【ステートセーブ（状態保存）】
標準のキー設定は「Shift + F7」となっています。
「Shift + F7」を押すと「状態をセーブ(Save State)」と表示されるので保存したいスロットを選びます。
具体的にはキーボードのキーのいずれかを押します。正確ではありませんがとりあえずはキーの数分保存できるスロットがあるという認識でよいでしょう。
例：
「Shift + F7」のあとにキーボードの「1」を押す。
ここで保存された内容は mame.ini 内 state_directory で指定されているディレクトリー（標準では「sta」）に [押したキー].sta として保存されます。
大事なステートファイルは上書き防止のためにリネームやコピーしておくのも有効だと思います。
【ステートロード】
標準のキー設定は「F7」となっています。
標準の設定では「セーブするつもりでロードしてしまう（またはその逆）」という事故を起こしやすいかもしれません。キー設定の変更を推奨します。
「F7」を押すと「状態をロード(Load State)」とともにロード可能なスロットが表示されます。選択肢から選ぶかステートセーブの際に押したキーを押すとステートロードが実行されます。
例：
「 F7」のあとにキーボードの「1」を押す。
※バージョンの異なるMAMEで作られたステートファイルは読み込みできません。ステートファイルを重要視するのであればバージョンごとに異なる state_directory を指定するとよいでしょう。
どうしてもバージョン違いのMAMEのステートファイルを使いたい場合は /src/emu/save.cpp を改変してリビルドするしかありません。やったところで正常に動作する保証はありません。
【キー設定変更方法】
「その他のコントロール(Other Controls)」の「Save State」と「Load State」になります。
【おまけ】
MAMEにはオートセーブとオートロード機能が用意されています。
-state <slot>
Immediately after starting the specified system, will cause the save state in the specified <slot> to be loaded.
-[no]autosave
When enabled, automatically creates a save state file when exiting MAME and automatically attempts to reload it when later starting MAME with the same system. This only works for systems that have explicitly enabled save state support in their driver. The default is OFF (-noautosave).
それぞれ個別に使用できるのでオートロード（-state）のみを有効化することも可能です。
オートロードの使いどころとして、起動時に長時間ベリファイ処理が走るゲーム（DDRなどが良い例）のベリファイ完了後をステートセーブしてその状態をオートロードするように設定してしまうと幸せになれるんじゃないでしょうか。
検証環境：MAME 0.203