チョットした疑問です。大◯◯◯と大が付いている名詞がありますが、あえて◯◯◯に大を付けるかが分かっていませんでした。

以前から大英帝国の大は、グレート・ブリテン(連合王国)のグレートから偉大の大と勘違いしていた。

以下、Google AI調べた結果ですが、引用部を青文字で表現します。

「大英帝国」の「大」は、英語の「British Empire」という言葉を日本語で訳す際に、イギリス帝国の偉大さや広大さを表現するために付け加えられたものです。具体的には、明治時代以降の日本において、イギリス帝国を尊敬する気持ちや、その偉大さを模倣しようとする気持ちが強く、その結果として「大英帝国」という言葉が定着したと考えられています。
偉大であるは勘違いではありませんが、植民地を含めて広大である意味もあった。

愚かな日本は調子に乗って大日本帝国と名乗っていた時期があったが、戦争に負けて昔の日本に戻ったのです。

不思議に思っていたタイトルの大◯◯◯も調べてみました。何かありきたりでしたが、意味が分かって安心しました。
「大運動会」の「大」は、「大きい」や「大規模な」といった意味で使われています。運動会を「大」と呼ぶことで、規模が大きく、参加者が多く、盛り上がりが期待できるようなイベントであることを示します。例えば、学校の運動会だけでなく、地域全体を巻き込んだ大規模な運動会や、企業が社員向けに開催する大規模な運動会などを指します。

大相撲の「大」は、「大相撲」という言葉自体が意味を持つため、特定の力士や場所を表すものではありません。大相撲とは、日本相撲協会の公式サイトなどで運営されている公式の相撲の大会やイベントを指します。具体的な内容としては、場所(大会)のスケジュール、力士の成績、階級、ニュースなどが含まれます。

今回は引用だらけで申し訳ありません。かなり手抜き記事です。しかし調べる事で理解が深められました。
反省しております