｂｃ/６
である。

三角形ＡＢＣをxy平面に正射影してできる図形の面積はｂｃ/２である。

ｂｃ/２
＝３Ｖ/ａ
＝Ｔcosθ
である。

(２)
Δの頂点をＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄとし、辺ＡＣ,ＢＤがｚ軸とそれぞれＰ,Ｑで交わっている場合を考える。
辺ＡＣ,ＢＤの中点をそれぞれＭ,Ｎとする。
Δの重心はＭＮの中点Ｇである。

四面体ＰＱＡＢ,ＰＱＢＣ,ＰＱＣＤ,ＰＱＤＡの体積を順に、Ｖ1,Ｖ2,Ｖ3,Ｖ4とすると、Δの体積はΣＶiである。
(１)の結果から
Ｓ
＝Σ(３Ｖi/ｈ)
＝(３ΣＶi)/ｈ
は一定の値である。

Δの重心がｚ軸上にあるとき、直線ＰＱはＢＤの垂直二等分面ＡＮＣとＡＣの垂直二等分面ＢＭＤの交線ＭＮである。

等辺の長さが√３/２である二等辺三角形ＡＮＣの中線ＭＮの長さは√２/２である。

直線ＭＮがｚ軸であるからΔをxy平面に正射影してできる図形は対角線の長さが１である正方形である。
このとき、
Ｓ＝１/２,ｈ＝√２/２
である。

よって、
Δの体積は√２/12であるから、
Ｓ・ｈ＝√２/４
である。